Как найти проекцию вектора?

[latexpage]Все физические величины  в физике делятся на две группы — скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются только числовым значением (время, масса, длина). Векторные же величины помимо числового значения характеризуются еще и направлением (скорость, сила, импульс). В физике, часто приходится иметь дело с суммой нескольких векторных величин, например, при нахождении равнодействующей сил. Сложение векторных величин осуществляется по правилу параллелограмма или правилу треугольника. Рассмотрим, например, закон сложения перемещений. Пусть в углу большой льдины расположен белый медведь (рис. 1). Он вознамерился перебраться в угол . Но и льдина не стоит на месте: за время пока медведь перебирается она швартуется к берегу. В итоге относительно берега медведь попадает в точку ${B}’$.

Пусть $\overrightarrow{s_a}$ — перемещение медведя относительно берега, который условно примем за неподвижную систему отсчета (НСО).  Пусть далее $\overrightarrow{s_o}$ — перемещение медведя относительно льдины, которую примем за подвижную систему отсчета (ПСО). И пусть, наконец, $\overrightarrow{s_1}$ — перемещение льдины относительно берега. Как нетрудно видеть, имеет место формула $\overrightarrow{s_a}=\overrightarrow{s_0}+\overrightarrow{s_1}$, т.е. перемещение тела в неподвижной системе отсчета равно сумме перемещений: тела в подвижной системе отсчета и самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Допустим модуль вектора перемещения $s_1 =5$ м, а $s_o=3$ м. Возникает вопрос: будет ли верным равенство $s_a=s_0+s_1$?

Рисунок дает однозначный ответ на этот вопрос: это равенство не будет верным, т.е. равенства $\overrightarrow{s_a}=\overrightarrow{s_0}+\overrightarrow{s_1}$ и $s_a=s_0+s_1$ не равноценны. Это означает, что нельзя просто убрать в векторном уравнении стрелки и подставить для расчета модули векторов. Однако несложно показать, что всякое векторное уравнение можно представить в скалярном виде, заменив все векторы их проекциями на оси, не изменяя знаки в уравнении. Именно поэтому для решения физических задач важно научиться находить проекции вектора на координатные оси. Укажем все возможные случаи нахождения проекций. Напомним, что проекция — это отрезок на координатной оси, который получается, если из начала и из конца вектора на координатную ось опустить перпендикуляры.

Рассмотрим все возможные случаи:

а) Вектор параллелен координатной оси. 

Из рисунка видно, что $ABDC$  — прямоугольник, в котором $AB=F$, $CD=F_x$. В силу равенства противоположных сторон треугольника получаем, что 

$AB=CD\Rightarrow F_x=F$.

Отметим здесь также, что проекция вектора на координатную ось положительна, если от проекции начала вектора к проекции его конца надо идти вдоль направления оси. Если же направление обхода проекции будет противоположным направлению оси, то проекция отрицательна. Проекция вектора на верхнем рисунке положительна, поэтому мы записали равенство $F_x=F$. Вектор, имеющий отрицательную проекцию изображен на следующем рисунке.

В этом случае $F_x= — F$.

б) Вектор перпендикулярен координатной оси.

В этом случае проекция вектора на координатную ось равна нулю. Например, на рисунке, проекции векторов силы тяжести и силы реакции опоры на координатную ось $x$ равны нулю, т.е. 

$N_x=0$ и $mg_x=0$.

в) Вектор расположен под углом $\alpha $ к координатной оси.

Выполнив необходимы построения заметим, что $AC=DE=F_x$, а $BC=MN=F_y$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Запишем соотношения между сторонами треугольника:

$\frac{AC}{AB}=\frac{F_x}{F}=cos\alpha $,

$\frac{BC}{AB}=\frac{F_y}{F}=sin\alpha $.

Выражая проекции из полученных уравнений, будем иметь:

$F_x=F cos \alpha$

$F_y=F sin \alpha$.

Предлагаем читатель самостоятельно потренироваться в нахождении проекций векторов на координатные оси $Ox$ и $Oy$ на следующих задачах.

Задача 1. При помощи динамометра ученик перемещал деревянный брусок массой 200 г по горизонтально расположенной доске. Сила трения при движении бруска равна 0,2 Н,  динамометр показывал 0,6 Н. Найдите проекции векторов всех сил, действующих на тело в процессе движения.

Задача 2. Тело брошено под углом 30° к горизонту со скоростью 20 м/с. Найдите проекции скорости на оси ОХ и OY.