[latexpage]Идея относительности движения — одна из основных в механике. В связи с этим возникает проблема: описание данного вида движения будет зависеть от выбора системы отсчета, т.е. в разных системах отсчета движение тела описывается разными уравнениями. Допустим, что при описании движения некоторого тела мы связали его с некоторой системой отсчета. Тогда возникает вопрос: как определить положение и скорость материальной точки в одной системе отсчета, связав его с положением и скоростью в другой, которая движется относительно первой, условно принимаемой за неподвижную? Впервые высказал идеи относительно решения этой проблемы еще Г. Галилей, которые нашли свое отражение в законе сложения скоростей.
Закон сложения скоростей: скорость тела $\overrightarrow{v}$ в неподвижной системе отсчета К2 равна векторной сумме скорости тела $\overrightarrow{v_{1}}$ в подвижной системе отсчета К1 и скорости подвижной системы отсчета $\overrightarrow{v_{2}}$ относительно неподвижной системы К2
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$.
Поясним суть сказанного на конкретном примере.
Теплоход движется относительно берега со скоростью 30 км/ч. По палубе идет пассажир со скоростью 5 км/ч. Какова скорость пассажира относительно берега?
Пассажир, является телом, скорость $\overrightarrow{v}$ которого необходимо найти в неподвижной системе отсчета связанной с берегом (система отсчета К2 и связанная с ней система координат $xOy$). Скорость пассажира указана относительно теплохода, т.е. $v_{1}=5$ км/ч — скорость пассажира относительно теплохода (скорость в движущейся системе отсчета К1 и связанная с ней система координат ${x}’O{y}’$). Скорость теплохода (К1 относительно К2) $v_{2}=30$ км/ч. Рассмотрим все возможные варианты.
1. Пассажир идет по ходу движения теплохода.
Согласно закону сложения скоростей $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$. Переходя к проекциям на ось $Ox$, получим
$v=v_{2x}+v_{1x}=v_{2}+v_{1}=30+5=35$ км/ч.
2. Пассажир идет против хода движения теплохода.
Согласно закону сложения скоростей $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$. Переходя к проекциям на ось $Ox$, получим
$v=v_{2x}+v_{1x}=v_{2}-v_{1}=30-5=25$ км/ч.
3. Пассажир идет перпендикулярно направлению движения теплохода.
По прежнему, согласно закону сложения скоростей $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$. Переходя к проекциям на оси, получим
$\left\{\begin{matrix}
v_{x}=v_{2x}+v_{1x}=v_{2}, \\
v_{y}=v_{2y}+v_{1y}=v_{1}.
\end{matrix}\right.$
$v=\sqrt{v_{1x}^{2}+v_{2x}^{2}}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}=\sqrt{900+25}\approx 30,41$ км/ч.
Заметим, что то же результат можно получить, если не находить проекции, а рассмотреть прямоугольный треугольник, катеты которого равны модулям векторов $\overrightarrow{v_{2}}$ и $\overrightarrow{v_{1}}$, а гипотенуза модулю вектора $\overrightarrow{v}$. Этот принцип мы используем при рассмотрении четвертого случая.
4. Пассажир идет под некоторым углом к направлению движения теплохода. Положим, для определенности, что $\alpha =120^{0}$. Во всех остальных случаях рассуждения аналогичные. Сложение векторов проведем по правилу параллелограмма.
Модуль вектора скорости $\overrightarrow{v}$ можно найти по теореме косинусов. Действительно, как видно из построений, можно рассмотреть треугольник в котором известны стороны, равные модулям векторов $\overrightarrow{v_{2}}$ и $\overrightarrow{v_{1}}$ и угол между ними $\beta =180^{0}-\alpha =60^{0}$. Тогда неизвестную сторону можно найти следующим образом
$v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}cos \beta $,
$v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{1}v_{2}cos \beta}$,
$v=\sqrt{900+25-2\cdot 30\cdot 5\cdot \frac{1}{2}}\approx 27,84$ км/ч.
В общем случае решение задачи на закон сложение скоростей можно представить в виде алгоритма:
1. Определить скорость какого тела необходимо найти в задаче;
2.Сделать выбор неподвижной системы отсчета (К2) и подвижной системы отсчета (К1).
Важно!!! В условиях задачи скорости тел заданы обычно относительно неподвижной системы отсчета (например, дороги или берега)
3. Обозначить интересующие нас скорости $v_{1}, v_{2}, v$.
