1.5. Неравномерное движение. Средняя скорость

[latexpage]В предыдущем параграфах мы рассматривали простейший вид движения — равномерное. Однако в реальной жизни встретить такое движение достаточно сложно. Наиболее распространено движение неравномерное, т.е. движение при котором тело за одинаковые промежутки времени проходит разные расстояния. Неравномерное движение также можно охарактеризовать с помощью скорости, однако при неравномерном движении вектор скорости может непрерывно меняться, поэтому вводят понятие средней скорости перемещения. Скорость, с которой должна равномерно и прямолинейно двигаться точка, чтобы попасть из начального положения в конечное за определённый промежуток времени, называется средней скоростью перемещения.

$\overrightarrow{v_{cp}}=\frac{\overrightarrow{\Delta s}}{\Delta t}$.

При уменьшении промежутка времени $\Delta t$ перемещения точки изменяются как по направлению так и по модулю, значит средние скорости за эти промежутки времени также будут изменяться. Но по мере того как промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю перемещения, а значит и средние скорости, будут мало отличаться друг от друга. Можно сказать, что отношение $\frac{\overrightarrow{\Delta s}}{\Delta t}$ стремится к некоторому предельному значению. Эту величину называют мгновенной скоростью или просто скоростью в данный момент времени. То есть скорость точки в данный момент времени называется мгновенной скоростью. 

Важно!!! Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

Это наглядно видно на следующей анимации. При работе «болгарки» искры вылетают из под режущего диска как раз по касательной к нему.

Однако, чаще всего, когда говорят о средней скорости неравномерного движения имеют ввиду не среднюю скорость перемещения, а среднюю путевую скорость. Средняя путевая скорость — отношение пройденного пути ко времени, за который этот путь был пройден

$v_{cp}=\frac{ s}{t}$.

Если удается представить неравномерное движение как совокупность равномерных движений на отдельных участках, то среднюю скорость можно искать так

$v_{cp}=\frac{s_{1}+s_{2}+…+s_{n}}{t_{1}+t_{2}+…+t_{n}}=\frac{v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+…+v_{n}t_{n}}{t_{1}+t_{2}+…+t_{n}}$.

Важно!!! Наиболее распространенной ошибкой при решении задач на среднюю путевую скорость (в дальнейшем, когда будем говорить об этой скорости, будем говорить просто — средняя скорость) является следующая: среднюю скорость находят как среднее арифметическое скоростей на отдельных участках. Такой вариант имеет место быть, но только в том случае, если время движения на отдельных участках пути одинаково, т.е. если $t_{1}=t_{2}=…=t_{n}$, то 

$v_{cp}=\frac{v_{1}+v_{2}+…+v_{n}}{n}$.

Полезные советы.

1. При решении задачи сделайте простейший чертеж, на котором покажите все отрезки пути.

2. Около каждого отрезка для наглядности можно показать обозначения скорости, пути и времени движения.

3. Если движение на отдельных участках характеризуется одинаковыми величинами, то вводите общее обозначение для них, например, $t_{1}=t_{2}=t$ или $v_{1}=v_{2}=v$.

Пример. Три четверти всего времени движения автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а остальную часть времени он ехал со скоростью 80 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?

Решение. Выполним чертеж

Вычислим среднюю скорость

$v_{cp}=\frac{s_{1}+s_{2}}{t_{1}+t_{2}}=\frac{v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}=\frac{v_{1}\cdot \frac{3}{4}t+v_{2}\cdot \frac{t}{4}}{\frac{3}{4}t+\frac{t}{4}}=\frac{t(\frac{3}{4}v_{1}+\frac{1}{4}v_{2})}{t}= \frac{3}{4}v_{1}+\frac{1}{4}v_{2} $,

$v_{cp}= \frac{3}{4} \cdot 60+\frac{1}{4} \cdot 80 =  65$ км/ч.

Пример. Два автомобиля выехали одновременно из Москвы в Петербург. Один автомобиль ехал половину пути со скоростью 120 км/ч, а вторую — со скоростью 80 км/ч. Другой автомобиль первую половину времени ехал со скоростью 80 км/ч, а вторую со скоростью 120 км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше?

Решение. Выполним чертеж

Найдем среднюю скорость движения первого автомобиля

$v_{cp1}=\frac{s_{1}+s_{2}}{t_{1}+t_{2}}=\frac{\frac{s}{2}+\frac{s}{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}}+\frac{s_{2}}{v_{2}}}=$

$=\frac{s}{\frac{s}{2v_{1}}+\frac{s}{2v_{2}}}=\frac{s}{s(\frac{1}{2v_{1}}+\frac{1}{2v_{2}})}=$

$=\frac{1}{\frac{1}{2v_{1}}+\frac{1}{2v_{2}}}=\frac{1}{\frac{v_{2}+v_{1}}{2v_{1}v_{2}}}=\frac{2v_{1}v_{2}}{v_{2}+v_{1}}$,

$v_{cp1}=\frac{2\cdot 120\cdot 60}{120+60}= 80$ км/ч.

Средняя скорость второго автомобиля равна среднему арифметическому скоростей, т.к. время движения на отдельных участках одинаково

$v_{cp2}=\frac{120+80}{2}=100$ км/ч.

Так как средняя скорость движения второго автомобиля больше, то он приедет в Петербург раньше.

Пример. Против течения мы плывем медленнее, чем в стоячей воде; зато по течению наоборот — быстрее. Возникает вопрос: где удастся скорее проплыть одно и то же расстояние туда и обратно — в реке или в озере.

