При неравномерном движении скорость тела изменяется с течением времени. Этот процесс изменения характеризуется ускорением. Ускорение — векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло
$\overrightarrow{a}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_0}}{t}$.
Простейшим, из всех видов неравномерного движения, является движение равноускоренное, т.е. движение с постоянным по модулю и направлению ускорением. Единица измерения ускорения — м/с2 (метр на секунду в квадрате). Мы будем, пока что, рассматривать прямолинейное равноускоренное движение. При прямолинейном равноускоренном движении с ускорением 1 м/с2 скорость тела изменяется (увеличивается или уменьшается) на 1 м/с за каждую секунду движения.
Векторы ускорения и начальной скорости могут иметь различные направления, поэтому переход от векторной формы к уравнению в модулях может оказаться сложной задачей. Самым большим заблуждением здесь является то, что если проекция ускорения отрицательна, то тело тормозит (хотя в большинстве случаев так и есть). Гораздо полезнее понимать как направлен вектор ускорения по отношению к вектору скорости при разгоне и торможении. Рассмотрим эти случаи.
Тело начинает движение с некоторой начальной скоростью. Модуль скорости тела увеличивается. Из формулы ускорения, записанной в проекциях
$a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}$,
становится понятно, что знак проекции ускорения определяется знаком разности $v_x-v_{0x}$. Поскольку $v_x>v_{0x}$, то $v_x-v_{0x}>0$. Это в свою очередь означает, что $a_x>0$, т.е. при равноускоренном прямолинейном движении с увеличивающейся по модулю скоростью вектор ускорения совпадает по направлению с вектором скорости тела (см. рис ниже).
Движущееся тело начинает тормозить. Проведем рассуждения аналогичные тем, что были выше. Поскольку при торможении $v_x<v_{0x}$, то $v_x-v_{0x}<0$. Значит $a_x<0$, т.е. при равноускоренном прямолинейном движении с уменьшающейся по модулю скоростью вектор ускорения направлен противоположно по отношению к вектору скорости тела (см. рис ниже).
Из формулы ускорения получим, что скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{a}t$, уравнение в проекциях
$v_x=v_{0x}+a_x t$.
По этому уравнению видно, что при равноускоренном прямолинейном движении скорость изменяется по линейному закону. Напомним, что линейной зависимостью мы называем зависимость вида $y=kx+b$, в нашем случае роль независимой переменной $x$ играет время движения $t$, зависимой переменной $y$ — проекция скорости $v_x$, которая меняется с течением времени и при неизменных коэффициентах $k=a_x$ и $b=v_{0x}$ будет принимать различные значения в различные моменты времени, т.е. изменяться с течением времени или зависеть от времени движения. Эту зависимость можно представить графически, графиком будет являться прямая линия. В зависимости от значений модулей и направлений векторов начальной скорости и ускорения графики могут выглядеть следующим образом
В точках А и В скорость тела становится равной нулю (тело останавливается), затем продолжает движение в противоположном направлении (о чем свидетельствует смена знака проекции скорости) с увеличивающейся по модулю скоростью. Также по графику можно вычислить проекцию ускорения либо просто оценить какое из тел движется с большим по модулю ускорением. Это возможно сделать, сравнив углы наклона графиков, чем меньше угол наклона графика скорости, тем меньше модуль ускорения. Например, на первом графике $\alpha _2> \alpha _1$, а значит $a_2>a_1$.
Рассмотрим график скорости прямолинейного равноускоренного движения. Как известно перемещение тела можно найти как площадь под графиком скорости (мы знаем, что это действительно так в случае равномерного прямолинейного движения, оставим это утверждение без доказательства в случае прямолинейного равноускоренного движения). Найдем перемещение тела по графику за время $t$. Численно оно будет равно площади прямоугольной трапеции $OABC$, где основания $BC=v_x$ и $OA=v_{0x}$, а высота $OC = t$, тогда
$ S=\frac{BC+OA}{2} \cdot OC\Rightarrow s_x=\frac{v_x+v_{0x}}{2} \cdot t$.
Подставим в полученную формулу выражение для проекции скорости $v_x=v_{0x}+a_x t$, получим
$s_x=\frac{v_{0x}+a_x t+v_{0x}}{2} \cdot t=\frac{2v_{0x}+a_x t}{2} \cdot t=(v_{0x}+\frac{a_x t}{2}) \cdot t=v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}$.
Выразим из формулы ускорения время и подставим в первую формулу перемещения
$s_x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}\cdot \frac{v_{x}-v_{0x}}{a_x}=\frac{v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_x}$.
В заключение, приведем уравнение координаты при прямолинейном равноускоренном движении
$x=x_0+s_x$,
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}$.
Указанная зависимость — квадратичная, т.е. графиком зависимости координаты от времени при прямолинейном равноускоренном движении является парабола.
