1.6.1. Решение задач на равноускоренное движение. Алгоритм решения задач по кинематике

[latexpage] Сформулируем алгоритм решения задач по кинематике. В предыдущем параграфе при решении задач соблюдалась определенная последовательность действий. Совокупность таких предписаний и представляет алгоритм.

Алгоритм решения задач по кинематике

1. Внимательно прочитайте задачу. Проанализируйте условие, выясните условия которые заданы и величины которые необходимо определить. Сделать краткую запись условия задачи, внесистемные единицы перевести в систему СИ.
Примечание. В некоторых случаях это делать не обязательно, как, например, в задаче предыдущего параграфа, чаще всего так поступают если задача на сравнение физических величин.

2. Определить характер движения и сделать схематический чертеж на котором показать траекторию движения, а также векторы скорости, ускорения и перемещения.
Примечание 1. Помните, что от полноты и правильности выполненного чертежа будет зависеть будущее решение задачи. Качественно выполненный чертеж — ключ к успеху!
Примечание 2. В курсе физики рассматривается ограниченный круг движений — равномерное прямолинейное; равноускоренное и его виды: прямолинейное равноускоренное, свободное падение, движение тела брошенного вертикально вверх, движение тела брошенного горизонтально, движение тела брошенного под углом к горизонту; равномерное движение по окружности. Помните, что для каждого движения есть хорошо описанная модель.

3. Выбрать систему отсчета, указать на чертеже систему координат.
Примечание. Координатные оси нужно выбирать так, чтобы проекции векторов на координатные оси находились наиболее простым способом, т.е. располагать их параллельно (чтобы проекции были равны модулям векторов) и перпендикулярно (чтобы проекции некоторых векторов были равны нулю).

4. Записать для данного движения уравнения в векторном виде и от них перейти к проекциям либо записать уравнение движения.
Примечание. Помните, что при переходе от уравнения в векторном виде к уравнению в проекциях никаких знаков в уравнении менять не нужно, смена знаков может происходить, если проекции отрицательные, при переходе от уравнения в проекциях к уравнению в модулях.

5. Найти проекции векторов на координатные оси. Записать уравнения в модулях.

6. Решить полученную систему уравнений (или уравнение) относительно неизвестных (или неизвестной) величины.
Примечание. На данном этапе успех решения задачи будет зависеть от развития ваших математических способностей — умения преобразовывать выражения, решать системы уравнений и т.д. Для определенного вида задач существуют приемы преобразований, которые необходимо запомнить.

7. Проверить размерность полученной формулы через единицы измерения и произвести вычисления.
Примечание. Если в задаче не было громоздких и объемных преобразований, то, обычно, проверку размерностью опускают.

8. Анализ полученного ответа, проверка его на «глупость». 
Примечание. Например, известно, что среднее значение скорости человека при ходьбе около 5 км/ч, тогда понятно, что если получить результат, например, 25 км/ч, то при решении задачи была допущена ошибка.

Пример. По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. На расстоянии $l=30$ см от начала движения шарик побывал дважды: через 1 с и через 2 с после начала движения. Определить начальную скорость и ускорение движения шарика, считая его постоянным.

Решение. 1. По условию задачи нам сказано, что тело движется на всем участке пути прямолинейно и равноускоренно. Причем модуль перемещения равен $s=l=0,3$ м в моменты времени 1 и 2 с.

2 и 3. Выполним чертеж, на котором покажем направление вектора начальной скорости и ускорения (он направлен против вектора начальной скорости, т.к. тело тормозит и при движении обратно также будет направлен вниз, т.к. скорость шарика увеличивается). Систему отсчета свяжем с наклонной плоскостью, а координатную ось направим вдоль ее поверхности.

4. Запишем уравнение перемещения $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{v_0}t+\frac{\overrightarrow{a}t^2}{2}$. Или в проекциях $s_x=v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}$.

5. Найдем проекции векторов, видно, что $s_x=s, a_x=a, v_{0x}=v_0$. Перепишем уравнение перемещения в модулях

$s=v_0 t-\frac{at^2}{2}$.

С учетом условий, заданных в задаче получим два уравнения

$s=v_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}$,

$s=v_0 t_2-\frac{at_2^2}{2}$.

6. Решим полученную систему уравнений. Приравняем правые части уравнений и выразим начальную скорость, через ускорение

$v_0 t_1-\frac{at_1^2}{2}=v_0 t_2-\frac{at_2^2}{2}$,

$\frac{at_2^2}{2}-\frac{at_1^2}{2}=v_0 t_2-v_0 t_1$,

$\frac{a(t_2^2-t_1^2)}{2}=v_0(t_2-t_1)$,

$v_0=\frac{a(t_2^2-t_1^2)}{2(t_2-t_1)}=\frac{a(t_2+t_1)}{2}$.

