2.11. Движение тела по окружности

[latexpage]При решении задач на равномерное движение по окружности нужно помнить, что центростремительной силы в природе не существует. Центростремительная сила — это понятие вводимое для обозначения силы (или равнодействующей сил), которая заставляет тело поворачиваться и двигаться по окружности (или дуге окружности). По своей природе центростремительная сила может быть и силой упругости и силой трения и гравитационной силой (движение планет и искусственных спутников).

Пример. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 54 км/ч по дороге, профиль которой изображен на рисунке. Определить силу давления автомобиля в точках $A, B, C, D$, если $R=200$ м, $\alpha =30^{\circ}$. Какой должна быть скорость автомобиля, чтобы он не оказывал давление в точке $D$?

Решение. Сила, с которой тело давит на опору — вес тела. Как известно, вес тела можно найти по формуле $\overrightarrow{P}=m\left ( \overrightarrow{g}-\overrightarrow{a} \right )$.

Вес тела в точке $A$ равен $\overrightarrow{P}_A=m \overrightarrow{g}\Rightarrow P_A=mg\Rightarrow P_A=10$ кН, так как тело движется по прямой без ускорения $\left ( a=0 \right )$.

При нахождении веса тела в остальных точках следует помнить, что при равномерном движении тела по окружности (или ее дуге) возникает центростремительное ускорение, а вес тела направлен перпендикулярно опоре, т.е. в нашем случае касательной к окружности в ой точке, где находится тело. В случаях, когда тело будет находиться в точках $B$ и $D$, получим

$P_{By}=m(g_y-a_{By})=m(g-(-a_{B}))=m \left ( g+\frac{v^2}{R} \right )$

$P_B=1000\cdot \left ( 10+\frac{15^2}{200} \right )=11125$ Н.

$P_{Dy}=m(g_y-a_{Dy})=m(g-a_{D})=m \left ( g-\frac{v^2}{R} \right )$

$P_D=1000\cdot \left ( 10 -\frac{15^2}{200} \right )=8875$ Н.

Рассмотрим последний случай. Совет! При решении задач на равномерное движение вводите координатные оси вдоль и перпендикулярно радиусу окружности в рассматриваемый момент времени, например, как в нашем случае. 

$P_{Сy}=m(g_y-a_{Сy})=m(g-(-a_{С}))=m \left ( g cos \alpha +\frac{v^2}{R} \right )$

$P_B=1000\cdot \left ( 10 \cdot 0,87 +\frac{15^2}{200} \right )=9828$ Н.

Пример. Определить с какой максимальной скоростью может двигаться велосипедист по наклонному треку, если коэффициент трения между шинами и треком равен 0,2. Угол наклона трека равен $\alpha =45^{\circ}$, радиус закругления 30 м.

Решение. 1. Систему отсчета свяжем с поверхностью, относительно которой движется тело, поскольку, очевидно, что она неподвижна относительно Земли (иное не оговорено в задаче), а значит является инерциальной.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Заметим, что в данном случае горизонтальная составляющая силы трения является той центростремительной силой, которая позволяет телу двигаться по окружности. 

 

3. Запишем второй закон Ньютона:

$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_{tr}=m\overrightarrow{a}$.

Проекции на координатные оси:

$Nsin\alpha +F_{tr}cos\alpha =ma$,

$Ncos\alpha -F_{tr}sin\alpha -mg=0$.

4. Известно, что модуль силы трения равен $F_{tr}=\mu N$, учтем это при написании уравнений

$Nsin\alpha +\mu N cos\alpha =ma$,

$Ncos\alpha -\mu N sin\alpha -mg=0$.

или

$N \left ( sin\alpha +\mu  cos\alpha\right )  =ma$,

$N \left ( cos\alpha -\mu  sin\alpha\right ) = mg$.

5. Модуль центростремительного ускорения $a=\frac{v^2}{R}$.

6. Разделим первое уравнение системы, полученной в п. 4, на второе

$\frac{N \left ( sin\alpha +\mu  cos\alpha\right )}{N \left ( cos\alpha -\mu N sin\alpha\right )}=\frac{ma}{mg}\: $,

$\frac{ sin\alpha +\mu  cos\alpha}{cos\alpha -\mu  sin\alpha}=\frac{a}{g}\: $,

$\frac{ sin\alpha +\mu  cos\alpha}{cos\alpha -\mu  sin\alpha}=\frac{v^2}{gR}\: $,

$v=\sqrt{gR\cdot \frac{ sin\alpha +\mu  cos\alpha}{cos\alpha -\mu  sin\alpha}}\: $,

$v=\sqrt{10\cdot 30\cdot \frac{ \frac{\sqrt{2}}{2} + 0,2 \cdot   \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} — 0,2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{\frac{300\cdot (1+0,2)}{1-0,2}}\approx 21,21$ м/с.

