[latexpage]При решении задач на движение связанных тел часто приходится сталкиваться с условием, что нить связывающая тела невесома и нерастяжима. Разберемся что означает.
Нить невесома — это значит, что сила натяжения нити, связывающая грузы, будет одинаковой по модулю во всех точках нити, обычно силу натяжения нити обозначают $\overrightarrow{T}$.
Нить нерастяжима — связанные грузы будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением, одинаковой по модулю скоростью в одни и те же моменты времени, а также происходить одинаковые расстояния за одинаковые промежутки времени.
Отдельно покажем как будет выглядеть чертеж с указанием сил натяжения нитей в случае кода нить перекинута через невесомый неподвижный блок и можно пренебречь силами трения, которые возникают при вращении блока (по умолчанию все правые грузы будут двигаться вниз с некоторым ускорением).
Неподвижный блок не дает выигрыша в силе, а значит и не дает проигрыша в расстоянии, поэтому ускорения с которыми движутся тела одинаковы по модулю, т.е. $a_1=a_2=a$, но при этом направлены в противоположные стороны.
Пример. На столе лежат два связанных нитью бруска. Масса левого бруска m1 = 1 кг, правого — m2 = 3 кг. Коэффициент трения между каждым столом и бруском μ = 0,2. Найдите ускорение системы и силу натяжения соединяющей их нити, если к левому бруску приложить силу F1 = 1 Н, а к правому F2= 2 Н. Задачу решить для случая, когда F1 = 2 Н; F2 = 16 Н.
Решение. 1. Систему отсчета свяжем со столом, эта система является инерциальной. Координатную ось $Ox$ направим вдоль поверхности стола в направлении силы F2. Координатную ось $Oy$ направим перпендикулярно поверхности стола в направлении вектора силы реакции опоры.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Будем считать, что тело движется с ускорением направленным в сторону движения большей силы, так как по условию непонятно как будет двигаться тело и будет ли оно двигаться вообще.
3. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:
$\overrightarrow{T}_1+\overrightarrow{N}_1+\overrightarrow{F}_1+\overrightarrow{F}_{tr1}+m_1\overrightarrow{g}=m_1\overrightarrow{a}$,
$\overrightarrow{T}_2+\overrightarrow{N}_2+\overrightarrow{F}_2+\overrightarrow{F}_{tr2}+m_2\overrightarrow{g}=m_2\overrightarrow{a}$.
Проекции на координатную ось $Ox$:
$T_1-F_1-F_{tr1}=m_1a$,
$-T_2+F_2-F_{tr2}=m_2a$.
Проекции на координатную ось $Ox$:
$N_1-m_1g=0$,
$N_2-m_2g=0$.
4. Найдем силы трения, т.к. из последних равенств $N_1=m_1g$ и $N_2=m_2g$, то $F_{tr1}=\mu N_1=\mu m_1g$ и $F_{tr2}=\mu N_2=\mu m_2g$. Учтем также, что $T_1=T_2=T$. Подставим полученное выражение в выражения для проекций на ось 
$T-F_1-\mu m_1g=m_1a$,
$-T+F_2-\mu m_2g=m_2a$.
5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.
6. Решим полученную в п.4 систему уравнений относительно неизвестных величин. Складывая первое и второе уравнение системы, получим
$F_2-F_1-\mu m_1g-\mu m_2g=m_1a+m_2a$,
$F_2-F_1-\mu g (m_1+ m_2)=(m_1+m_2)a$,
$a=\frac{F_2-F_1-\mu g (m_1+ m_2)}{m_1+m_2} = \frac{F_2-F_1}{m_1+m_2}-\mu g$,
$a= \frac{2-1}{1+2}-0,2 \cdot 10 \approx — 1,67 $ м/с2.
