2.9. Движение тела по наклонной плоскости

[latexpage]Под движением по наклонной плоскости понимают перемещение тела вдоль плоской поверхности, которая расположена под определенным углом к горизонту.  Для расчета характеристик данного движения нужно установить, какие силы, действуют на движущееся тело (или покоящее). Чаще всего при решении задач на движение тела при наклонной плоскости сила трения неизвестна. Поэтому приходится определять ее из соответствующей системы уравнений движения. При решении задач на наклонную плоскость наиболее удобно использовать систему координат, которую мы укажем ниже. Использование такой системы координат позволяет минимизировать количество тригонометрических функций угла (синусов и косинусов) при нахождении проекций векторов.

Пример. На какую высоту надо поднять край доски длиной 2 м, чтобы по ней можно было равномерно поднимать груз массой 100 кг, прикладывая к нему силу 160 Н, направленную вдоль доски? Коэффициент трения равен 0,4.

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с доской, относительно которой движется тело, поскольку, очевидно, что она будет неподвижна относительно Земли в тот момент времени, когда груз будет двигаться по ней, а значит эта система является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow{N}$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. 

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что в тот момент, когда груз начнет двигаться, его ускорение будет равно нулю

$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{tr}}=0$.

Проекции на координатные оси:

$Ox: mg sin \alpha -F_{tr}=0$,

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

4. Найдем силу трения, т.к. $N=mg cos \alpha $, то $F_{tr}= \mu N = \mu mg cos \alpha$. Подставим полученное выражение в выражение для проекции на ось $Ox$

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Из последнего уравнения найдем тангенс угла наклона доски

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0 \Rightarrow sin \alpha — \mu cos \alpha =0$,
$tg \alpha = \mu$.

Высоту, на которую нужно поднять доску можно найти из условия ($L$ — длина доски, гипотенуза прямоугольного треугольника)

$\frac{h}{L}=sin\alpha \Rightarrow h=L sin\alpha $.

Известно, что $tg^2\alpha +1=\frac{1}{cos^2\alpha }$, выведем отсюда формулу для нахождения синуса 

$tg^2\alpha +1=\frac{1}{1-sin^2\alpha }$,

$1-sin^2\alpha=\frac{1}{tg^2\alpha +1} $,

$sin^2\alpha=1-\frac{1}{tg^2\alpha +1} =\frac{tg^2\alpha }{tg^2\alpha +1}$,

$sin\alpha=\sqrt{\frac{tg^2\alpha }{tg^2\alpha +1}}=\frac{tg\alpha }{\sqrt{tg^2\alpha +1}}=\frac{\mu }{\sqrt{\mu^2+1 }} $,

$h=L sin\alpha =\frac{\mu L}{\sqrt{\mu^2+1 }}$,

$h=\frac{0,4\cdot 2}{\sqrt{0,4^2+1}}\approx 0,74$ м.

Пример. Брусок массой 10 кг находится на наклонной плоскости с углом наклона 30°. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,6. Какую направленную вдоль наклонной плоскости силу надо приложить к бруску, чтобы сдвинуть его вдоль наклонной плоскости вверх?

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с доской, относительно которой движется тело, поскольку, очевидно, что она будет неподвижна относительно Земли, а значит эта система является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow{N}$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. 

 

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что тело движется равномерно:

$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F_{tr}}=0$.

Проекции на координатные оси:

$Ox: F-mg sin \alpha -F_{tr}=0$,

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

4. Найдем силу трения, т.к. $N=mg cos \alpha $, то $F_{tr}= \mu N = \mu mg cos \alpha$. Подставим полученное выражение в выражение для проекции на ось $Ox$

$F-mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Из последнего уравнения найдем $F=mg sin \alpha + \mu mg cos \alpha =mg (sin \alpha + \mu cos \alpha)$, т.е. 

$F=10\cdot 10\cdot \left ( sin\, 30^{\circ}+0,6\cdot cos\, 30^{\circ} \right ) \approx 102$ Н.

Пример. При каком коэффициенте трения μ брусок скользит по наклонной плоскости с углом наклона α = 30° с ускорением 3,5 м/с?

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с наклонной плоскостью, относительно которой движется тело, поскольку, очевидно, что она будет неподвижна относительно Земли, а значит эта система отсчета является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow{N}$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. 

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что в тот момент, когда груз начнет двигаться, его ускорение будет равно нулю

$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{tr}}=m\overrightarrow{a}$.

Проекции на координатные оси:

$Ox: mg sin \alpha -F_{tr}=ma$,

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

4. Найдем силу трения, т.к. $N=mg cos \alpha $, то $F_{tr}= \mu N = \mu mg cos \alpha$. Подставим полученное выражение в выражение для проекции на ось $Ox$

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =ma$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. В последнем уравнении, после сокращения массы, получим

$g sin \alpha — \mu g cos \alpha =a$,

$g sin \alpha — a =\mu g cos \alpha$,

$\mu =\frac{g sin \alpha — a}{g cos \alpha}$,

$\mu =\frac{10 \cdot \frac{1}{2} — 3,5}{10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx 0,17$.

