7.3. Количество теплоты

[latexpage]Внутреннюю энергию тела можно изменить двумя способами:

— совершением работы — сжать, растянуть тело, переместить его по шероховатой поверхности и т.д.
— сообщив ему некоторую (или наоборот отобрав у него) энергию при теплопередаче. Теплопередачей называется процесс изменения внутренней энергии тела без совершения работы.

Энергия, которую сообщают телу (или отнимают у него) в результате телепередачи называется количеством теплоты. Обозначение — $Q$, единица измерения — Джоуль (Дж).  В результате теплопередачи происходит не превращение одного вида энергии в другой, а передача внутренней энергии от одного тела к другому. Отметим, что если тело получает некоторое количество теплоты, то $Q>0$, а если отдает, то $Q<0$. Рассмотрим способы нахождения количества теплоты в тепловых процессах.

Нагревание (охлаждение) — количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы нагреть 1 кг вещества на $1^{\circ}$ (или отдает при охлаждении) называется удельной теплоемкостью вещества. Найти количество теплоты, которое получает тело при нагревании можно по формуле

$Q=cm\Delta t$.

Соответственно, при охлаждении будет выделяться количество теплоты

$Q=-cm\Delta t$.

Иногда, при решении задач можно встретить понятие теплоемкости тела (например, теплоемкость калориметра). Теплоемкостью тела называется физическая величина, численно
равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить телу, чтобы изменить его температуру на один градус. Теплоемкость тела связана с удельной теплоемкостью соотношением

$C=cm$.

Плавление (кристаллизация) — в процессе плавлении кристаллического тела вся энергия идёт на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул, при этом кинетическая энергия молекул не изменяется, поэтому при плавлении температура тела не изменяется. Аналогичные рассуждения можно провести и для процесса кристаллизации, во время которого температура кристаллического тела не меняется. Количество теплоты, которое получает тело при плавлении можно рассчитать по формуле 

$Q=\lambda m$,

где $\lambda $ — удельная теплота плавления. Удельная теплота плавления — физическая величина, которая показывает какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы полностью расплавить 1 кг кристаллического вещества, взятого при температуре плавления. Отметим, что при кристаллизации кристаллического тела выделяется точно такое же количество теплоты, как и поглощается при его плавлении. А значит, количество теплоты, которое выделяется при кристаллизации можно найти по формуле

$Q=-\lambda m$.

Парообразование (конденсация) — для того, чтобы происходил процесс парообразования при постоянной температуре жидкости необходимо сообщать некоторое количество теплоты. Получается, что во время процесса парообразования при постоянной температуре (такое происходит, например, при кипении) кинетическая энергия молекул не меняется, а получаемая энергия идет на увеличение потенциальной энергии их взаимодействия. Количество теплоты, которое необходимо затратить, чтобы полностью превратить жидкость в пар при постоянной температуре можно вычислить по формуле

$Q=r m$,

где $r$ — удельная теплота парообразования. Удельная теплота парообразования — физическая величина, которая показывает, какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы полностью превратить жидкость массой 1 кг в пар при постоянной температуре.

При конденсации некоторой массы пара выделяется такое же количество теплоты, которое необходимо для превращения той же массы жидкости в пар при постоянной температуре, поэтому количество теплоты, которое выделяется при конденсации пара

$Q=-r m$.

Рассмотрим систему, состоящую из нескольких тел. Если эта система не обменивается теплом с окружающими телами и не совершает работу, то она является теплоизолированной. Внутренняя энергия такой системы тел изменяться не будет. Но при этом, если в системе нет теплового равновесия, т.е. температура тел различная, то она будет стремится к этому состоянию. А значит в ней будут происходить какие-либо тепловые процессы из указанных выше. При этом, поскольку система не совершает работы, то изменение внутренней энергии тел системы будет происходить только за счет количества теплоты, которые получают или отдают тела, т.е.  $\Delta U_1=Q_1, \Delta U_2=Q_2, \Delta U_3=Q_3, …$. Для всех тел теплоизолированной системы

$\Delta U=\Delta U_1+\Delta U_2+\Delta U_3+…=0$

или

$Q_1+Q_2+Q_3+…=0$.

Последнее уравнение называется уравнением теплового баланса. 

