1.7. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх

[latexpage]Перейдем к рассмотрению частных видов равноускоренного движения. Отметим сразу, что все формулы, которые мы получили ранее для равноускоренного движения, будут верны и этих случаях. Начнем с движения, которое носит название — свободное падение. Под таким движением понимается движение с постоянным ускорением свободного падения, т.е. тогда, когда при движении тела можно пренебречь сопротивлением воздуха (понятно, что сопротивление воздуха при движении тел в атмосфере присутствует всегда, но в некоторых случаях его влияние не столь существенно по сравнению с действием силы притяжения). Помимо свободного падения мы будем рассматривать движение тела с постоянным ускорением свободного падения в случаях, когда тело:

а) брошено вертикально вверх;

б) брошено горизонтально;

в) брошено под углом к горизонту.

То есть все эти случаи объединяет то, что известно ускорение с которым движутся тела. Напомним, что модуль ускорения свободного падения равен 9,8 м/с², однако, чаще всего, в задачах принимается $g \approx 10$ м/с², а направлен вектор ускорения свободного падения — вертикально вниз (хотя на самом деле нужно помнить, что вектор ускорения свободного падения направлен к центру Земли, это важно, например, при решении тех задач, когда тело вращается вокруг Земли, но ввиду того, что обычно движение тел происходит в масштабах не сопоставимых с размерами Земли, его изображают направленным вертикально вниз). Рассмотрим кинематику свободного падения.

Формулы, описывающие движение:

$v_x=v_{0x}+g_x t \Rightarrow v=v_0+gt$,

$s_x=v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2} \Rightarrow s=v_{0}t+\frac{gt^2}{2}$,

$x=x_0+s_x=x_0+v_{0}t+\frac{gt^2}{2}$.

Чаще всего в задачах встречаются формулировки при которых начальная скорость равна нулю (например, тело падает свободно, тело начинает падать, сосулька оторвалась от крыши и т.д.). Тогда вид формул значительно упрощается 

$v=gt$,

$s=H=\frac{gt^2}{2}=\frac{vt}{2}=\frac{v^2}{2g}$,

$x=x_0+\frac{gt^2}{2}$.

В этом случае $H$ — высота с которой падает тело, а время падения можно найти так: $t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$.

Движение тела, брошенного вертикально вверх. Заметим, что движение тела в этом случае можно разбить на два участка. На первом участке тело будет двигаться вверх, а на втором — свободно падать (тогда можно применять формулы написанные выше). Рассмотрим кинематику вертикального движения тела.

Формулы, описывающие движение:

$v_x=v_{0x}+g_x t \Rightarrow v=v_0-gt$,

$s_x=v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2} \Rightarrow s=v_{0}t-\frac{gt^2}{2}$,

$x=x_0+s_x=x_0+v_{0}t-\frac{gt^2}{2}$.

Заметим, что данные формул отличаются от предыдущих только знаком проекции ускорения. 

Рассмотрим несколько примеров решения задач. При решении легких задач достаточно применение моделей, описанных выше и применение соответствующих формул. При решении задач более сложных задач, когда, например, происходит движение двух или более тел, будем придерживаться алгоритма, описанного нами в п. 1.6.1. Решение задач на равноускоренное движение. Алгоритм решения задач по кинематике. В дальнейшем, также,  будем полагать, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Пример. Мячик бросают вертикально вверх со скоростью 19,6 м/с. Через какое время мячик окажется: а) в наивысшей точке движения; б) в точке броска?

Решение. На первом участке движения мячик движется вертикально вверх, значит можем воспользоваться моделью, описанной нами выше, полагая, что $x_0=0$. Тогда движение мячика описывается формулами

$v=v_0-gt$,

$x=v_{0}t-\frac{gt^2}{2}$.

Из формулы скорости найдем время подъема. Поскольку в наивысшей точке движения мяч остановится, то его скорость будет равна нулю

$v_0-gt=0\Rightarrow t=\frac{v_0}{g}$,

Значит, $t=\frac{19,6}{9,8}=2$ с. Найдем и высоту подъема из формулы координаты для найденного момента времени $x=19,6\cdot 2-\frac{9,8\cdot 2^2}{2}=19,6$ м.

