4.4.1. Алгоритм решения задач на закон сохранения энергии

[latexpage]Сразу оговоримся, что в данном пункте мы будем рассматривать случаи, когда между телами при их движении действуют только потенциальные силы, т.е. силы тяготения и упругости. В обобщенном виде алгоритм решения задач на закон сохранения (изменения) энергии выглядит следующим образом:

  1. Выбрать инерциальную систему отсчета.

  2. Выбрать два или более таких состояний тел системы, чтобы в число их параметров входили как известные, так и искомые величины.

  3. Выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии.

  4. Определить, какие силы действуют на тела системы — потенциальные или непотенциальные.

  5. Если на тела системы действуют только потенциальные силы, написать, закон сохранения механической энергии виде: $\Delta E=0$.
    Если на тела системы действуют только непотенциальные силы, написать, закон сохранения механической энергии виде: $\Delta E=A$

  6. Раскрыть значения энергии в каждом состоянии и, подставив их в уравнение закона сохранения энергии

  7. Записать дополнительные уравнения: уравнение закона сохранения импульса или кинематические уравнения или уравнения динамики движения. Выразить их в скалярном виде.

  8. Решить уравнение относительно искомой величины.

Пример. Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна $v_0=200$ м/с. В точке максимального подъема снаряд разорвался на два одинаковых осколка. Первый упал на землю вблизи точки выстрела, имея скорость в 2 раза больше начальной. Какую скорость имел второй осколок при падении на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Будем рассматривать движения тел в системе отсчета, связанной с Землей. Рассмотрим вначале движение снаряда и определим высоту на которую поднимается снаряд. Для этого рассмотрим два состояния снаряда — в момент выстрела (состояние 1), так как нам известна начальная скорость движения и наивысшей точки подъема снаряда (состояние 2), так как нам необходимо найти высоту. За нулевой уровень энергии примем поверхность Земли. 

Так как влиянием силы сопротивления воздух можно пренебречь, то на тело в процессе движения действует только потенциальная сила — сила тяжести, а значит можем применить закон сохранения энергии. Учитывая, что массы осколков равны, т.е. $m_1=m_2=m$, а масса всего снаряда $2m$, последовательно получаем

$\Delta E=0$,

$E_2-E_1=0$,

$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=\frac{2mv_0^2}{2}$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=2mgH$,

$2mgH-\frac{2mv_0^2}{2}=0$,

$gH=\frac{v_0^2}{2}$

$H=\frac{v_0^2}{2g}$.

Так как при разрыве снаряда силы, которые разрывают его намного больше внешней силы — силы тяжести, то можно считать, что импульс системы сохраняется. При этом в верхней точке траектории скорость снаряда рана нулю, а, значит, и после взрыва суммарный импульс осколков также будет равен нулю, т.е.

$m_1\overrightarrow{v}_{01}+m_2\overrightarrow{v}_{02}=0$,

где $\overrightarrow{v}_{01}$ — скорость осколка, полетевшего вниз, а $\overrightarrow{v}_{02}$ — скорость осколка, полетевшего вверх. Из последнего уравнения, заключаем что 

$m_1\overrightarrow{v}_{01}=-m_2\overrightarrow{v}_{02}$,

$\overrightarrow{v}_{01}=-\overrightarrow{v}_{02} \Rightarrow  v_{01}=v_{02}$.

Рассмотрим теперь движение осколка, который движется вниз. Известно, что $v_1=2v_{01}$, где $v_1$ — скорость первого осколка в момент падения на Землю. Выполним чертеж и запишем законы сохранения энергии для первого и второго осколков.

Для первого осколка

$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=mgH+\frac{mv_{01}^2}{2}$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{mv_{1}^2}{2}$,

$mgH+\frac{mv_{01}^2}{2}=\frac{mv_{1}^2}{2}$.

Для второго осколка

$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=mgH+\frac{mv_{02}^2}{2}$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{mv_{2}^2}{2}$,

$mgH+\frac{mv_{02}^2}{2}=\frac{mv_{2}^2}{2}$.

Видно, что левые части полученных уравнений равны, т.к. $v_{01}=v_{02}$

$mgH+\frac{mv_{02}^2}{2}=mgH+\frac{mv_{01}^2}{2}$,

а это значит, что 

$\frac{mv_{1}^2}{2}=\frac{mv_{2}^2}{2} \Rightarrow v_1=v_2$.

Найдем эти скорости из уравнения закона сохранения энергии для первого осколка

$gH+\frac{v_{01}^2}{2}=\frac{v_{1}^2}{2}$,

$gH+\frac{v_{01}^2}{2}=\frac{4v_{01}^2}{2}$,

$gH=\frac{3v_{01}^2}{2}$,

$\frac{v_0^2}{2}=\frac{3v_{01}^2}{2} \Rightarrow v_{01}=\frac{v_0}{\sqrt{3}}$,

$v_1=v_2=\frac{2v_0}{\sqrt{3}}$,

$v_2=\frac{2 \cdot 200}{\sqrt{3}} \approx 231$ м/с.

Пример. Два небольших тела, отношение масс которых равно 3, одновременно начинают соскальзывать внутрь гладкой полусферы радиусом $R$ (см. рисунок). Происходит абсолютно неупругий удар. Определить максимальную высоту подъема тел после удара. 

