1.2. Траектория. Путь. Перемещение

[latexpage]Обозначим еще несколько понятий, которые важны при изучении механического движения. Начнем с понятия траектории. Под траекторией понимается линия вдоль которой движется тело. По характеру линии траектории делятся на прямолинейные и криволинейные. Следует понимать, что вид траектории зависит от системы отсчета в которой рассматривается движение тела. Например, если рассматривать движение точки на ободе колеса велосипеда, то относительно оси колеса точка будет двигаться по окружности. Если же рассматривать движение этой точки относительно поверхности Земли, то траектория будет иметь более сложны вид, как показано на рисунке.

Таким образом понятие траектории относительно и зависит от выбранной системы отсчета.

Путь — это скалярная физическая величина, которая равна длине траектории. Путь обозначается латинской буковой $s$. Единица измерения в СИ — метр (м). Поскольку траектория зависит от выбора системы отсчета, то и пройденный телом путь также будет зависеть от выбора системы отсчета. 

Однако, информации о пройденном телом пути недостаточно, для того, чтобы определить его положение в пространстве. Так как путь не указывает  направление движения. Поэтому для характеристики движения вводится понятие перемещения — вектора, соединяющего начальное положение тела с его последующим (конечным) положением. Выбор векторной величины не случаен, поскольку вектор указывает направление и имеет длину. Т.е., зная вектор перемещения, можно определить положение тела в пространстве. Вектор перемещения обозначается $\overrightarrow{s}$. Помимо всего прочего такой подход удобен еще и тем, что в выбранной системе координат удобно работать непосредственно с координатами начала и конца вектора.

На рисунке показан вектор перемещения некоторого тела при его движении на плоскости xOy, первоначально находившегося в точке с координатой $\left ( x_{0};y_{0} \right )$ и переместившемся в точку с координатой $\left ( x; y \right )$.

Собственно основная задача кинематики и сводится к поиску этих координат, а точнее к написанию зависимости этих координат от времени. Из рисунка видно, что конечные координаты могут быть выражены уравнениями: 

$\left\{\begin{matrix}
x=x_{0}+s_x \\
y=y_{0}+s_y
\end{matrix}\right.$.

Пример. (Задачник по физике. 10 класс. Генденштейн Л.Э.) Длина минутной стрелки настенных часов 20 см. Найдите пройденный путь и модуль перемещения конца стрелки: а) за 15 мин; б) за 30 мин; в) за сутки.

Решение. Изобразим графически каждый случай, приняв, что в начале минутная стрелка указывала на 0 ч. 00 мин.

а)		Пройденный концом стрелки путь, будет равен длине дуги окружности радиусом 20 см, соответствующей центральному углу 900 или четверти длины дуги окружности: $l=\frac{2\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2}$ $l=\frac{3,14\cdot 20}{2}=31,4\, cm$. Вектор перемещения (на рисунке показан зеленым цветом) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами равными радиусу окружности, тогда  по теореме Пифагора: $s=\sqrt{R^{2}+R^{2}}=\sqrt{2}R$ $s\approx 1,41\cdot 20=28,2 \, cm$
б)		По рисунку видно (стрелка выделена синим цветом), что стрелка описывает путь равный половине длины дуги окружности, т.е.  $l=\pi R$ $l=3,14\cdot 20=62,8 \, cm$. Модуль вектора перемещения (выделен красным цветом), равен диаметру окружности, т.е. 40 см.
в)		Через 24 часа минутная стрелка будет находиться в том же самом месте, откуда начинала, движение. Значит, перемещение стрелки будет равно нулю. Стрелка совершает один полный оборот за 1 час, значит за сутки она совершит 24 полных оборота, т.е пройденный путь будет равен 24 длинам окружности, по которой движется конец стрелки: $l=48 \pi R$ $l=48 \cdot 3,14\cdot 20=3014,4 \, cm$.

Пример. (3800 задач для школьников и поступающих в ВУЗы) Самолет пролетел на север 400 км, затем повернул на восток и пролетел еще 300 км. Найти путь и перемещение самолета за все время движения. Нарисовать траекторию движения самолета, считая, что его движение происходило в одной плоскости.

Решение. Вначале изобразим траекторию движения и покажем вектор перемещения. Траектория движения самолета представляет собой два отрезка ломаной длинами 400 и 300 км соответственно.Пройденный путь равен сумме длин этих отрезков $l=700$ км. 