В заключение укажем еще одну формулу для расчета количества теплоты. Сразу оговоримся, что указанный процесс не относится к физическим, он является — химическим. Но во время протекания этого процесса происходит выделение большого количества теплоты. Речь идет о горении топлива. Количество теплоты, которое выделяется при сгорании топлива можно вычислить по формуле

$Q=qm$,

где $q$ — удельная теплота сгорания топлива. Удельная теплота сгорания топлива — это физическая величина, которая показывает, какое количество теплоты выделяется при сгорании 1 кг топлива.

Тепловые процессы удобно изображать графически, покажем на примере воды, как выглядит график зависимости ее температуры от времени во время различных процессов.

Распишем подробно процессы:

Процесс 1-2: нагревание льда — $Q=c_1m\Delta t$, где $c_1$ — удельная теплоемкость льда.
Процесс 2-3: плавление льда — $Q=\lambda m$.
Процесс 3-4: нагревание воды — $Q=c_2m\Delta t$, где $c_2$ — удельная теплоемкость воды (теплоемкость одного и того же вещества в разных агрегатных состояниях — различна).
Процесс 4-5: кипение воды (интенсивное парообразование, происходящее по всему объему жидкости) — $Q=rm$.
Процессы 5-6 и 6-7: нагревание и охлаждение пара соответственно.
Процесс 7-8: конденсация пара — $Q=- rm$.
Процесс 8-9: охлаждение воды — $Q=-c_2m\Delta t$.
Процесс 9-10: кристаллизация воды, образование льда — $Q=-\lambda m$.
Процесс 10-11: охлаждение льда — $Q=-c_1m\Delta t$.

Алгоритм решения задач на уравнение теплового баланса

1.Записать краткое условие задачи и  выразить все величины в СИ. 

2.Определить, какие вещества участвуют в  теплообмене. 

3. Построить эскиз графика зависимости температуры веществ от времени. 

4. Используя график, записать формулы, описывающие процессы и составить уравнение теплового баланса, из  которого выразить искомую величину и  вычислить ее.

Пример. Ванну вместимостью 100 л необходимо заполнить водой, имеющей температуру $30^{\circ}$. Для этого используют воду температурой $80^{\circ}$ и лед, взятый при температуре $-20^{\circ}$. Определить массу льда, которую нужно положить в ванну?

Решение. Пусть масса льда — $m_1$, общая масса воды которую необходимо получить — $m=100$ кг. Удельная теплоемкость льда $c_1=2100$ Дж/кг °C, воды — $c_2=4200$ Дж/кг °C, а удельная теплота плавления льда $\lambda=330000$ Дж/кг. Построим эскиз графика зависимости температуры тел от времени.

$Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=0$.

Процесс 1: нагревание льда — $Q_1=c_1m_1\Delta t_1$.
Процесс 2: плавление льда — $Q_2=\lambda m_1$.
Процесс 3: нагревание воды, образовавшейся изо льда — $Q_3=c_2m_1\Delta t_2$.
Процесс 4: охлаждение воды, находившейся в ванне — $Q_4=-c_2m_2\Delta t_3$.

$c_1m_1\Delta t_1+\lambda m_1+c_2m_1\Delta t_2-c_2m_2\Delta t_3=0$.

Учитывая, что $m_2=m-m_1$, получим 

$c_1m_1\Delta t_1+\lambda m_1+c_2m_1\Delta t_2-c_2(m_m_1)\Delta t_3=0$,

$c_1m_1\Delta t_1+\lambda m_1+c_2m_1\Delta t_2+c_2m_1\Delta t_3=c_2m\Delta t_3$,

$m_1(c_1\Delta t_1+\lambda+c_2\Delta t_2+c_2\Delta t_3)=c_2m\Delta t_3$,

$m_1=\frac{c_2m\Delta t_3}{c_1\Delta t_1+\lambda+c_2(\Delta t_2+\Delta t_3)}$,

$m_1=\frac{4200\cdot 100\cdot 50}{2100\cdot 20+330000+4200\cdot 80}\approx 30$ кг.

Пример. В стакан с водой, нагретой до температуры t₁ = 50 °С, положили металлический шарик, имеющий температуру t₂ = 10 °С. После установления теплового равновесия температура воды стала t₃ = 40 °С. Определите температуру воды t4 после того, как в стакан положили ещё один такой же шарик температурой t2 (первый шарик остался в стакане). Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение. Обозначим удельную теплоемкость шара и его массу как $c_1$ и $m_1$ соответственно, а удельную теплоемкость воды и ее массу $c_2$ и $m_2$, причем $c_2=4200$ Дж/кг °C. Рассмотрим каждую ситуацию отдельно. Сначала мы опускаем один шарик в стакан, после чего в стакане устанавливается тепловое равновесие. Построим эскиз графика и запишем уравнение теплового баланса.

