1.6. Прямолинейное равноускоренное движение

[latexpage]При неравномерном движении скорость тела изменяется с течением времени. Этот процесс изменения характеризуется ускорением. Ускорение — векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло

$\overrightarrow{a}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_0}}{t}$.

Простейшим, из всех видов неравномерного движения, является движение равноускоренное, т.е. движение с постоянным по модулю и направлению ускорением. Единица измерения ускорения — м/с² (метр в секунду в квадрате). Мы будем, пока что, рассматривать прямолинейное равноускоренное движение. При прямолинейном равноускоренном движении ускорение 1 м/с² означает, что скорость тела изменяется (увеличивается или уменьшается) на 1 м/с.

Векторы ускорения и начальной скорости могут иметь различные направления, поэтому переход от векторной формы к уравнению в модулях может оказаться сложной задачей.  Самым большим заблуждением здесь является то, что если проекция ускорения отрицательна, то тело тормозит (хотя в большинстве случаев так и есть). Покажем, что это не всегда так. Возможны следующие варианты. Рассмотрим конкретный пример — движение лифта вверх и вниз. Весь путь разобьем на 4 участка. Ось Ох всегда будет направлена вверх. Заметим, что направления вектора ускорения будет зависеть от разности $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_0}$ и будет направлен в сторону большего по модулю вектора.

а) Лифт начинает движение вверх с некоторой начальной скоростью. Проекции начальной скорости и мгновенной скорости в некоторый момент времени положительны, причем $v>v_0$ (значит, вектор ускорения направлен вверх), проекция ускорения также положительна 

$a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}=\frac{v-v_0}{t}=a$.

б) Лифт движется вверх и останавливается. Проекции начальной и мгновенной скорости по-прежнему положительны, но $v<v_0$ (значит, вектор ускорения направлен вниз), а значит проекция ускорения отрицательна

$a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}=\frac{v-v_0}{t}=-a$.

в) Лифт начинает движение вниз (для общности рассуждений будем полагать, что он начинает движение с некоторой начальной скоростью). Проекции начальной скорости и мгновенной скорости на выбранную ось отрицательны, причем $v>v_0$ (значит, вектор ускорения направлен вниз), проекция ускорения также отрицательна

$a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}=\frac{-v+v_0}{t}=-a$.

г) Лифт движется вниз и останавливается. Проекции начальной и мгновенной скорости по-прежнему отрицательны, но $v<v_0$ (значит, вектор ускорения направлен вверх), а значит проекция ускорения положительна

$a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}=\frac{-v+v_0}{t}=a$.

Из формулы ускорения получим, что скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{a}t$, уравнение в проекциях

$v_x=v_{0x}+a_x t$.

По этому уравнению видно, что при равноускоренном прямолинейном движении скорость изменяется по линейному закону. Эту зависимость можно представить графически, графиком будет являться прямая линия. В зависимости от значений модулей и направлений векторов начальной скорости и ускорения графики могут выглядеть следующим образом

В точках А и В скорость тела становится равной нулю (тело останавливается), затем продолжает движение в противоположном направлении (о чем свидетельствует смена знака проекции скорости) с у увеличивающейся по модулю скоростью. Также по графику можно вычислить проекцию ускорения либо просто оценить какое из тел движется с большим по модулю ускорением. Это возможно сделать, сравнив углы наклона графиков, чем меньше угол наклона графика скорости, тем меньше модуль ускорения. Например, на первом графике $\alpha _2< \alpha _1$, а значит $a_2<a_1$.

Рассмотрим график скорости прямолинейного равноускоренного движения. Как известно перемещение тела можно найти как площадь под графиком скорости. Найдем перемещение тела по графику за время $t$. Численно оно будет равно площади прямоугольной трапеции, где основания $DC=v_x$ и $OA=v_{0x}$, а высота $OC = t$, тогда

$ S=\frac{DC+OA}{2} \cdot OC\Rightarrow s_x=\frac{v_x+v_{0x}}{2} \cdot t$.

Подставим в полученную формулу выражение для проекции скорости $v_x=v_{0x}+a_x t$, получим

$s_x=\frac{v_{0x}+a_x t+v_{0x}}{2} \cdot t=\frac{2v_{0x}+a_x t}{2} \cdot t=(v_{0x}+\frac{a_x t}{2}) \cdot t=v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}$.

Выразим из формулы ускорения время и подставим в первую формулу перемещения

$s_x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}\cdot \frac{v_{x}-v_{0x}}{a_x}=\frac{v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_x}$.

Из приведенных формул последние две приведены в кодификаторе, значит, их можно использовать при решении задач части 2 с развернутым ответом, а первую формулу, прежде чем использовать, необходимо вывести.