Решение. Систему отсчета свяжем непосредственно с полусферой. Определим скорости с которыми тела будут двигаться к моменту времени, когда тела окажутся внизу и произойдет удар. Для этого, для каждого тела, рассмотрим два состояния — в момент начала движения (состояние 1), так как нам известна высота на которой находится тело и в нижней части полусферы (состояние 2), так как нам необходимо найти скорость в этой точке. За нулевой уровень касательную к нижней точке полусферы.

Учитывая, что первоначальная высота на которой находятся грузы относительно выбранного нулевого уровня потенциальной энергии равна радиусу полусферы $H=R$, получим:

  • для первого осколка

$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=m_1 gR$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{m_v_{1}^2}{2}$,

$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,

$m_1gR=\frac{m_1v_{1}^2}{2} \Rightarrow gR=\frac{v_{1}^2}{2}$.

  • для второго осколка

$E_3=E_{\pi3}+E_{k3}=m_2gR$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{m_2v_{2}^2}{2}$,

$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_3$,

$m_2gR=\frac{m_2v_{2}^2}{2} \Rightarrow gR=\frac{v_{2}^2}{2}$.

Видно, что скорости, с которыми будут двигаться тела в нижней точке одинаковы по модулю, поскольку $gR=\frac{v_{1}^2}{2}=\frac{v_{2}^2}{2}$. Найдем эти скорости, например, найдем скорость первого тела

$v_1=\sqrt{2gR}=v_2$.

Определим скорости тел после неупругого соударения. Закон сохранения энергии применять нельзя, т.к. полная механическая механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется. Воспользуемся законом сохранения импульса, поскольку при ударе внешние силы — силы тяжести и реакции опоры компенсируют друг друга. Пусть $m_1=m$, а $m_2=3m$, т.к. по условию одно из тел имеет массу в три раза большую. Получается, что после удара тела будут двигаться в сторону движения тела с большим импульсом, т.е. в ту сторону куда движется второе тело, поскольку при одинаковых по модулю скоростях его импульс будет больше, т.к. его масса больше.

$m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2=(m_1+m_2)\overrightarrow{v}$,

$m_1v_{1x}+m_2v_{2x}=(m_1+m_2)v_x$,

$m_1v_1-m_2v_2=-(m_1+m_2)v$,

$v=\frac{m_2v_2-m_1v_1}{m_1+m_2}$,

$v=\frac{3m\sqrt{2gR}-m\sqrt{2gR}}{m+3m}=\frac{\sqrt{2gR}}{2}$.

Рассмотрим теперь движение грузов после столкновения. Здесь опять же применим закон сохранения энергии, поскольку движение будет происходить по гладкой поверхности полусферы, т.е. без трения

$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,

где $E_1$ и $E_2$ — полная  механическая энергия тела после удара и в момент остановки соответственно (тело поднялось на высоту $H$, которую и нужно найти)

$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=(m_1+m_2)gH$,

$(m_1+m_2)gH=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$,

$gH=\frac{v^2}{2}$,

$v^2=\frac{2gR}{4}=\frac{gR}{2}$,

$gH=\frac{gR}{4} \Rightarrow H=\frac{R}{4}$.

Пример. Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару со скоростью 300 м/с. Она пробивает его и вылетает горизонтально со скоростью 200 м/с, после чего шар, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол 39°. Определить начальный угол отклонения шара? (Массу шара считать неизменной, диаметр шара — пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити). Принять $cos 39^{\circ}=\frac{7}{9}$.

Решение. Найдем первоначальную высоту, а для этого воспользуемся законом сохранения энергии 

$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,

где $E_1$ и $E_2$ — полная  механическая энергия шара после того как его отпустили и в момент прохождения положения равновесия соответственно. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение равновесия шара

$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=MgH$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{Mv^2}{2}$,

$\frac{Mv^2}{2}=MgH$,

$gH=\frac{v^2}{2} \Rightarrow H=\frac{v^2}{2g}$.

Найдем начальный угол отклонения

$\frac{l-H}{l}=cos\beta $,

$cos\beta=\frac{l-H}{l}=1-\frac{H}{l}=1-\frac{v^2}{2gl}$.

Теперь осталось найти скорость с которой шар будет проходить положение равновесия

Рассмотрим момент взаимодействия пули и шара. Систему состоящую из этих тел можно считать замкнутой, а значит можно применить закон сохранения импульса

$M\overrightarrow{v}+m\overrightarrow{u}_1=M\overrightarrow{v}_1+m\overrightarrow{v}_2$,

$Mv-mu_1=Mv_1-mu_2$,

$v=\frac{Mv_1+mu_1-mu_2}{M}=v_1+\frac{m(u_1-u_2)}{M}$.

Скорость шара можно найти из закона сохранения энергии

$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,

где $E_1$ и $E_2$ — полная  механическая энергия шара после взаимодействия с пулей и в момент остановки соответственно

$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=\frac{Mv_1^2}{2}$,

$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=Mgh$,

$Mgh=\frac{Mv_1^2}{2}$,

$v_1=\sqrt{2gh}$.

Высоту $h$ найдем из тех же соображений что и ранее

$\frac{l-h}{l}=cos \alpha $,

$l-h=lcos\alpha $,

$h=l-lcos\alpha=l(1-cos\alpha) $,

$h=0,9\cdot \left ( 1-\frac{7}{9} \right )=0,2$ м.

Тогда, последовательно находим

$v_1=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,2}=2$ м/с,

$v=2+\frac{10^{-2}\cdot (300-200)}{1}=3$ м/с,

$cos\beta=1-\frac{3^2}{2\cdot 10\cdot 0,9}=\frac{1}{2}\Rightarrow \beta =60^{\circ}$.