$Q_1+Q_2=0$.

Процесс 1: нагревание шарика- $Q_1=c_1m_1\Delta t_1$.
Процесс 2: охлаждение воды, находившейся в стакане — $Q_2=-c_2m_2\Delta t_2$.

$c_1m_1\Delta t_1-c_2m_2\Delta t_2=0$.

Отсюда найдем массу воды в стакане

$m_2=\frac{c_1m_1\Delta t_1}{c_2\Delta t_2}$.

Теперь рассмотрим вторую ситуацию: в стакан с водой, в котором уже находится шарик и уже установилось тепловое равновесие опускают еще один шарик. Сделаем эскиз графика и запишем уравнение теплового баланса.

$Q_1+Q_2+Q_3=0$.

Процесс 1: нагревание шарика, который был опущен в воду — $Q_1=c_1m_1\Delta t_3$.
Процесс 2: охлаждение шарика, который находился в воде — $Q_2=-c_1m_1\Delta t_4$.
Процесс 3: охлаждение воды — $Q_3=-c_2m_2\Delta t_4$.

$c_1m_1\Delta t_3-c_1m_1\Delta t_4-c_2m_2\Delta t_4=0$,

$c_1m_1\Delta t_3-c_1m_1\Delta t_4-\frac{c_1m_1\Delta t_1}{c_2\Delta t_2}\cdot c_2\Delta t_4=0$.

Разделим обе части получившегося уравнения на $c_1m_1$, получим

$\Delta t_3-\Delta t_4-\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}\cdot \Delta t_4=0$.

Учитывая, что $\Delta t_3=t_4-t_2$, а $\Delta t_4=t_3-t_4$, получим

$t_4-t_2-(t_3-t_4)-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}(t_3-t_4)=0$,

$t_4-t_2-t_3+t_4-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\cdot t_3+\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\cdot t_4=0 $,

$2t_4+\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\cdot t_4=\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\cdot t_3+t_3+t_2$,

Умножим обе части уравнения на $\Delta t_1$ и сгруппируем возможными способами

$t_4(2\Delta t_1+\Delta t_2)=\Delta t_2\cdot t_3+\Delta t_1(t_3+t_2)$,

$t_4=\frac{\Delta t_2\cdot t_3+\Delta t_1(t_3+t_2)}{2\Delta t_1+\Delta t_2}$,

$t_4=\frac{10\cdot 40+30\cdot (40-10)}{2\cdot 30+10}\approx 19^{\circ}$.

Пример. Какая масса воды окажется в смеси, если лед массой 150 г и воду массой 200 г, находящиеся в состоянии теплового равновесия, нагреть до 100 °С путем пропускания пара, имеющего температуру 100 °С?

Решение. Введем обозначения: масса льда $m_1=0,15$ кг, масса воды $m_2=0,2$ кг. Температура, при которой лед и вода находятся в состоянии теплового равновесия равна $t_1=0$ °С, конечная температура смеси $t_2=100$ °С. Константы: удельная теплота плавления льда $\lambda=330000$ Дж/кг, удельная теплоемкость воды $c=4200$ Дж/кг °C, удельная теплота парообразования $r=2300000$ Дж/кг. Построим эскиз графика и запишем уравнение теплового баланса.

$Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=0$.

Процесс 1: плавление льда — $Q_1=\lambda m_1$.
Процесс 2: нагревание воды, образовавшейся изо льда — $Q_2= cm_1 \Delta t$.
Процесс 3: нагревание воды находящейся в смеси со льдом — $Q_3=cm_2\Delta t$.
Процесс 4: конденсация пара — $Q_4=-rm_3$.

$\lambda m_1+cm_1 \Delta t+cm_2\Delta t-rm_3=0$.

Найдем массу пара, который сконденсировался

$m_3=\frac{\lambda m_1+c(m_1+m_2) \Delta t}{r}$,

$m_3=\frac{330000 \cdot 0,15+4200 \cdot (0,15+0,2) \cdot 100}{2300000}\approx 0,085$ кг.

Общая масса воды $m=m_1+m_2+m_3=0,15+0,2+0,085=0,435$ кг или $m=435$ г.