Пример. Маленький шарик, подвешенный на тонкой нерастяжимой невесомой нити длиной 30 см, вращается в горизонтальной плоскости с периодом $T=1$ с. Нить составляет с вертикалью угол $\alpha =30^{\circ}$. По этим данным вычислить ускорение свободного падения.

Решение. 1. Выберем, так называемую, лабораторную систему отсчета — это система отсчета связанная, например, с комнатой в которой происходит движение.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. 

 

3. Запишем второй закон Ньютона:

$\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}$.

Проекции на координатные оси:

$T sin\alpha  =ma$,

$T cos\alpha -mg=0$.

4. Дополнительных уравнений, выражающие модули сил нет, поэтому этот пункт пропускам

5. Из кинематических уравнений нам потребуется центростремительное ускорение. Модуль центростремительного ускорения

$a=\frac{v^2}{R}$,

$v=\frac{2\pi R}{T}$,

$a=\left ( \frac{2\pi R}{T} \right )^2\cdot \frac{1}{R}=\frac{4\pi^2R}{T^2}$.

6. Вернемся к уравнениям, полученным в п.3. Во втором уравнении перенесем модуль силы тяжести в правую сторону и разделим это уравнение на первое

$T cos\alpha = mg$,

$ctg \alpha =\frac{g}{a}\Rightarrow g=a\, ctg\alpha = \frac{4\pi^2R\, ctg\alpha}{T^2}$.

Найдем радиус. Нам известна длина нити и угол ее отклонения, значит

$\frac{R}{l}=sin\alpha \Rightarrow R=l\, sin\alpha $,

$ g=\frac{4\pi^2 l\, sin\alpha\, ctg\alpha}{T^2}=\frac{4\pi^2 l\, cos\alpha}{T^2}$,

$g=\frac{4\cdot 3,14^2\cdot 0,3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1^2}\approx 10,24$ м/с2.

Пример. Гладкий горизонтальный диск вращается относительно вертикальной оси симметрии с частотой 480 об/мин. На поверхности диска лежит тело массой 1 кг, прикрепленное к центру диска пружиной жесткостью 1500 Н/м. Какую длину будет иметь пружина при вращении, если ее длина в недеформированном состоянии равна $l_0=0,2$ м.

Решение. 1. Выберем, так называемую, лабораторную систему отсчета — это система отсчета связанная, например, с комнатой в которой происходит движение.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. В данном случае сила упругости является той центростремительной силой, которая позволяет телу двигаться по окружности. Так как поверхность диска гладкая, то трения нет.

3. Запишем второй закон Ньютона:

$\overrightarrow{F}_y+m\overrightarrow{g}+ \overrightarrow{N}=m\overrightarrow{a}$.

Проекции на координатные оси:

$N-mg=0$,

$F_y=ma$.

4. Модуль силы упругости равен $F_{y}=k \Delta l $. Подставим в последнее уравнение

$ k \Delta l=ma$.

5. Модуль центростремительного ускорения $a=\omega ^2R$, где $\omega =4\pi n$. Радиус окружности будет равен длине пружины в деформированном состоянии $R=l_0+\Delta l$. 6. Найдем длину пружины в деформированном состоянии

$k\Delta l=m\omega ^2R$,

$k\Delta l=m\omega ^2(l_0+\Delta l)$,

$k\Delta l=m\omega ^2l_0+m\omega ^2\Delta l$,

$\Delta l(k-m\omega ^2)=m\omega ^2l_0$,

$\Delta l=\frac{m\omega ^2l_0}{k-m\omega ^2}$,

$l=l_0+\Delta l=l_0+\frac{m\omega ^2l_0}{k-m\omega ^2}=\frac{kl_0}{k-m\omega ^2}=\frac{kl_0}{k-4\pi^2n^2m}$,

$l=\frac{1500\cdot 0,2}{1500-4\cdot 3,14^2\cdot 8^2\cdot 0,1}=0,24$ м.

Пример. Тело массой $m$ подвешивают на невесомой пружине жесткостью $k$ и первоначальной длиной $l_0$. Затем тело раскручивают с частотой $n$ так, что пружина  с грузом описывает в пространстве конус как показано на рисунке. Определить возникающее при этом удлинение пружины $\Delta l$.