4. Выполнить чертеж, на котором показать координатные оси и обозначить все векторы скорости.
5. Записать закон сложения скоростей в векторном виде.
6. Записать уравнение в проекциях. Пользуясь чертежом, найти проекции, выразить их через модули.
7. Записать дополнительные уравнения, если требуется. Произвести необходимые преобразования и вычисления.
Пример. Скорость велосипедиста равна 10 м/с, а скорость встречного ветра — 4 м/с. Какова скорость ветра относительно велосипедиста? Какова была бы скорость ветра относительно велосипедиста, если бы ветер был попутный?
Решение. 1. Заметим, что скорости заданы относительно Земли. По условию задачи нам необходимо определить скорость ветра.
2. Так как необходимо найти скорость ветра относительно велосипедиста, то свяжем с ним неподвижную систему отсчета, т.е. будем считать, что он не движется. Тогда подвижной системой отсчета будем считать Землю, которая движется относительно велосипедиста.
3. Тогда $v_{1}$ — скорость ветра относительно Земли, $v_{2}$ — скорость Земли относительно велосипедиста, а $v$ — скорость ветра относительно велосипедиста. Заметим, что Земля движется в противоположную сторону от движущегося велосипедиста.
4. Выполним чертеж
5. Запишем закон сложения векторов: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$.
6. Запишем уравнение в проекциях и найдем их
$v_{x}=v_{2x}+v_{1x}$,
$v=v_{2}+v_{1}$.
7. Вычисляем искомую скорость $v=10+4=14$ м/с.
Для того, чтобы ответить на второй вопрос задачи достаточно заметить, что если изменится направление скорости велосипедиста, то изменится и направление скорости Земли относительно велосипедиста на противоположное, а значит
$v_{x}=v_{2x}+v_{1x}$,
$v=v_{2}-v_{1}=10-4=6$ м/с.
Пример. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору?
Решение. 1. В задаче потребуется найти скорость пассажира, который будет идти вверх по эскалатору.
2. За неподвижную систему отсчета примем систему, связанную с Землей. Движущуюся систему отсчета свяжем с эскалатором.
3. Тогда $v_{1}$ — скорость человека относительно эскалатора, $v_{2}$ — скорость эскалатора относительно Земли, а $v$ — скорость человека относительно Земли.
4. Выполним чертеж
5. Запишем закон сложения векторов: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$.
6. Запишем уравнение в проекциях и найдем их
$v_{x}=v_{2x}+v_{1x}$,
$v=v_{2}+v_{1}$.
7. Заметим, что один и тот же путь, равный длине эскалатора, человек преодолевает за разное время. Обозначим его за $l$.
Тогда, в первом случае, когда пассажир неподвижен относительно эскалатора его скорость в системе отсчета связанной с Землей равна $v=v_{2}+v_{1}=v_{2}$, а пройденный путь $l=v_{2}t_{1}$.
Во втором случае, человек движется относительно Земли со скоростью $v_{1}$, а пройденный путь $l=v_{1}t_{2}$.
В третьем случае, скорость человека будет равна скорости, найденной в пункте 6. Тогда пройденный путь равен $v=(v_{2}+v_{1})t$, где $t$ — искомое время.
В результате мы получили систему, состоящую из трех уравнений и содержащую четыре неизвестных. В таких случаях стараются избавиться от лишнего количества неизвестных выражая их друг через друга. В данном случае, удобно использовать равенство пути во всех трех случаях. Возьмем первое и второе уравнения системы и приравняем их правые части
$v_{2}t_{1}=v_{1}t_{2}$,
$v_{2}=v_{1}\frac{t_{2}}{t_{1}}=v_{1}\cdot \frac{3}{1}=3v_{1}$.
Теперь возьмем второе и третье уравнение системы и также приравняем правые части
$v_{1}t_{2}=(v_{2}+v_{1})t$,
$v_{1}t_{2}=(3v_{1}+v_{1})t$,
$v_{1}t_{2}=4v_{1}t\Rightarrow t=\frac{t_{2}}{4}$,
$t=\frac{3}{4}$ мин $ = 45$ с.
Пример. Расстояние от пункта А до пункта В катер проходит за время $t_{1}=3$ ч, обратный путь занимает у катера $t_{2}=6$ ч. Какое время потребуется катеру, чтобы преодолеть расстояние от А до В при выключенном моторе? Скорость катера относительно воды постоянна.