мы получили ускорение отрицательное по модулю, такого быть не может, а это значит тело покоится, т.е. $a=0$. При этом силу натяжения можно найти из уравнений полученных нами для проекций на горизонтальную ось с учетом полученного результата
$T-F_1-\mu m_1g=0$,
$-T+F_2-\mu m_2g=0$,
$T-F_2+\mu m_2g=0$.
Складывая первое и третье уравнение, получим
$2T+\mu m_2g-F_1-F_2-\mu m_1g=0$,
$T=\frac{F_1+F_2+\mu m_1g-\mu m_2g}{2}=\frac{F_1+F_2+\mu g(m_1- m_2)}{2}$
Пример. Два одинаковых тела массой m = 1 кг каждое связаны нитью, перекинутой через легкий блок, и находятся на поверхности неподвижного клина с углами при основании α = 60° и β = 30° (см. рис.). При движении тел сила натяжения нити T = 7 Н. Найдите коэффициент трения между телами и поверхностями клина.
Решение. 1. Будем рассматривать движение тел в разных системах координат, связав их с поверхностями клина, относительно которых движутся тела. В остальном будем действовать также, как и при решении задач на наклонную плоскость.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона, для каждого тела
$\overrightarrow{T}_1+\overrightarrow{F}_{tr1}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}_1=m\overrightarrow{a}_1$,
$\overrightarrow{T}_1+\overrightarrow{F}_{tr1}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}_1=m\overrightarrow{a}_1$.
Проекции на координатные оси для первого тела на оси $Ox_1$ и $Oy_1$ соответственно:
$mg\, sin\alpha -T_1-F_{tr1}=ma_1$,
$ N_1-mg\, cos\alpha=0$.
Проекции на координатные оси для второго тела на оси $Ox_2$ и $Oy_2$ соответственно:
$-mg\, sin \beta+T_2-F_{tr1}=ma_2$,
$ N_2-mg\, cos\beta=0$.
4. Найдем силы трения, т.к. $ N_1=mg\, cos\alpha$, то $F_{tr1}= \mu N_1=\mu mg\, cos\alpha$. Аналогично, для силы трения, действующей на правый брусок, получим $F_{tr2}= \mu N_2=\mu mg\, cos\beta$. Подставим полученные выражения в выражения для проекций на оси $Ox_1$ и $Ox_2$ соответственно:
$mg\, sin\alpha -T_1-\mu mg\, cos\alpha=ma_1$,
$-mg\, sin \beta+T_2-\mu mg\, cos\beta=ma_2$.
Учтем также, что грузы связаны нитью, перекинутой через блок, а значит $T_1=T_2=T$ и $a_1=a_2=a$. Учтем и этот факт при написании уравнений
$mg\, sin\alpha -T-\mu mg\, cos\alpha=ma$,
$-mg\, sin \beta+T-\mu mg\, cos\beta=ma$.
5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.
6. Из последних двух уравнений найдем коэффициент трения. Вычитаем из второго уравнения первое
$-mg\, sin \beta — mg\, sin\alpha +2T-\mu mg\, cos\beta + \mu mg\, cos\alpha=0$,
$-\mu mg\, cos\beta + \mu mg\, cos\alpha=mg\, sin \beta + mg\, sin\alpha -2T$,
$\mu mg ( cos\alpha — cos\beta) =mg\, sin \beta + mg\, sin\alpha -2T$,
$\mu =\frac{mg (sin \beta + sin\alpha) -2T}{mg ( cos\alpha — cos\beta)}$
$\mu =\frac{1\cdot 10\cdot (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) — 2\cdot 7}{1\cdot 10\cdot ( \frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}) }\approx 0,09$.
Пример. В системе, изображенной на рисунке, массы нижнего и верхнего брусков $M=2$ кг и $m=1$ кг соответственно. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с постоянным ускорением $a=g/2$. Коэффициент трения между брусками 0,5; между нижним бруском и столом 0,2.