В заключение, приведем уравнения прямолинейного равноускоренного движения. Помним, что координаты находятся следующим образом

$\left\{\begin{matrix}
x=x_0+s_x, \\
y=y_0+s_y.
\end{matrix}\right.$

Для проекции перемещения будем использовать вторую формулу, значит координаты будут иметь вид

$\left\{\begin{matrix}
x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}, \\
y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_y t^2}{2}.
\end{matrix}\right.$

Видно, что указанные зависимости выражают квадратичные зависимости, т.е. графиком зависимости координаты от времени является парабола.

Пример. Самолет пробегает по бетонированной дорожке расстояние 790 м. При отрыве от земли его скорость 240 км/ч. Какое время продолжался разбег и с каким ускорением двигался самолет?

Решение. Вначале выберем систему отсчета — свяжем ее с землей, а координатную ось направим по направлению движения самолета, тогда проекции всех векторов (мгновенной скорости и ускорения) будут положительны, т.к. направлены вдоль оси Ох. В описанной ситуации самолет  набирает необходимую скорость,чтобы взлететь. Очевидно, что в начале движения он покоился, значит начальная скорость самолета равна нулю. При отрыве от земли скорость равна $v=240\cdot \frac{1000}{3600}=\frac{200}{3}$ м/с. Время найдем из формулы перемещения

$ s_x=\frac{v_x+v_{0x}}{2} \cdot t=\frac{vt}{2} \Rightarrow t=\frac{2s}{v}$.

То есть $t=\frac{2\cdot 790}{\frac{200}{3}}=23,7$ c.

Теперь найдем ускорение по формуле $a=\frac{v-v_{0}}{t}=\frac{v}{t}$, имеем

$a=\frac{\frac{200}{3}}{23,7}\approx 2,8$ м/с².

Пример. Шарик толкнули вверх по наклонной плоскости. Начальная скорость шарика 4 м/с. Ускорение шарика при движении вверх и вниз по наклонной плоскости одинаково и равно по модулю 0,5 м/с². Через сколько секунд после начала движения скорость шарика будет равна по модулю 2 м/с?

Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с наклонной плоскостью, а координатную ось направим вдоль ее поверхности. В первом и во втором случаях направление ускорения будет направлено одинаково, противоположно направлению оси Ох, так как в первом случае скорость тела уменьшается, значит вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости — вниз, во втором случае тело движется вниз, его скорость увеличивается, значит вектор ускорения направлен также вниз.

Напишем уравнение выражающее зависимость проекции скорости от времени $v_x=v_{0x}+a_x t$, имеем

$v_x=4-0,5 t$.

Указанному в задаче условию (модуль скорости равен 2 м/с) соответствует два случая: $v_x= 2$ м/с и $v_x= -2$. Подставив эти значения в уравнению, получим

$4-0,5 t=2\Rightarrow t=4$ с,

$4-0,5 t=-2\Rightarrow t=12$ с.

Пример. Уклон длиной 100 м лыжник прошел за 20 с, двигаясь с ускорением 0,3 м/с². Какова скорость лыжника в начале и в конце уклона?

Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с уклоном, а координатную ось направим в сторону движения лыжника. 

Проекция перемещения лыжника в выбранной системе отсчета будет положительна, а значит, 

$s=v_{0}t+\frac{a t^2}{2}$,

выразим отсюда начальную скорость

$v_0t=s-\frac{at^2}{2}=\frac{2s-at^2}{2}\Rightarrow v_0=\frac{2s-at^2}{2t}$,

$v_0=\frac{2\cdot 100-0,3\cdot 20^2}{2\cdot 20}=2$ м/с.

Тогда, скорость в конце уклона равна $v=2+0,3\cdot 20=8$ м/с.

Заметим, что, если бы скорость лыжника уменьшалась, то получили бы значения $v_0= 8$ м/с и $v=2$ м/с (предлагаем это утверждение проверить самостоятельно).

Пример. При скорости υ₁ = 15 км/ч тормозной путь автомобиля равен s₁ = 1,5 м. Каким будет тормозной путь s₂ при скорости υ₂ = 90 км/ч? Ускорение в обоих случаях одно и то же.

Решение. Выполним чертеж

Конечная скорость движения в обоих случаях равна нулю. Значит, учитывая знаки проекций векторов, получим

$s_x=\frac{v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_x}=\frac{v_{0}^{2}}{2a}=s$

Найдем отношение пройденных путей

$\frac{s_1}{s_2}=\frac{v_{01}^2}{2a}:\frac{v_{02}^2}{2a}=\frac{v_{01}^2}{2a}\cdot \frac{2a}{v_{02}^2}=\frac{v_{01}^2}{v_{02}^2}=\left ( \frac{v_{01}}{v_{02}} \right )^2=\left ( \frac{15}{90} \right )^2=\left ( \frac{1}{6} \right )^2=\frac{1}{36}$.

То есть тормозной путь увеличивается в 36 раз, а значит равен $s_2=36s_1=36\cdot 1,5=54$ м.