Пример. Санки равномерно скатываются с горы, угол наклона которой к горизонту α = 30°. Каков должен быть наименьший угол β, образуемый веревкой с поверхностью горы, чтобы санки тянуть равномерно в гору? 

Решение. Рассмотрим первое условие задачи: «Санки равномерно скатываются с горы, угол наклона которой к горизонту α = 30°». Используем это условие, чтобы найти коэффициент трения санок о горку.

1. Систему отсчета свяжем с горкой, так как эта система отсчета является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения тела. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow{N}$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. 

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что санки скатываются равномерно

$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F_{tr}}=0$.

Проекции на координатные оси:

$Ox: mg sin \alpha -F_{tr}=ma$,

$Oy: N- mg cos \alpha = 0 $.

4. Найдем силу трения, т.к. $N=mg cos \alpha $, то $F_{tr}= \mu N = \mu mg cos \alpha$. Подставим полученное выражение в выражение для проекции на ось $Ox$

$mg sin \alpha — \mu mg cos \alpha =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. В последнем уравнении, после сокращения массы, получим

$g sin \alpha — \mu g cos \alpha =0$,

$g sin \alpha =\mu g cos \alpha$,

$\mu =\frac{g sin \alpha }{g cos \alpha}=tg \alpha$,

Рассмотрим второе условие задачи и найдем условие при котором под действие силы, приложенной под углом β к наклонной плоскости, санки  можно будет тянуть равномерно вверх.

1. Систему отсчета по-прежнему свяжем с горкой. Координатную ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости. Координатную ось $Oy$ направим так, чтобы она проходила перпендикулярно наклонной плоскости в направлении вектора силы реакции опоры $\overrightarrow{N}$.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. 

3. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что тело движется равномерно:

$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F_{tr}}=0$.

Проекции на координатные оси:

$Ox: -Fcos\, \beta+mg sin \alpha +F_{tr}=0$,

$Oy: N- mg cos \alpha +Fsin\, \beta= 0 $.

4. Найдем силу трения, т.к. $N=mg cos \alpha -Fsin\, \beta$, то $F_{tr}= \mu N = \mu (mg cos \alpha-F sin\, \beta)$. Подставим полученное выражение в выражение для проекции на ось $Ox$

$Fcos\, \beta-mg sin \alpha — \mu (mg cos \alpha-Fsin\, \beta) =0$.

5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.

6. Из последнего уравнения найдем

$F=\frac{mg\left ( sin\, \alpha +\mu cos\, \alpha \right )}{cos\, \beta +\mu sin\, \beta }$.

Из последнего уравнения видно, что значение силы будет определено при любом значении угла $0\leqslant \beta \leq \frac{\pi }{2}$. Минимальным же углом, будет являться угол  $\beta =0$.

Задачи для самостоятельного решения.

1. На плоскости, угол наклона которой к горизонту можно изменять, находится шайба. При некотором угле наклона ${\alpha}$ шайба соскальзывает с плоскости с ускорением a = g/2. С каким ускорением будет соскальзывать эта шайба, если угол наклона плоскости будет ${\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha }$? Коэффициент трения шайбы о поверхность плоскости μ = 0,5.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$a= g( cos\alpha — \mu sin \alpha ) = 1,96$ м/с2.

[свернуть]

2. Санки можно удержать на ледяной горке с углом наклона α = 12° силой, не меньшей F = 50 Н. Чтобы тянуть сани в гору равномерно, силу тяги нужно увеличить на ∆F = 10 Н. С каким ускорением с этой горки будут двигаться санки, если их предоставить самим себе? 

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$a=\frac{2Fg\, sin\alpha }{2F+\Delta F}=1,87$ м/с2.

[свернуть]

3. С каким ускорением соскальзывают санки массой m = 10 кг  с горки с углом наклона α = 30° к горизонту, если их тянут вниз с постоянной горизонтальной силой F = 50 Н? Коэффициент трения санок о поверхность горки μ = 0,2.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$a=g(sin\, \alpha -\mu cos\, \alpha )+\frac{F\left ( \mu sin\, \alpha +cos\, \alpha \right )}{m},\: a\approx 8,11$ м/с2.

[свернуть]

4. Какую силу необходимо приложить к нити, составляющей угол β = 30° с наклонной плоскостью, чтобы за эту нить равномерно тащить брусок массой m = 0,5 кг? Коэффициент
трения между бруском и плоскостью μ = 0,4. Угол между плоскостью и горизонтом α = 45° 

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$F=\frac{mg\left ( sin\, \alpha +\mu cos\, \alpha \right )}{cos\, \beta +\mu sin\, \beta }, F=4,96$Н.

[свернуть]

5. Деревянный брусок массой m = 0,5 кг положили на наклонную плоскость. С какой наименьшей силой, направленной перпендикулярно поверхности плоскости, нужно прижать брусок, чтобы он лежал на грани соскальзывания? Коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,4. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$F=\frac{mg\left ( sin\, \alpha -\mu cos\, \alpha \right )}{\mu }, F=1,9$ Н.

[свернуть]