Модуль вектора перемещения (на рисунке показан зеленым цветом) можно найти по теореме Пифагора, т.к. треугольник АВС — прямоугольный

$s=\sqrt{AB^2+BC^2}$

$s=\sqrt{400^2+300^2}=500$ км

Пример. (Задачник по физике. 10 класс. Генденштейн Л.Э.) Турист поднялся на холм преодолев расстояние 30 м по прямой дороге, наклонённой под углом 30° к горизонту, а потом спустился на начальный уровень по прямому крутому склону, составляющему угол 45° с горизонтом. Найдите пройденный путешественником путь и модуль перемещения. Изобразите рисунок в координатных осях. 

Решение. Выполним необходимые построения, поместив начало координат в точку из которой началось движение.

Видно, что вектор перемещения представляет собой сумму векторов перемещения тела на отдельных участках $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_{1}}+\overrightarrow{s_{2}}$. Значит, проекция вектора перемещения на ось $Ox$ равна $s_{x}=s_{1x}+s_{2x}$, аналогично для проекции вектора перемещения на ось $Oy$: $s_{y}=s_{1y}+s_{2y}$ (Подробнее о том, как находить проекцию вектора). Заметим, что проекция вектора перемещения на ось $Oy$ равна нулю, значит, 

$s_{1}sin\alpha -s_{2}sin\beta =0$

$s_{2}=\frac{s_{1}sin\alpha }{sin\beta }$

$s_{2}=\frac{30\cdot 0,5 }{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{30\sqrt{2}}{2}$

Для проекции перемещения на ось $Ox$: $s=s_{1}cos\alpha +s_{2}cos\beta $

$s=30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{30\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{ \sqrt{2}}{2}\approx 41$м.

Пройденный путь, будет равен $l=s_{1}+s_{2}=30+\frac{30\sqrt{2}}{2}\approx 51,2 $ м.

Пример. (3800 задач для школьников и поступающих в ВУЗы) В момент времени $t_{1}=1$ с тело находилось в точке пространства с координатами $x_{1} = -2$ м и $y_{1}=2$ м. К моменту времени $t_{2}=3$ с тело переместилось в точку с координатами $x_{2} = 3$ м и $y_{2}=-3$ м. Найти время движения тела. Проекции перемещения на координатные оси и модуль перемещения тела.

Решение.  Время движения $\Delta t=t_{2}-t_{1}$, $\Delta t=2$ с. Изобразим начальное и конечное положение тела в системе координат, построим вектор перемещения и найдем его проекции.

Вектор перемещения $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{AB}$. Из рисунка видно, что проекции вектора перемещения равны: 

 $s_{x}= x_{2}-x_{1}, s_{x}=5$ м.

$s_{y}= y_{2}-y_{1}, s_{y}=-5$ м.

Модуль вектора перемещения найдем из следующих соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Тогда, по теореме Пифагора, имеем

$AB=s=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{s_{x}^{2}+s_{y}^{2}}$,

$s=\sqrt{5^2+(-5)^2}\approx 7$ м.

Задачи для самостоятельного решения.

1. (Сборник задач по физике. Степанова Г.Н.) Тело переместилось из точки A с координатами $x_{1} = -1$ м, $y_{1}=2$ м в точку с координатами $x_{1} = 5$ м, $y_{1}=3$ м. Сделайте чертеж, найдите перемещение тела и его проекции на оси координат.

2. (Сборник задач по физике. Степанова Г.Н.) Катер прошел из пункта А по озеру расстояние 5 км, затем повернул под углом 30° к направлению своего движения. После этого он двигался до тех пор, пока направление на пункт А не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какое расстояние до пункта А ему еще предстоит пройти?

3. (Сборник задач по физике 10-11 класс. Рымкевич А.П.) Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман на высоте 1 м. Найти путь и перемещение мяча.

4. (Задачи по физике для профильной школы. Гельфгат И.М., Кирик Л.А.) Вертолет, пролетев в горизонтальном направлении по прямой 400 км, повернул под углом 90⁰ и пролетел некоторое расстояние. Чему равно это расстояние, если в результате модуль перемещения вертолета оказался равным 500 км? Чему равен пройденный вертолетом путь?

5. (Задачи по физике для профильной школы. Гельфгат И.М., Кирик Л.А.) Сани спустились под углом 45⁰ к горизонту с горы длиной 100 м. Определите проекции перемещения саней по вертикальному и горизонтальному направлениям.

6. (Сборник задач по физике 10-11 класс. Рымкевич А.П.) На рисунке  показана траектория ABCD движения материальной точки из А в D. Найти координаты точки в начале и конце движения, пройденный путь, перемещение, проекции перемещения на оси координат.

7. Тело переместилось из точки с координатами х₁ = 0, у₁ = 2 м в точку с координатами х₂ = 4 м, у₂ = -1 м. Сделать чертеж, найти перемещение и его проекции на оси координат.