Пример. В алюминиевом калориметре массой M = 500 г находится m₁ = 250 г воды при температуре t₁ = 19 °C. Если в калориметр опустить металлический цилиндр массой m = 180 г, состоящий из двух частей — алюминиевой и медной, то температура воды поднимется до θ = 27 °C. Определите массы алюминия  и меди  в цилиндре, если его начальная температура t₂ = 127 °C.

Решение. Исходные данные с обозначениями указаны в задаче. Запишем лишь необходимые табличные значения удельных теплоемкостей тел: воды — $c_1=4200$ Дж/кг °C, алюминия — $c_2=920$ Дж/кг °C, меди — $c_3=380$ Дж/кг °C. Построим эскиз графика и запишем уравнение теплового баланса.

$Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=0$.

Процесс 1: нагревание калориметра — $Q_1=c_2M\Delta t_1$.
Процесс 2: нагревание воды — $Q_2= c_1m_1 \Delta t_1$.
Процесс 3: охлаждение алюминия — $Q_3=-c_2m_2\Delta t_2$.
Процесс 4: охлаждение меди  — $Q_4=-c_3m_3\Delta t_2$.

$c_2M\Delta t_1+c_1m_1 \Delta t_1-c_2m_2\Delta t_2-c_3m_3\Delta t_2=0$.

Пусть общая масса металлического цилиндра $m$, тогда $m_3=m-m_2$, перепишем уравнение теплового баланса и найдем массу медного цилиндра

$c_2M\Delta t_1+c_1m_1 \Delta t_1-c_2m_2\Delta t_2-c_3(m-m_2)\Delta t_2=0$,

$c_2M\Delta t_1+c_1m_1 \Delta t_1-c_2m_2\Delta t_2-c_3m \Delta t_2+c_3m_2\Delta t_2=0$,

$c_3m_2\Delta t_2-c_2m_2\Delta t_2=c_3m \Delta t_2 -c_2M\Delta t_1-c_1m_1 \Delta t_1$,

$m_2\Delta t_2(c_3-c_2)=c_3m \Delta t_2 -\Delta t_1(c_1m_1+c_2M)$,

$m_2=\frac{c_3m \Delta t_2 -\Delta t_1(c_1m_1-c_2M)}{\Delta t_2(c_3+c_2)} $,

$m_2=\frac{380\cdot 0,18\cdot 100 -8\cdot (4200\cdot 0,25+920\cdot 0,5)}{100\cdot (380-920)} =0,097$ кг $=97$ г.

Значит, $m_3=180-97=83$ г.

Пример. В теплоизолированный сосуд, содержащий V₁ = 0,5 л воды при температуре t₁ = 6 °C, помещают m₁ = 0,9 кг льда, имеющего температуру t₁ = –25 °C. После достижения теплового равновесия половину воды из этого сосуда перелили в другой такой же сосуд, содержащий V₂ = 2 л воды при температуре t₂ = 18 °C, добавив в него m₂ = 0,45 кг льда при температуре t₃ = 0 °C. Найдите температуру, которая установится во втором сосуде. Теплоемкости сосудов не учитывать.

Решение. Исходные данные с обозначениями указаны в задаче. Первоначальная масса воды в первом сосуде ${m}’=0,5$ кг, а во втором — ${m}»=2$ кг. Запишем необходимые табличные значения: удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг °C, удельная теплота плавления льда $\lambda=330000$ Дж/кг, удельная теплоемкость льда — $c_2=2100$ Дж/кг °C. Проанализируем первую ситуацию — в теплоизолированный сосуд с водой кладут лед. Вся сложность заключается в том, что заранее не известна конечная температура смеси. Возможны следующие варианты:

1. Установится температура выше нуля. Это означает, что вода, охлаждаясь, нагреет и растопит лед, что невозможно, т.к. только для плавления льда потребуется количество теплоты $Q=0,9 \cdot 330000 = 297 000$ Дж, а при охлаждении воды до нуля градусов выделится энергия равная $Q=4200 \cdot 0,5 \cdot 6 = 12600 $ Дж.

2. Вода частично или полностью замерзнет и установится температура ноль градусов.

3. Вода полностью кристаллизуется и установится температура ниже нуля градусов.

Будем решать задачу в предположении, что второе утверждение верное. Сделаем эскиз графика и запишем уравнение теплового баланса. Массу замерзшей воды обозначим $m$ и найдем ее.

$Q_1+Q_2+Q_3=0$.