Решение. 1. Выберем, так называемую, лабораторную систему отсчета — это система отсчета связанная, например, с комнатой в которой происходит движение.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. В данном случае сила упругости является той центростремительной силой, которая позволяет телу двигаться по окружности. 

3. Запишем второй закон Ньютона:

$\overrightarrow{F}_y+m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}$.

Пусть $\alpha $ — угол под которым пружина наклонена к вертикали, тогда проекции на координатные оси будут иметь вид:

$F_ysin\alpha =ma$,

$F_ycos\alpha -mg=0$.

4. Модуль силы упругости равен $F_{y}=k \Delta l $. Подставим в первое уравнение

$ k \Delta lsin\alpha=ma$.

5. Модуль центростремительного ускорения $a=\omega ^2R$, где $\omega =4\pi n$.

6. Учитывая, что $sin\alpha =\frac{R}{l}$, найдем деформацию пружины

$F_y\cdot \frac{R}{l}=m\omega^2R$.

Радиус сокращаем, длина пружины $l=l_0+\Delta l$, значит

$\frac{k\Delta l}{l_0+\Delta l}=m\omega^2$,

$k\Delta l=m\omega^2(l_0+\Delta l)$,

$k\Delta l=m\omega^2l_0+m\omega^2\Delta l$,

$(k-m\omega^2)\Delta l=m\omega^2l_0$,

$\Delta l=\frac{m\omega^2l_0}{k-m\omega^2}=\frac{4\pi^2mn^2l_0}{k-4\pi^2mn^2}$.

Задания для самостоятельной работы.

1. Стержень длиной $l=1$ м закреплен жестко под углом $\alpha =30^{\circ}$ к вертикальной оси (см. рисунок). К нижнему концу стержня прикреплен шар массой $m=1$ кг. Вся система вращается с угловой скоростью $ \omega =10$ рад/с. Найти силу, с которой стержень действует на шар?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$T=m\sqrt{\omega ^4l^2 sin^2\alpha +g^2}\approx 51$ Н.

[свернуть]

2. Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью $ \omega =20$ рад/с вокруг вертикальной оси ${OO}’$ (см. рисунок). На поверхности диска в гладкой радиальной канавке находятся грузы 1 и 2 массами $m_1=0,2$ кг и $m_2=0,1$ кг, радиусы их вращения $R_1=0,1$ м и $R_2=0,2$. Найти силы натяжения нити.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$T_1=\omega ^2\left ( m_1R_1+m_2R_2 \right )=16$ Н, $T_2=\omega ^2m_2R_2 =8$ Н.

[свернуть]

3. На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha =6^{\circ}$ лежит тело (см. рисунок). Плоскость равномерно вращается вокруг вертикальной оси. Расстояние от тела до оси вращения $r=10$ см. Наименьший коэффициент трения, при котором тело удерживается на вращающейся наклонной плоскости равен $\mu =0,4$. Найти угловую скорость вращения $ \omega с$.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$\omega =\sqrt{\frac{g(\mu cos\alpha -sin\alpha )}{r(\mu sin\alpha +cos\alpha )}}\approx 5,3$ рад/с.

[свернуть]

4. На диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, лежит шайба массой $m=100$ г. Шайба соединена пружиной с осью диска. Если число оборотов диска не превышает $n_1=2$ об/с, пружина находится в недеформированном состоянии. Если число оборотов диска равно $n_2=5$ об/с, то пружина удлиняется вдвое. Определить жесткость пружины.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$k=4\pi^2m(2n_2^2-n_1^2)\approx 82$ Н/м.

[свернуть]

5. Летчик массой $m=70$ кг описывает на самолете «мертвую петлю» радиусом $R=100$ м. Скорость самолета $v=180$ км/ч. С какой силой прижимается летчик к сиденью в верхней и нижней точках траектории?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$P_1=m\left ( \frac{v^2}{R}-g \right )\approx 1050$ Н и $P_2=m\left ( g+\frac{v^2}{R} \right )\approx 2450$ Н.

[свернуть]

6. Круглая платформа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $ \omega $. На платформе находится шарик массой $m$, прикрепленный к оси платформы нитью нитью длиной $l$ (см. рисунок). Найти силу натяжения и силу давления шарика на платформу?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$T=m\omega^2l, P=m(g-\omega^2lsin\alpha )$.

[свернуть]

7. Велосипедист движется по горизонтальному закруглению отклонившись от вертикали на угол $\alpha =23^{\circ}$. Оценить возможные значения коэффициента трения колес о поверхность дороги. 

Нажмите, чтобы увидеть ответ

$\mu \geqslant 0,4$.

[свернуть]