4.3. Закон изменения и сохранения механической энергии

[latexpage]Энергия — физическая величина, характеризующая способность тела (или системы тел) совершать работу. То есть, если тело (или система тел) совершает работу, то изменяется его энергия.  Поэтому работа — это мера изменения энергии, в этом заключается ее физический смысл. 

В предыдущем пункте мы, получили, что 

$A=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$,

т.е. работа равна изменению величины $\frac{mv^2}{2}$, эта величина называется кинетической энергией. Тогда получается, что

$A=E_{k2}-E_{k1}= \Delta E_{k}$.

Если с кинетической энергией все достаточно просто, то со следующим видом энергии — потенциальной, не все так однозначно. введем сначала само понятие потенциальной энергии. Воспользуемся, опять же, результатами, полученными в предыдущем пункте

$A=-(mgh_2-mgh_1)$,

$A=-\left ( \frac{kx_2^2}{2}- \frac{kx_1^2}{2} \right )$.

То есть работу сил тяжести и упругости (потенциальных сил) можно представить в виде разности двух значений некоторых величин $mgh$ и $\frac{kx^2}{2}$, которые зависят от взаимного расположения тел. Эти величины называются потенциальной энергией в поле тяжести и потенциальной энергией упруго деформированного тела соответственно, т.е. 

  • потенциальная энергия в поле тяжести — $E_{\pi}=mgh$
  • потенциальная энергия упруго деформированного тела — $E_{\pi}=\frac{kx^2}{2}$

Отметим некоторые особенности введенного понятия:

  1. Каждому типу потенциальных сил соответствует свой вид потенциальной энергии и своя формула для ее вычисления;
  2. Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия. Получается, что потенциальной энергией обладают оба взаимодействующих тела;
  3. Поскольку потенциальная энергия зависит от положения тела в пространстве (или взаимного расположения частей одного тела относительно друг друга), то для ее однозначного определения нужно договориться о том, что нужно принимать за нулевую координату, в которой потенциальная энергия равна равна нулю, т.е. выбрать — нулевой уровень потенциальной энергии.
  4. Работа потенциальной силы всегда равна изменению потенциальной энергии, взятое в противоположным знаком, т.е. $A=-(E_{\pi2}-E_{\pi1})=- \Delta E_{\pi}$. Например, если тело падает под действием силы тяжести, то сила тяжести совершает положительную работу, при этом потенциальная энергия тела уменьшается.

Сумма потенциальной и кинетической энергии тела называется полной механической энергией тела. Если на тело действую только потенциальные силы, то его полная механическая энергия не изменяется, эта формулировка выражает закон сохранения энергии — одного из фундаментальных законов природы

$\Delta E =0$.

Если же на тело (или систему тел) действуют непотенциальные силы, например, сила трения или сила сопротивления, то полная механическая энергия изменяется и ее изменение равно работе этих сил

$A=\Delta E $.

Пример. Небольшое тело массой $m$ соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю, радиусом $R$. Какова должна быть наименьшая высота ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая? Трением пренебречь.

Решение. Выполним чертеж на котором покажем положение тела в интересующие нас моменты, а таковых два:

  • точка А — начало движения, тело находится на вершине ската;  
  • точка В — верхняя точка мертвой петли, т.к. в ней тело может упасть.

Также на чертеже покажем силы, которые действуют на тело.

В верхней точке траектории на тело действуют две силы $\overrightarrow{N}$ и $m \overrightarrow{g}$, тогда второй закон Ньютона запишется в виде

$\overrightarrow{N}+m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}$,

где $a$  — центростремительное ускорение с которым движется тело, его модуль равен 

$a=\frac{mv^2}{R}$.

В модулях это уравнение будет иметь вид

$N+mg=\frac{mv^2}{R}$.

Представим, что тело движется с такой скоростью, что оно не преодолевает верхнюю точку траектории, а отрывается в ней и начинает падать. В таком случае $N=0$, а записанное нами уравнение равносильно движению тела с ускорением свободного падения, т.е. 

$mg=\frac{mv^2}{R}$,

$g=\frac{v^2}{R}$,

$v^2=gR$.

Запишем теперь закон сохранения энергии, поскольку в условии задачи сказано, что трением можно пренебречь

$\Delta E=0$,

$E_2-E_1=0$,

где $E_2$ и $E_1$ — полная механическая энергия тела в положениях В и А соответственно. Найдем эти значения и подставим в полученное уравнение, но вначале укажем нулевой уровень потенциальной энергии — примем, что потенциальная энергия будет отсчитываться от уровня соответствующего нижней точки траектории, имеем

$E_1=E_{\pi 1}+E_{k1}=mgH$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=mg\cdot 2R+\frac{mv^2}{2}$,

$mg\cdot 2R+\frac{mv^2}{2}-mgH=0$.

Из последнего уравнения найдем интересующую нас высоту

$H=2R+\frac{v^2}{2g}$,

$H=2R+\frac{gR}{2g}=2,5R$.

Мы нашли граничное значение при котором тело упадет, значит, для того чтобы тело не упало необходимо выполнение условия $H>2,5R$. Если будет выполнено $H<2,5R$, то тело вовсе не достигнет верхней точки мертвой петли.