1.9. Равномерное движение по окружности

[latexpage] Из всех видов движения, которые рассматриваются в школьном курсе физики, нам осталось рассмотреть лишь еще одно криволинейное движение — равномерное движение по окружности. Напомним, что при равномерном движении тело за одинаковые промежутки времени проходит одинаковые расстояния, значит, при равномерном движении по окружности модуль скорости тела изменяться не будет. Однако, так как при криволинейном движении скорость тела направлена по касательной к траектории, направление вектора скорости будет непрерывно изменяться. А, значит, такое движение будет характеризоваться ускорением.

Это ускорение называется центростремительным (или нормальным), оно всегда направлено по радиусу к центру окружности и перпендикулярно скорости тела в данный момент времени. Модуль центростремительного ускорения находится по формуле

$a=\frac{v^2}{R}$.

Движение по окружности таково, что через некоторое время тело возвращается в некоторую точку траектории. В этом заключается периодичность равномерного движения по окружности. А время, в течении которого тело совершает один полный оборот, называется периодом. Обозначение — T, единица измерения в СИ — секунда (с). Кроме того, равномерное движение по окружности можно охарактеризовать числом оборотов, которые совершает тело за единицу времени, эта величина носит название частота вращения. Обозначение — греческая буква $\nu $ («ню»), единица измерения  — $[\nu] =c^{-1}$. Пусть тело, за время t совершает n оборотов, тогда

$T=\frac{t}{N}, \, \: \: \: \: \: \nu =\frac{N}{t}, \: \: \: \: \: \: T=\frac{1}{\nu }$.

Средняя путевая скорость при движении по окружности равна 

$v=\frac{l}{t}$.

В частности, если тело совершает один полный оборот, то путь будет равен длине окружности, а время движения — периоду, тогда

$v=\frac{2\pi R}{T}=2\pi  R\nu $.

Обычно эту скорость называют линейной скоростью. 

Иногда положение тела при равномерном движении по окружности удобно описывать не с помощью координат, а с помощью угла поворота $\varphi$ относительно первоначального положения. с этой целью вводится понятие угловой скорости $\omega $, как меры, характеризующей быстроту изменения угла поворота

$\omega =\frac{\varphi }{t}=\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu $.

Линейная скорость и центростремительное ускорение связаны с угловой скоростью соотношениями

$v=\omega R$,

$a=\omega ^2R$.

Помимо всего прочего в кинематике рассматривается вращательное движение абсолютно твердого тела. Под абсолютно твердым телом понимается тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся постоянным при его движении. Вращательным движением абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения.

Заметим, что движение любой точки тела при таком движении можно описать формулами, описанными нами выше. Однако такое движение имеет ряд особенностей.

Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за одинаковое время разные пути. Так, на рисунке АА₁ > ВВ₁, поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за одинаковое время на один и тот же угол Δφ. А значит угловые скорости этих точек будут одинаковы.

Вторая ситуация связана с одновременным вращением нескольких тел — шкивами или звездочками, соединенных между собой ременной или цепной передачей. В этом случае линейные скорости точек, находящихся  на ремне или цепи, а значит и на внешних сторонах шкивов (обод шкива), будут одинаковыми. На рисунке точки 1, 2 и 3 движутся с одинаковой скоростью. При этом частота вращения и угловые скорости вращения шкивов будут отличаться.

 

Пример. Используя данные таблицы, заполните пустые ячейки

№ п.п.	$R$, м	$T$, с	$\omega$, рад/с	$\nu , c^{-1}$	$v$, м/с
1	0,5	2
2	0,1				10
3			10		5
4	2			0,25
5		0,02			30

Решение. Заполним строчку таблицы под №1:

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\cdot 3,14}{2}=3,14$ рад/с,

$\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2}=0,5 \, c^{-1}$,

$v=\omega R=3,14\cdot 0,5=1,57$ м/с.

Заполним строку таблицы под №2:

$v=\omega R\Rightarrow \omega =\frac{v}{R}=\frac{10}{0,1}=100$ рад/с,

$\omega =\frac{2\pi }{T}\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\cdot 3,14}{100}=0,0628 \, c^{-1}$,

$T=\frac{1}{\nu }\Rightarrow \nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{0,0628}\approx 16$ с.

Заполним строку таблицы под №3:

$v=\omega R\Rightarrow R=\frac{v}{\omega }=\frac{5}{10}=0,5$ м,

$ T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\cdot 3,14}{10}=0,628\, c^{-1}$

$\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{0,628}\approx 1,59$ с.

Заполним строку таблицы под №4:

$v=2\pi  R\nu=2 \cdot 3,14 \cdot 2 \cdot 0,25=3,14$м/с,

$\omega =\frac{v}{R}=\frac{3,14}{2}=1,57$ рад/с,

$T=\frac{1}{\nu }=\frac{1}{0,25 }=4$c.