Примечание. В данной задаче мы намеренно не стали переводить скорость из км/ч в м/с, поскольку это привело бы к появлению неточностей при вычислении, но 

  $\frac{s_1}{s_2}=\left ( \frac{15\cdot \frac{1000}{3600}}{90\cdot \frac{1000}{3600}} \right )^2=\left ( \frac{15}{90} \right )^2=\frac{1}{36}$.

Пример. Лыжник скатился с горы длиной 60 м за 15 с, а затем проехал по горизонтальному участку еще 30 м до полной остановки. Найдите скорость лыжника в конце спуска и ускорение на горизонтальном участке. Постройте график зависимости скорости от времени.

Решение. Понятно, что на первом участке направление ускорения совпадает по направлению с направлением вектора скорости, а во втором вектор ускорения направлен против вектора скорости. По условию задачи, на первом участке пути начальная скорость равна нулю, а на втором — конечная скорость равна нулю. Поэтому для первого участка имеем

$s_1=\frac{v+v_0}{2}\cdot t=\frac{vt}{2}\Rightarrow v=\frac{2s_1}{t}$,

$v=\frac{2\cdot 60}{15}=8$ м/с.

На втором участке $v_0=v$,  имеем

$s_2=\frac{v_{1}^{2}-v_{0}^{2}}{-2a}=\frac{v^2}{2a}\Rightarrow a=\frac{v^2}{2s_2}$,

$a=\frac{8^2}{2 \cdot 30 }\approx1,07$ м/с².

При этом, время движения на втором участке $s_2=\frac{v_1+v_0}{2}\cdot t_2=\frac{vt_2}{2}\Rightarrow t_2=\frac{2s_2}{v}=\frac{2\cdot 30}{8}=7,5 $ м/с.

График скорости будет выглядеть следующим образом

Пример. Тело начинает двигаться из состояния покоя равноускоренно и за десятую секунду проходит путь 38 м. Найти путь, пройденный телом за 12 секунду движения.

Решение.  Покажем как изменяется модуль вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости за последовательно равные промежутки времени (для общности рассуждений будем считать, что промежутки времени равны $t_1=t, t_2=2t, t_3=3t$  и так далее). Выполняются следующие условия

$s_1=\frac{at_{1}^2}{2}=\frac{at^2}{2}=s$,

$s_2=\frac{at_{2}^2}{2}=\frac{a4t^2}{2}=4s$,

$s_3=\frac{at_{3}^2}{2}=\frac{a9t^2}{2}=9s$.

Видно, что при увеличении промежутков времени, отсчитываемых от начала движения, в целое число раз по сравнению с t₁ модули соответствующих векторов перемещений возрастают как ряд квадратов последовательных натуральных чисел

$s_1 : s_2 : s_3 : … = 1 : 4 : 9 : …$

Выполним чертеж

Из рисунка видна еще одна закономерность: модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени (каждый из которых равен t), относятся как ряд последовательных нечётных чисел.

В нашей задаче промежуток времени $t$ равен 1 секунде, а интервалы времени соответственно десятый и двенадцатый. Запишем ряд нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, … Из этой последовательности выберем десятое и двенадцатое число — это 19 и 23, значит

$s_{10} : s_{12} = 19 : 23 \Rightarrow s_{12}= \frac{23s_{10}}{19}=\frac{23 \cdot 38}{19}=46$ м.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Тело, двигаясь прямолинейно с ускорением 5 м/с², достигло скорости 30 м/с, а затем, двигаясь равнозамедленно, остановилось через 10 с. Определить путь, пройденный телом.

2. Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают движение из состояния покоя. Ускорение мотоциклиста в 3 раза больше, чем велосипедиста. Во сколько раз большую скорость разовьет мотоциклист: а) за одно и то же время; б) на одном и том же пути?

3. Тело, двигаясь прямолинейно с ускорением 2 м/с², за время 0,1 мин прошо путь 42 м. Какой была начальная скорость тела?

4. Камень, брошенный по льду со скоростью 5 м/с, останавливается на расстоянии 25 м от места бросания. Определите путь пройденный камнем за первые 2 секунды движения.

5. Тело, движущееся равноускоренно с начальной скоростью 1 м/с, пройдя некоторое расстояние, приобретает скорость 7 м/с. Какова была скорость в тот момент времени, когда оно прошло половину расстояния?

6. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью 72 км/ч, подъезжая к закрытому железнодорожному переезду, начал тормозить на расстоянии 50 м от него. У переезда машина стояла 50 с. После того как шлагбаум открыли, водитель набрал прежнюю скорость на том же отрезке пути. Насколько ближе к месту назначения оказался бы водитель автомобиля, если бы он ехал с прежней скоростью без остановки? Движение при разгоне и торможении считать равноускоренным.

7. Известно, что материальная точка за 10 с прошла путь 60 м, причем ее скорость увеличилась в 5 раз. Определить ускорение, считая его постоянным.

8. Тело, первоначально движущееся прямолинейно со скоростью 4 м/с, начинает двигаться с ускорением в том же направлении и за время 5 с проходит 70 м. Найти ускорение тела.