Теперь рассмотрим второй участок движения — на нем тело свободно падает без начальной скорости, а значит $t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$, т.е.

$t=\sqrt{\frac{2\cdot 19,6}{9,8}}=2$ с.

Из этой задачи можно сделать важное наблюдение — если подбросить тело вертикально вверх, то время его подъема вверх будет равно времени его падения (на такую же высоту) вниз.

Пример. Свободно падающее тело в некоторый момент времени находилось на высоте 1100 м, а спустя 10 с — на высоте 120 м над поверхностью земли. С какой высоты падало тело?

Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тело начало движение. 

Запишем уравнение движения в выбранной системе отсчета

$x=\frac{gt^2}{2}$.

Тело, с интервалом времени в 10 с, побывало в точках с координатами $x_1$ и $x_2$, причем $x_2-x_1=h_1-h_2$. Обозначим время движения тела до точки с координатой $x_1$ за $t$, а время которое прошло пока тело падало с высоты 1100 м на высоту 120 за $\Delta t$, тогда

$x_1=\frac{gt^2}{2}$,

$x_2=\frac{g(t+\Delta t)^2}{2}$.

Найдем время движения до высоты 1100 м

$x_1-x_2=\frac{gt^2}{2}-\frac{g(t+\Delta t)^2}{2}=\frac{gt^2}{2}-\frac{g(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2)}{2}=\frac{gt^2}{2}-\frac{gt^2}{2}-\frac{2gt\Delta t}{2}-\frac{g\Delta t^2}{2}$

$x_1-x_2=-gt\Delta t-\frac{g\Delta t^2}{2}$

или $x_2-x_1=gt\Delta t+\frac{g\Delta t^2}{2}$. Выражаем из полученной формулы время

$gt\Delta t=x_2-x_1-\frac{g\Delta t^2}{2}$,

$t= \frac{x_2-x_1}{g\Delta t}-\frac{\Delta t}{2}$,

$t=\frac{-120+1100}{9,8 \cdot 10}-5=5$ с.

Найдем перемещение свободно падающего тела за 5 с

$s=\frac{gt^2}{2}\Rightarrow s=\frac{9,8 \cdot 5^2}{2}=122,5$м.

Тогда $h_0=s+h_1=122,5+1100=122,5$ м.

Пример. С воздушного шара, опускающегося вертикально вниз со скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх камень со скоростью 10 м/с относительно земли. Каким будет максимальное расстояние между шаром и камнем?

Решение. В данном типе задач особое внимание следует обратить на то, относительно чего задана скорость тела отделившегося от другого движущегося тела. В нашем случае обе скорости указаны относительно неподвижной системы отсчета, связанной с землей, что упрощает решение задачи (иначе бы вначале пришлось применять закон сложения скоростей). Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вертикально вверх. За начало координат примем точку в которой произошел бросок камня.

Движение первого тела — равномерное, значит его уравнение движения $x_1=x_0+v_{1x}t=-v_1 t$.

Движение второго тела — равноускоренное, известное нам уже движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_2=10$ м/с. Запишем уравнение координаты и скорости

$v_x=v_{2x}+g_x t \Rightarrow v=v_2-gt$,

$x_2=v_{2}t-\frac{gt^2}{2}$.

Согласно условию расстояние между телами должно быть максимальным. Это расстояние будет увеличиваться по мере того, как камень будет подниматься вверх, пока не остановится. После этого он начнет падать и расстояние между телами начнет сокращаться. Значит расстояние между телами будет максимально в тот момент времени, когда скорость камня станет равна нулю

$v_{2}-g t =0\Rightarrow t=\frac{v_2}{g}$,

$t=\frac{10}{9,8} \approx  1,02$ с.

Координата первого тела в момент времени $t$

$x_1=-2 \cdot 1,02=-2,04$ м.

Координата второго тела в момент времени $t$

$x_2=10 \cdot 1,02 -\frac{9,8 \cdot 1,02^2}{2} \approx 5,1$ м.

Искомое расстояние $l=x_2-x_1=5,1-(-2,04)=7,14$ м.

Пример. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время t1 = 4 с, а такой же последний — за время t2 = 2 с. Найдите высоту и время падения тела. Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с².

Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тело начало движение, т.е. $x_0=0$.