Подставим полученное выражение, например, в первое уравнение и выразим из него ускорение

$s=\frac{a(t_2+t_1)}{2}t_1-\frac{at_1^2}{2}=\fra{at_2 t_1+at_1^2-at_1^2}{2}=\frac{at_1 t_2}{2}$,

$a=\frac{2s}{t_1 t_2}$.

7. Проверка размерностей

$[v_0]=\frac{[a]([t_2]+[t_1])}{2}=\frac{m}{c^2} \cdot c=\frac{m}{c}$,

$[a]=\frac{2[s]}{[t_1] [t_2]}=\frac{m}{c^2}$.

Размерности совпадают, значит формулы верны.

8. Вычисляем ускорение и начальную скорость

$a=\frac{2 \cdot 0,3}{1 \cdot 2}=0,3$ м/с^2,

$v_0=\frac{0,3 (2+1)}{2}=0,45$ м/с.

Задачи, подобные рассмотренной в этом примере, не сложные и поэтому некоторые этапы можно было не расписывать,  а провести мысленно. Но мы не рекомендуем пропускать какие-либо этапы решения, освоив алгоритмический метод вы получите ключ к решению задач не только по кинематике. Опыт работы автора показывает, что стремление сэкономить время, пропустив некоторые этапы, приводит к тому, что решение задач приводит к определенным сложностям и, как следствие, к ощущению того, что успеха собственными силами не достичь. Рассмотрим примеры решения более сложных задач.

Пример. Тело с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 0,2 м/с² начинает двигаться из точки А по прямой в точку В, отстоящей от точки А на расстоянии 3,46 км. Через 20 с из точки В в точку А начинает равноускоренно двигаться второе тело с начальной скоростью 7 м/с. Через 100 с после начала движения первого автомобиля они встретились. Найти ускорение и скорость второго тела в момент встречи автомобилей.

Решение. 1. Про первое тело известно, что $v_{01}=3$  м/с, $a_1=0,2$ м/с², время движения до момента встречи $t_1=100$ с. Про второе тело известно, что $v_{02}=7$  м/с, время движения до момента встречи $t_2=80$ с. Расстояние между телами $l=3460$ м. 

2. Второе тело, как и первое, движется прямолинейно с постоянным ускорением. Сделаем чертеж

3. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось расположим так, чтобы ее направление совпадало с направлением движения первого автомобиля.

4. Запишем уравнения в векторном виде для перемещений первого и второго тел

$\overrightarrow{s_1}=\overrightarrow{v_{01}}t_1+\frac{\overrightarrow{a_1}t_1^2}{2}$,

$\overrightarrow{s_2}=\overrightarrow{v_{02}}t_2+\frac{\overrightarrow{a_2}t_2^2}{2}$.

Перейдем к проекциям

$s_{1x}=v_{01x}t_1+\frac{a_{1x}t_1^2}{2}$,

$s_{2x}=v_{02x}t_2+\frac{a_{2x}}t_2^2}{2}$.

5. Находим проекции, видно, что проекции перемещения, начальной скорости и ускорения первого тела все положительные, а второго тела, напротив, отрицательные

$s_{1}=v_{01}t_1+\frac{a_{1}t_1^2}{2}$,

$-s_{2}=-v_{02}t_2-\frac{a_{2}t_2^2}{2} \Rightarrow s_{2}=v_{02}t_2+\frac{a_{2}t_2^2}{2}$.

6. Видно, что второе уравнение системы не позволяет решить нашу, задачу, так как содержит две искомые неизвестные величины. Однако, из первого уравнения мы можем узнать перемещение первого тела, а затем определить перемещение второго из условия $l=s_1+s_2$. Запишем дополнительные уравнения, определим скорость второго тела в момент встречи, из формулы перемещения, так как все проекции имеют одинаковые знаки, имеем

$s_2=\frac{v+v_{02}}{2}\cdot t_2\Rightarrow v=\frac{2s_2}{t_2}-v_{02}$.

А затем можно найти и ускорение тела, по определению

$a=\frac{v-v_{02}}{t_2}$.

7. При решении мы не пользовались громоздкими преобразованиями, поэтому проверку размерностей проводить не будем, а сразу перейдем к вычислениям. Находим последовательно

$s_1=3\cdot 100+\frac{0,2\cdot 100^2}{2}=1300$ м,

$s_2=3460-1300=2160$ м,

$v=\frac{2\cdot 2160}{80}-7=47$ м/с,

$a=\frac{47-7}{80}=0,5$ м/с².

8. Получены целочисленные ответы, которые удовлетворяют условию задачи.

Пример. Мимо поста ДПС прошел автомобиль, который двигался с постоянной скоростью 72 км/ч. Через 2 мин от поста отправился в том же направлении второй автомобиль, который в течении 25 с двигался равноускоренно. Достигнув скорости 90 км/ч он далее движется равномерно. Через какое время, считая от момента движения второго автомобиля, и на каком расстоянии от поста второй автомобиль догонит первый.