Решение. 1. Систему отсчета свяжем с поверхностью относительно которой движется нижнее тело.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Остановимся подробнее на силах. На верхний брусок действует 4 силы: тяжести, натяжения нити, реакции опоры и сила трения между брусками (очевидно, что брусок движется влево относительно нижнего, значит сила трения будет направлена вправо). На нижний брусок действуют силы: тяжести, реакции опоры, натяжения нити, две силы трения (со стороны верхнего бруска и поверхности, причем сила трения, действующая со стороны верхнего бруска направлена влево, т.к. нижний брусок движется относительно верхнего вправо), сила с которой тянут брусок, а также вес верхнего бруска (мы намеренно акцентируем на этом внимание, т.к. случай далеко не распространенный, но встречающийся в ЕГЭ).
3. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела и найдем проекции векторов на координатные оси. Для нижнего тела имеем
$M\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{N}_1+\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}_{tr}+\overrightarrow{F}_{tr12} =M\overrightarrow{a}_1$.
В проекциях на координатные оси
$F-F_{tr}-F_{tr12}-T=Ma_1$,
$N_1-Mg-P=0$.
Для верхнего тела получим
$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{N}_2+\overrightarrow{F}_{tr21} =m\overrightarrow{a}_2$.
В проекция на координатные оси
$F_{tr21}-T=-ma_2$,
$N_2-mg=0$.
4. Запишем дополнительные соотношения. Силы трения $\overrightarrow{F}_{tr12}$ и $\overrightarrow{F}_{tr21}$, также $\overrightarrow{N}_2$ и $\overrightarrow{P}$ с есть результат взаимодействия нижнего и верхнего бруска, а значит, согласно третьему закону Ньютона справедливы равенства
$\overrightarrow{F}_{tr12}=-\overrightarrow{F}_{tr21} \Rightarrow F_{tr12}=F_{tr21}$,
$\overrightarrow{N}_2=-\overrightarrow{P} \Rightarrow N_2=P$.
Кроме того, учитывая, что тела связаны нитью получим равенство ускорений тел $a_1=a_2=a$. Учтем все вышесказанное при нахождении модулей силы трения. Известно что
$N_1-Mg-P=0 \Rightarrow N_1 = Mg + P= Mg + N_2$,
$N_2-mg=0 \Rightarrow N_2 = mg$
$F_{tr12}=F_{tr21}=\mu_1 N_2=\mu_1 mg$,
$N_1 = Mg + N_2 = Mg+mg=g(M+m) \Rightarrow F_{tr}=\mu_2 N_1 = \mu_2g(M+m)$.
Перепишем полученные в п.3 уравнения
$F-\mu_2g(M+m)-\mu_1 mg-T=Ma$,
$\mu_1 mg-T=-ma_2$.
5. Кинематические уравнения в данной задаче не требуются, поэтому переходим к п.6.
6. Решим полученную в п.4 систему уравнений относительно неизвестной величины, для этого вычитаем из первого уравнения второе (чтобы избавиться от модуля силы натяжения)
$F-\mu_2g(M+m)-2\mu_1 mg=Ma+ma$,
$F=\mu_2g(M+m)+2\mu_1 mg+(M+m)a=$
$=\mu_2g(M+m)+2\mu_1 mg+(M+m)\frac{g}{2}=$
$=g\left ( \mu_2(M+m)+2\mu_1 m+\frac{M+m}{2} \right )=g\left ( 2\mu _1m+(M+m)\left ( \frac{1}{2}+\mu _2 \right ) \right )$,
$F=10\cdot \left ( 2\cdot 0,5\cdot 1+(2+1)\left ( \frac{1}{2}+0,2 \right ) \right )=31$ Н.
Задачи для самостоятельного решения.
Для закрепления пройденного материала и развития навыков задач решения рекомендуется выполнить задания, которые предлагает сайт «Решу ЕГЭ» для подготовки к ЕГЭ по физике на тему «Движение связанных тел» — нажать на ссылку и перейти к решению задач.