Так как тело свободно падает, то $v_0=0$. Значит координата имеет вид 

$x=\frac{gt^2}{2}$.

По условию, за время 4 с и 2 с тело проходит одинаковые пути, найдем их

$x_1=h=\frac{10\cdot 4^2}{2}=80$ м.

Поскольку нам известно время движения на последнем участке, то найдем время, через которое тело откажется в точке с координатой $x_2$, обозначим его через $t$, тогда

$x_2=\frac{gt^2}{2}$,

$x_3=\frac{g(t+t_2)^2}{2}$,

$h=x_3-x_2=\frac{g(t+t_2)^2}{2}-\frac{gt^2}{2}$.

После преобразований (попробуйте выполнить их самостоятельно, подобно тому как это делалось выше), получим

$h=gtt_2+\frac{gt_2^2}{2}$,

$gtt_2=h-\frac{gt_2^2}{2}$,

$t=\frac{h}{gt_2}-\frac{t_2}{2}$,

$t=\frac{80}{10 \cdot 2}-\frac{2}{2}=3$с.

Итого, общее время движения $t_o=t+t_2=3+2=5$ с.

Так как общее время меньше, чем сумма времен на заданных в условии участках, делаем вывод, что эти участки «пересекались». Таким образом, рисунок должен выглядеть следующим образом:

Но вид рисунка не имеет значения, не влияет на результат, а только помогает написать правильные уравнения.

Пример. С какой начальной скоростью нужно бросить вертикально вниз тело с высоты h = 39,2 м, чтобы оно упало на ∆t = 2 с быстрее тела, свободно падающее с этой высоты?

Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тела начали движение, т.е. $x_0=0$.

Запишем уравнения движения для первого и второго тела соответственно

$x_1=v_{01}t+\frac{gt^2}{2}$,

$x_1=\frac{gt^2}{2}$.

Из второго уравнения, учитывая, что в момент падения $x_1=h$, найдем время движения второго тела

$t_2=\sqrt{\frac{2x_2}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$,

$t_2=\sqrt{\frac{2 \cdot 39,2}{10}}=2,8$ с.

Значит, время движения первого тела $t_1=t_2-\Delta t=0,8$ с. Из уравнения движения выразим начальную скорость

$v_{01}t_1=x_1-\frac{gt_1^2}{2}$,

$v_{01}=\frac{x_1}{t_1}-\frac{gt_1}{2}=\frac{h}{t_1}-\frac{gt_1}{2}$,

$v_{01}=\frac{39,2}{0,8}-\frac{10 \cdot 0,8}{2}=45$ м/с.

Пример. Тело начинает падать с высоты $H=45$ м. В тот же момент из точки, расположенной на высоте $h=24$ м, бросают другое тело вертикально вверх. Оба тела падают на землю одновременно. Определить начальную скорость второго тела, приняв ускорение свободного падения равным 10 м/с².

Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тела начинает свободно падать.

Уравнения движения первого и второго тела соответственно, учитывая, что начальная координата движения второго тела равна $x_{02}=H-h$

$x_1=\frac{gt^2}{2}$

$x_2=H-h-v_{02}t+\frac{gt^2}{2}$.

Из первого уравнения найдем время, в течении которого тела движутся, учитывая, что в момент падения $x_{1}=H$

$H=\frac{gt^2}{2} \Rightarrow t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$,

$t=\sqrt{\frac{2 \cdot 45}{10}}=3$с.

Так как в момент падения второго тела его координата также будет равна $H$, а время движения также составляет 3 с, получим

$H=H-h-v_{02}t+\frac{gt^2}{2}$,

$v_{02}t=\frac{gt^2}{2}-h$,

$v_{02}=\frac{gt}{2}-\frac{h}{t}$,

$v_{02}=\frac{10 \cdot 3}{2}-\frac{24}{3}=7$ м/с.

Пример. С воздушного шара, опускающегося с постоянной скоростью 4 м/с, бросили вертикально вверх груз со скоростью u = 20 м/с относительно шара. Определите расстояние между грузом и шаром в тот момент, когда груз достигает высшей точки подъема. Спустя какое время после броска груз пролетит мимо шара? Ускорение свободного падения равно 10 м/с².

Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку где происходит бросок камня.

В условии задачи сказано, что скорость груза указана относительно шара, т.е. движущейся системы отсчета (относительно неподвижной, выбранной нами, системы отсчета — земли). Применим закон сложения скоростей:

1. $\overrightarrow{u}$ — скорость тела относительно движущейся системы отсчета (относительно шара);
2. $\overrightarrow{v_1}$ — скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета (шара относительно земли);
3. $\overrightarrow{v_0}$ — скорость тела в неподвижной системе отсчета, она же начальная скорость при вертикальном движении тела вверх.

$\overrightarrow{v_0}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v_1} $.

Напишем уравнения движения, учитывая, что первое тело движется равномерно, а второе тело — движется вертикально вверх и начальные координаты у них равны нулю

$x_1=v_{1x}t \Rightarrow x_1=v_1 t$,

$x_2=v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x_2=(u_x+v_{1x})t+\frac{g_x t^2}{2}=(v_1-u)t+\frac{gt^2}{2}$.

В момент времени, когда груз будет пролетать мимо шара их координаты будут равны, а значит

$v_1 t=(v_1-u)t+\frac{gt^2}{2}$,

$\frac{gt}{2}=u \Rightarrow t=\frac{2u}{g}$,

$t=\frac{2 \cdot 20}{10}=4$ с.

Теперь найдем расстояние между телами в момент времени, когда груз будет находиться в наивысшей точке подъема. Скорость груза определяется уравнением

$v_x=v_{0x}+g_x t \Rightarrow v_x=u_x+v_{1x}_g_x t = v_1-u+gt$.

В наивысшей точке подъема скорость груза будет равна нулю, значит время подъема

$ v_1-u+gt=0 \Rightarrow t= \frac{u-v_1}{g}$,

$t= \frac{20-4}{10}=1,6$ с.

Расстояние между телами можно определить как разницу координат между телами в интересующий нас момент времени

$l=\left | x_1 — x_2 \right |= \left | v_1 t- (v_1-u)t-\frac{gt^2}{2} \right |=\left |ut- \frac{gt^2}{2}\right |$,

$l=\left |20 \cdot 1,6 — \frac{10 \cdot 1,6^2}{2}\right |= 19,2 $м.

Задачи для самостоятельного решения.

1. С крыши дома оторвалась сосулька и за 0,2 с пролетела мимо окна, высота которого 1,5 м. С какой высот относительно верхнего конца окна она оторвалась? Размерами сосульки пренебречь.

2. Мячик, отскочивший от поверхности земли со скоростью 10 м/с, пролетел мимо окна, высота которого 1,5 м, за время 0,2 с. На какой высоте относительно земли находится подоконник?

3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 19,6 м/с. Сколько времени оно будет находиться на высоте, большей h = 14,7 м?

3. С вертолета, находящегося на высоте h = 300 м, сброшен груз. Спустя какое время груз достигнет земли, если вертолет: а) неподвижен; б) опускается со скоростью v = 5 м/с; в) поднимается со скоростью v = 5 м/с?

4. Одно тело свободно падает с высоты h = 392 м. Одновременно другое тело брошено с земли вертикально вверх со скоростью v = 78,4 м/с. Когда и на какой высоте тела встретятся?

5. Два парашютиста сделали затяжной прыжок с одной и той же высоты, один вслед за другим через t = 6 с. В какой момент времени, считая от прыжка первого парашютиста, расстояние между ними по вертикали будет h = 294 м?

6. Парашютист, спускающийся равномерно со скоростью v = 5 м/с в момент, когда находится на высоте H = 100 м над поверхностью земли, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью v0 = 10 м/с относительно себя. Какой промежуток времени разделяет моменты приземления тела и парашютиста?

7. Аэростат поднимается вверх с ускорением 2 м/с2. Через 5 с от начала его движения из него выпадает предмет. Через сколько времени предмет упадет на землю?

8. Ракета стартует и движется вертикально вверх 20 с с ускорением $a=2g$. Через 20 с двигатели ракеты отключаются. Через какое время с момента старта ракета упадет на землю?

9. С каким промежутком времени оторвались две капли от крыши, если спустя 2 с после начала движения второй капли расстояние между ними было 25 м?