Решение. Сделаем чертеж

Рассмотрим первый случай (на рисунке а) тело плывет по реке. Тогда, согласно закону сложения скоростей, его скорость по течению будет равна ${v}’=v_{1}+v_{2}$, где $v_{2}$ и $v_{1}$ скорость тела относительно воды и скорость течения соответственно. Тогда скорость тела против течения равна ${v}»=v_{2}-v_{1}$. Найдем среднюю скорость движения в этом случае

$v_{cp}=\frac{s_{1}+s_{2}}{t_{1}+t_{2}}=\frac{s+s}{\frac{s}{{v}’}+\frac{s}{{v}»}}=\frac{2s}{s(\frac{1}{v_{1}+v{2}}+\frac{1}{v_{2}-v{1}})}=$

$=\frac{2}{\frac{v_{2}-v{1}+v_{2}+v{1}}{(v_{2}+v{1})(v_{2}-v{1})}}=\frac{2(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}{2v_{2}}=\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{v_{2}}$.

Во втором случае скорость движения на всем пути будет равна $v_{2}$.

Сравним скорости движения

$\frac{v_{cp}}{v_{2}}=\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{v_{2}} :v_{2}=\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}}$.

Видно, что последнее выражение будет меньше 1, а значит в стоячей воде скорость движения больше, чем средняя при движении по реке туда и обратно. Значит меньшее время потребуется, если плыть в озере.

Пример. Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч. Половину оставшегося времени движения он ехал со скоростью 15 км/ч, а последний участок пути — со скоростью 45 км/ч. Чему равна средняя скорость автомобиля на всем пути?

Решение. Сделаем чертеж

Время движения на последних двух участках пути равно, значит 

$\frac{s_{2}}{v_{2}}=\frac{s_3}{v_3}\Rightarrow s_2v_3=s_3v_2\Rightarrow 45s_2=15s_3\Rightarrow s_3=3s_2$.

С другой стороны $s_2+s_3=\frac{s}{2}$, значит $s_2+3s_2=\frac{s}{2} \Rightarrow s_2=\frac{s}{8}$.  Аналогично, $\frac{s_3}{3} +s_3=\frac{s}{2} \Rightarrow \frac{4s_3}{3}=\frac{s}{2}\Rightarrow s_3=\frac{3s}{8}$. Находим среднюю скорость

$v_{cp}=\frac{s_1+s_2+s_3}{t_1+t_2+t_3}=\frac{s}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}+\frac{s_3}{v_3}}=$

$= \frac{s}{\frac{s}{2v_1}+\frac{s}{8v_2}+\frac{3s}{8v_3}}=\frac{1}{\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{8v_2}+\frac{3}{8v_3}}$.

$v_{cp}=\frac{1}{\frac{1}{2\cdot 60}+\frac{1}{8\cdot 15}+\frac{3}{8\cdot 45}}=\frac{1}{\frac{3}{120}}=40$ км/ч.

Пример. Катер проплыл по реке из пункта А в пункт Б и обратно, причём путь в одну сторону занял в 3 раза больше времени, чем в другую. Чему равны скорость катера относительно воды и скорость течения, если средняя путевая скорость катера относительно берега за всё время движения равна 3 км/ч?

Решение. Сделаем чертеж

Учитывая, что пройденный путь по течению и против течения одинаков, получим $v_1t_1=v_2t_2\Rightarrow v_1=3v_2$ или $v_k+v_\tau =3(v_k-v_\tau)\Rightarrow v_k=2v_\tau $. Указанные скорости течения и катера будут входить в формулу расчета средней скорости, значит, так как нам известно значение средней скорости, их можно найти оттуда. Имеем 

$v_{cp}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{2s}{4t_1}=\frac{s}{2\cdot \frac{s}{v_1}}=\frac{v_1}{2}=\frac{v_k+v_\tau }{2}=\frac{3v_\tau }{2}$,

$v_\tau =\frac{2v_{cp}}{3}=2$ км/ч.

$v_k=2v_\tau=4$ км/ч.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Когда моя любимая лошадь подворачивает ногу, я обычно взваливаю лошадь на себя, и мы продолжаем движение, но медленнее: когда я вверху наша скорость 120 км/ч, а когда я внизу — 30 км/ч. Чему равна наша средняя скорость, если: а) я еду полпути, а потом несу лошадь; б) я еду половину времени, а потом несу лошадь?

2. Два автомобиля одновременно выехали из пункта А в пункт Б. Первый автомобиль половину пути ехал со скоростью 50 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 70 км/ч. Второй автомобиль первую половину времени ехал со скоростью 50 км/ч, а вторую половину — со скоростью 70 км/ч.

а) Чему равны средние скорости автомобилей?
б) Какой автомобиль приехал в пункт Б раньше?
в) Насколько один автомобиль приехал в пункт Б раньше другого, если расстояние от А до Б равно 120 км?

3. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью 50 км/ч, а вторую со скоростью 100 км/ч?

4. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью 700 км/ч, вторую треть — со скоростью 500 км/ч, а оставшуюся часть пути — со скоростью вдвое большей средней скорости на первых двух участках пути.

5. На дорогу от Кубинки до Москвы водитель обычно тратит 40 мин. Однако, в часы пик, чтобы ехать с привычной скоростью, ему приходится выбирать другой маршрут. Этот путь на 20% длиннее и 12 минут занимают остановки. Все равно он экономит 15 минут. Во сколько раз его скорость в часы пик меньше его обычной скорости?