Решение. 1. Первый автомобиль все время движется равномерно со скоростью $v_1=72$ км/ч $=20$ м/с. Движение второго автомобиля разобьем на два участка: на первом он движется равноускоренно без начальной скорости в течении $t_2=25$ с, достигая скорости $v_2=90$ км/ч $=25$ м/с. Кроме того, пока второй автомобиль покоился, первый прошел некоторый путь за время $t_1=120$ с. Нам неизвестно время в течении которого второй автомобиль, двигаясь равномерно, догоняет первый, обозначим за $t$.

2. Выполним чертеж, учитывая все вышесказанное, а также тот факт, что через некоторый промежуток времени, они оказались в точке с одной и той же координатой $x_2$.

Здесь $s$ — перемещение первого тела за все время движения, $s_1$ и $s_2$ перемещение второго тела при его равноускоренном и равномерном движении соответственно. 

3. Систему отсчета свяжем с дорогой, начало координат совместим с местом откуда оба автомобиля начинали движение, т.е. $x_0=0$ для обоих тел.

4. Найдем координату места встречи для обоих тел. Для первого тела

$x_2=x_0+s_x=v_{1x}{t}’$,

где ${t}’$ — время движения первого тела, которое равно ${t}’=t_1+t_2+t$.

Для второго тела $x_2=x_0+s_{1x}+s_{2x}$, имеем

$x_2=\frac{v_{2x}+v_{0x}}{2}\cdot t_2+v_{2x}t$.

5. Находим проекции. Из чертежа видно, что все проекции положительны, значит 

$x_2=x_0+s_x=v_{1}(t_1+t_2+t)$,

$x_2=\frac{v_2+v_0}{2}\cdot t_2+v_{2}t$,

учитывая, что $v_0=0$, получим $x_2=\frac{vt_2}{2} +v_{2}t$.

6. Теперь приравняем координаты и решим полученное уравнение относительно неизвестной величины

$v_{1}(t_1+t_2+t)=\frac{v_2t_2}{2}+v_{2}t$,

$v_{1}(t_1+t_2)+v_1t=\frac{v_2t_2}{2} +v_{2}t$,

$v_{2}t-v_1t=v_{1}(t_1+t_2) -\frac{v_2t_2}{2}$,

$t(v_{2}-v_1)=\frac{2v_{1}(t_1+t_2) -v_2t_2}{2}$,

$t=\frac{2v_{1}(t_1+t_2) -v_2t_2}{2(v_{2}-v_1)}$.

7. Проверка размерностей и вычисления

$t=\frac{2\cdot 20(120+25) -25\cdot 25}{2(25-20)}=517,5$ с.

Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо прибавить к найденному времени 25 с, поскольку просят  найти время с момента начала движения второго тела, т.е. 517,5 с +25 с =542,5 с. Чтобы ответить на второй вопрос задачи, достаточно найти координату $x_2$, например, из уравнения движения второго тела

$x_2=20 \cdot (120+25+517,5)=13250$ м. 

8. Найденные значения не противоречат условию задачи.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Автомобиль движется с постоянным ускорением 1 м/с². Мимо наблюдателя он проезжает со скоростью 10,5 м/с. На каком расстоянии от наблюдателя он находился секунду назад?

2. Двигаясь прямолинейно и равноускоренно, тело проходит путь 2 м за первые 4 с, а следующий промежуток длиной 4 м за 5 с. Определить ускорение тела.

3. Спортсмен пробежал расстояние 100 м за 10 с, из которых 2 с он потратил на разгон, а остальное время двигался равномерно. Чему равна скорость его равномерного движения?

4. Перед автомобилем «Москвич», движущимся со скоростью 80 км/ч, внезапно на расстоянии 10 м от него появляется грузовик. Каким должно быть минимальное ускорение торможения «Москвича», чтобы не произошло столкновения, если грузовик движется равномерно со скоростью 44 км/ч?

5. За машиной «Жигули», которая ехала со скоростью 54 км/ч, на расстоянии 20 м оказался грузовик, движущийся со скоростью 90 км/ч. Какое минимальное ускорение должно быть у «Жигулей», чтобы интервал между машинами оставался не менее 5 м? Движение «Жигулей» считать равноускоренным, а грузовика равномерным.

6. Автомобиль начинает спускаться с горы без начальной скорости и за 1 минуту приобретает скорость 27 км/ч. Одновременно навстречу ему начинает подъем в гору автомобиль, имеющий начальную скорость 20 м/с. За 1 минуту скорость второго автомобиля уменьшается до 8 м/с. Какое расстояние будет разделять автомобили через 80 с после начала движения, если длина горы 2 км?

7.  Тело с начальной скоростью 20 м/с и ускорением 1 м/с² начинает двигаться по прямолинейной траектории. Через 30 с из той же точки вслед за первым телом начинает двигаться второе тело без начальной скорости с ускорением 2 м/с². За какое время второе тело догонит первое с момента начала движения первого тела?