Отдельный интересный случай представляет собой прямолинейное равноускоренное движение без начальной скорости, т.е. тело движется из состояния покоя. Понятно что при таком движении скорость тела может только увеличиваться, а значит вектор ускорения совпадает по направлению со скоростью движущегося тела и с вектором перемещения тоже. Поэтому проекции перемещения и ускорения будут иметь одинаковые знаки и мы получим следующее выражение
$s_x=v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2} \Rightarrow s=\frac{a t^2}{2}$.
Покажем как изменяется модуль вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости за промежутки времени $t_1=t, t_2=2t, t_3=3t$ и так далее. Выполняются следующие условия
$s_1=\frac{at_{1}^2}{2}=\frac{at^2}{2}=s$,
$s_2=\frac{at_{2}^2}{2}=\frac{a4t^2}{2}=4s$,
$s_3=\frac{at_{3}^2}{2}=\frac{a9t^2}{2}=9s$.
Видно, что при увеличении промежутков времени, отсчитываемых от начала движения, в целое число раз по сравнению с t1 модули соответствующих векторов перемещений возрастают как ряд квадратов последовательных натуральных чисел
$s_1 : s_2 : s_3 : … = 1 : 4 : 9 : …$
Из рисунка видна еще одна закономерность: модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени (каждый из которых равен t), относятся как ряд последовательных нечётных чисел.
Алгоритм решения задач по кинематике
1. Внимательно прочитайте задачу. Определить характер движения. Проанализируйте условие, выясните условия которые заданы и величины которые необходимо определить. Сделать краткую запись условия задачи, внесистемные единицы перевести в систему СИ.
Примечание. В курсе физики рассматривается ограниченный круг движений — равномерное прямолинейное; равноускоренное и его виды: прямолинейное равноускоренное, свободное падение, движение тела брошенного вертикально вверх, движение тела брошенного горизонтально, движение тела брошенного под углом к горизонту; равномерное движение по окружности. Помните, что для каждого движения есть хорошо описанная модель.
2. Сделать схематический чертеж на котором показать траекторию движения, а также векторы скорости, ускорения и перемещения. Выбрать систему отсчета, указать на чертеже систему координат.
Примечание. Помните, что от полноты и правильности выполненного чертежа будет зависеть будущее решение задачи. Качественно выполненный чертеж — ключ к успеху!
Примечание. Координатные оси нужно выбирать так, чтобы проекции векторов на координатные оси находились наиболее простым способом, т.е. располагать их параллельно (чтобы проекции были равны модулям векторов) и перпендикулярно (чтобы проекции некоторых векторов были равны нулю).
3. Записать для данного движения уравнения в векторном виде и от них перейти к проекциям либо записать уравнение движения.
Примечание. Помните, что при переходе от уравнения в векторном виде к уравнению в проекциях никаких знаков в уравнении менять не нужно, смена знаков может происходить, если проекции отрицательные, при переходе от уравнения в проекциях к уравнению в модулях.
Примечание. Как правило, при решении задач сразу записывают уравнения в проекциях.
4. Найти проекции векторов на координатные оси. Записать уравнения в модулях.
5. Решить полученную систему уравнений (или уравнение) относительно неизвестных (или неизвестной) величины.
Примечание. На данном этапе успех решения задачи будет зависеть от развития ваших математических способностей — умения преобразовывать выражения, решать системы уравнений и т.д. Для определенного вида задач существуют приемы преобразований, которые необходимо запомнить.
6. Проверить размерность полученной формулы через единицы измерения и произвести вычисления.
Примечание. Если в задаче не было громоздких и объемных преобразований, то, обычно, проверку размерностью опускают.
7. Анализ полученного ответа, проверка его на «глупость».
Примечание. Например, известно, что среднее значение скорости человека при ходьбе около 5 км/ч, тогда понятно, что если получить результат, например, 25 км/ч, то при решении задачи была допущена ошибка.
При решении задач на равноускоренное прямолинейное движение полезно помнить о следующем. Это движение характеризуется пятью величинами: начальной скоростью ($v_0$), мгновенной(конечной) скоростью в какой-либо момент времени ($v$), временем движения ($t$), ускорением ($a$) и перемещением тела ($s$). Если вы знаете какие-то ТРИ (любые) величины на одном из участков движения, то вы сможете найти две оставшиеся. Если же в задаче задают две величины из трех, то придется с уравнениями, полученными в п 5 составлять уравнение или систему уравнений относительно неизвестной величины и решать его/ее
Некоторые задачи на прямолинейное равноускоренно движение не сложные и поэтому некоторые этапы можно было не расписывать, а провести мысленно. Но мы не рекомендуем пропускать какие-либо этапы решения, освоив алгоритмический метод вы получите ключ к решению задач не только по кинематике. Опыт работы автора показывает, что стремление сэкономить время, пропустив некоторые этапы, приводит к тому, что решение задач приводит к определенным сложностям и, как следствие, к ощущению того, что успеха собственными силами не достичь.