Заполним строку таблицы под №5:

$v=\frac{2\pi R}{T}\Rightarrow R=\frac{vT}{2\pi }=\frac{30 \cdot 0,02}{2 \cdot 3,14} \approx 0,1$ м,

$\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{0,02}=50\, c^{-1}$,

$\omega =2\pi \nu =2\cdot 3,14\cdot 50=314$ рад/с.

Пример. Линейная скорость точек обода вращающегося диска v₁ = 3 м/с, а точек, находящихся на l = 10 см ближе к оси вращения, v₂ = 2 м/с. Найти частоту вращения диска.

Решение. Как уже было сказано выше, данные точки будут вращаться с одинаковой угловой скоростью, т.е. $\omega _1=\omega _2$.

Используем равенство, связывающее угловую скорость с линейной 

$\omega=\frac{v }{R}$,

$\frac{v_1 }{R_1}=\frac{v_2 }{R_2}$,

$v_1 (R-l)=v_2 R$,

$v_1 R- v_1 l = v_2 R$,

$(v_1 — v_2) R = v_1 l$,

$R=\frac{v_1 R}{v_1-v_2}$.

Частоту найдем, например, из формулы для линейной скорости первого тела $v_1=2\pi R\nu $

$\nu =\frac{v_1}{2\pi R}=\frac{v_1}{2\pi }:\frac{v_1l}{v_1-v_2}=\frac{v_1-v_2}{2\pi l}$,

$\nu =\frac{3-2}{2\cdot 3,14 \cdot 0,1} \approx  1,59$ об/с.

Пример. На ось пилы насажен шкив диаметром 300 мм, который приводится во вращение посредством ременной передачи от шкива диаметром 120 мм, насаженного на вал электродвигателя. Какова скорость шкива пилы, если вал электродвигателя совершает 1200 об/мин?

Решение. Поскольку шкивы соединены ремнем, то линейные скорости вращения точек, лежащих на ободе первого и второго шкива, будут одинаковыми, а значит

$v=2\pi R \nu $,

$2\pi R_1 \nu_1 = 2\pi R_2 \nu_2$,

$\nu_1=\frac{R_2 \nu_2}{R_1}$,

$\nu_1=\frac{120 \cdot 1200}{300}=480$ об/с.

Пример. Движение от шкива I (смотри рис.) к шкиву IV передается при помощи двух ременных передач. Найдите частоту вращения шкива IV, если шкив I делает 1200 об/мин, а радиусы шкивов R₁ = 8 СМ, R₂=32см, R₃ =11 см. R₄ = 55 см. Шкивы II и III жестко укреплены на одном валу.

Решение. Шкивы 2 и 3 будут вращаться с одинаковой угловой скоростью. Линейные скорости точек ободьев шкивов 1, 2 и 3, 4 равны соответственно, так как они связаны ременной передачей. Значит 

$v_1=v_2$,

$\omega _1R_1=\omega _2R_2$,

$\omega _2 = \omega _3 = \frac{\omega _1R_1}{R_2}$,

$v_3=v_4$,

$\omega _3R_3=\omega _4R_4$,

$\omega _4 =  \frac{\omega _3R_3}{R_4}=\frac{\omega _1 R_1 R_3}{R_2 R_4}$,

$\omega _4=2\pi \nu _4 \Rightarrow \nu _4 = \frac{\omega _4}{2\pi} = \frac{\omega _1 R_1 R_3}{2\pi R_2 R_4}$,

$\omega _1=2\pi \nu _1$,

$\nu _4 =  \frac{2\pi \nu _1 R_1 R_3}{2\pi R_2 R_4}=\frac{\nu _1 R_1 R_3}{R_2 R_4}$,

$\nu _4=\frac{1200\cdot 8\cdot 11}{32\cdot 55}=60$ об/мин.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Используя данные таблицы, заполните пустые ячейки

№ п.п.	$T$, с	$v$, м/с	$R$, м	$a$, м/с2	$\omega$, рад/с
1	0,1		0,2
2		20	800
3			40	10
4		20			16
5	0,046		0,6

2. Найдите частоту равномерного вращения колеса, если линейная скорость точки, лежащей на его ободе, v1 = 4 м/с и в k = 2 раза больше скорости точки, лежащей на d = 10 см ближе к оси колеса. 

3. Большой шкив ременной передачи имеет радиус 32 см и вращается с частотой 135 об/мин. Радиус малого шкива 12 см. Найдите частоту вращения малого шкива и линейную скорость точек ремня, который движется без проскальзывания.

4. Два вращающихся вала соединены замкнутым ремнём, который не проскальзывает относительно валов. Радиус первого вала равен R, радиус второго вала равен 2R. Чему равно отношение угловой скорости точки A к угловой скорости вращения первого вала

5. С какой скоростью движется велосипедист на складном велосипеде «Кама» при частоте вращения педалей 1 об/с, если диаметр колеса велосипеда равен 50 см, ведущая зубчатка имеет 48 зубцов, ведомая — 15 зубцов?