Решение. 1. В данной задаче необходимо найти скорость течения реки, поскольку при выключенном моторе лодка будет двигаться со скоростью, равной скорости течения.
2. Неподвижную систему отсчета свяжем с берегом реки, подвижную систему отсчета с самой рекой.
3. Обозначим $v_{1}$ — скорость катера относительно воды, $v_{2}$ — скорость течения реки, $v$ — скорость катера относительно берега.
4. Выполним чертеж. Всего в данной задаче рассматривается три ситуации: когда катер плывет по течению, против течения и по течению с выключенным мотором.
5. Запишем закон сложения векторов, который во всех трех случаях будет выглядеть одинаково: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$.
6. Запишем уравнение в проекциях и найдем их
$v_{x}=v_{2x}+v_{1x}$.
В первом случае: $v_{x}=v_{2}+v_{1}$.
Во втором случае: $v_{x}=v_{1}-v_{2}$.
В третьем случае: $v_{x}=v_{2}$.
7. Составим систему уравнений. Пусть расстояние от А до В равно $l$. Тогда
$l=(v_{2}+v_{1})t_{1}$,
$l=(v_{1}-v_{2})t_{2}$,
$l=v_{2}t$.
Воспользуемся тем же приемом, что и в предыдущей задаче, а именно, приравняем первое и второе уравнение (так как нам известно время $t_{1}$ и $t_{2}$, а значит мы можем выразить одну скорость через другую)
$(v_{2}+v_{1})t_{1}=(v_{1}-v_{2})t_{2}$,
$v_{2}t_{1}+v_{1}t_{1}=v_{1}t_{2}-v_{2}t_{2}$,
$v_{2}t_{1}+v_{2}t_{2}=v_{1}t_{2}-v_{1}t_{1}$,
$v_{2}(t_{1}+t_{2})=v_{1}(t_{2}-t_{1})$,
$v_{2}=\frac{v_{1}(t_{2}-t_{1})}{t_{1}+t_{2}}$.
После подстановки, получим $v_{2}=\frac{v_{1}}{3}$ или $v_{1}=3v_{2}$.
Теперь берем второе и третье уравнение системы и также приравниваем праве части:
$(v_{1}-v_{2})t_{2}=v_{2}t$,
$(3v_{2}-v_{2})t_{2}=v_{2}t_{2}\Rightarrow 2v_{2}t_{2}=v_{2}t$,
Значит, $t=2t_{2}=12$ ч.
Пример. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда?
Решение. 1. В данной задаче нужно найти скорость второго поезда относительно первого.
2. Неподвижную систему отсчета свяжем с первым поездом, подвижную систему отсчета с Землей (по аналогии с первым примером).
3. Обозначим $v_{1}$ — скорость первого поезда относительно Земли, $v_{2}$ — скорость Земли относительно первого поезда, $v$ — скорость второго поезда относительно первого.
4. Выполним чертеж. Данная задача подразумевает одну ситуацию при которой поезда движутся навстречу друг другу, но не забываем, что мы считаем первый поезд неподвижным, а указываем скорость Земли относительно него.
5. Запишем закон сложения векторов: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$.
6. Запишем уравнение в проекциях и найдем их
$v_{x}=v_{2x}+v_{1x}$,
$v=v_{2}+v_{1}$.
7. Искомая длина поезда будет равна $l=v\cdot t=(v_{2}+v_{1})t=(20+15)\cdot 14=490$ м. Отметим на последок, что указанные в условие задачи модули скоростей мы привели в соответствие с системой СИ, т.е. выразили скорость из км/ч в м/с.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Скорость движения лодки относительно воды в n раз больше скорости течения реки. Во сколько раз больше времени занимает поездка на лодке между двумя пунктами против течения, чем по течению? Решить задачу для значений n = 2 и n = 11.
В $\frac{n+1}{n-1}$ раз; 3; 1,2.
2. Недавно я разминался, бегая вдоль железной дороги. Навстречу мне промчались два поезда — один через 6 мин после другого. Я знал, что они оба идут со скоростью 60 км/ч, причем второй поезд отправился со станции через 10 минут после первого. Я тут же достал блокнот и ручку и прямо на бегу вычислил по этим данным свою скорость. Если и вы сможете ее определить, то увидите, что я неплохо бегаю!
40 км/ч.
3. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за время равное 1 мин. Если человек будет двигаться относительно эскалатора вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?
90 с.
4. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 36 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него за 6 с. Какова длина второго поезда?
150 м.