Процесс 1: охлаждение воды — $Q_1= -12600$ Дж.
Процесс 2: кристаллизация воды — $Q_2=\lambda m$.
Процесс 3: нагревание льда — $Q_3=c_2m_1\Delta t_1$.

$Q_1-\lambda m+c_2m_1\Delta t_1=0$,

$Q_1+c_2m_1\Delta t_=\lambda m$,

$m=\frac{Q_1+c_2m_1\Delta t_1}{\lambda}$,

$m=\frac{-12600+2100 \cdot 0,9 \cdot 25}{330000}=0,105$ кг,

т.е. наше предположение верно, в калориметре установится температура ноль градусов, при этом останется жидкой воды $\bar{m}=0,5-0,105=0,395$ кг.

Половину из оставшейся воды добавляем во второй сосуд, содержащий воду при температуре 18 °C и кладем сюда лед. Сделаем эскиз графика, запишем уравнение теплового баланса и найдем установившуюся в результате теплового равновесия температуру.

$Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=0$.

Процесс 1: плавление льда — $Q_1=\lambda m_2$ Дж.
Процесс 2: нагревание воды, которая образуется изо льда — $Q_2=c_1m_2\Delta t_1$.
Процесс 3: нагревание воды, которая была добавлена из первого сосуда — $Q_3=0,5c_1\bar{m}\Delta t_1$.
Процесс 4: охлаждение воды — $Q_4= -c_1{m}»\Delta t_2$.

Если учесть, что $\Delta t_1=t-t_3=t$, а $\Delta t_2=t_2-t$, то получим

$\lambda m_2+c_1m_2 t+0,5c_1\bar{m} t-c_1{m}»(t_2-t)=0$,

$\lambda m_2+c_1m_2 t+0,5c_1\bar{m} t-c_1{m}»t_2+c_1{m}»t=0 $,

$c_1m_2t+0,5c_1\bar{m} t+c_1{m}»t=c_1{m}»t_2-\lambda m_2$,

$t=\frac{c_1{m}»t_2-\lambda m_2}{c_1m_2+0,5c_1\bar{m} +c_1{m}»}=\frac{c_1{m}»t_2-\lambda m_2}{c_1(m_2+0,5\bar{m} +{m}»)}$,

$t=\frac{4200\cdot 2\cdot 18-330000\cdot 0,45}{4200\cdot (0,45+0,5\cdot 0,395 +2)}\approx 0,24^{\circ}$.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В алюминиевый калориметр массой 1 кг, содержащий лед массой 400 г, влили воду массой 300 г. Температура воды была равна 15 °С, температура калориметра и льда была -12° С. Какая установилась температура в калориметре? Каким оказалось содержимое в калориметре? Удельная теплоемкость льда 2,1 кДж/кг°С, алюминия 900 Дж/кг°С, воды 4200 Дж/ кг°С. Удельная теплота плавления льда 333 кДж/кг. 

2. Кусок льда массой 700 г поместили в калориметр с водой. Масса воды 2,5 кг, начальная температура 5 °С. Когда установилось тепловое равновесие, оказалось, что масса льда увеличилась на 84 г. Определите начальную температуру льда. Теплоемкостью калориметра пренебречь. Недостающие данные взять из справочника.

3. В алюминиевый калориметр массой 300 г опустили кусок льда. Температура калориметра и льда -15 °С. Затем пропустили через калориметр водяной пар при 100 °С. После того как температура смеси стала 25 °С, измерили массу смеси, она оказалась равной 500 г. Найти массу сконденсировавшегося пара и массу льда, находившегося в калориметре в начале опыта.

4. В сосуд, содержащий 2,8 л воды при 20 °С, бросают кусок стали массой 3 кг, нагретый до 460 °С. Вода нагревается до 60 °С, а часть ее обращается в пар. Найти массу воды, обратившейся в пар. Теплоемкостью сосуда пренебречь.

5. Бытовой газовый водонагреватель проточного типа имеет полезную мощность 21 кВт и КПД 80%. Сколько времени будет наполняться ванна вместимостью 200 л водой, нагретой в нагревателе на 24 °С, и каков расход газа (в литрах) за это время? При сгорании 1 м³ природного газа выделяется энергия 36 МДж.

6. Чтобы охладить 200г воды, имеющей температуру 25°С, в нее бросают взятые из холодильника кубики льда объемом 6,4 см³ каждый, температура которых равна -5°С. Какое наименьшее число кубиков нужно бросить в воду, чтобы в результате её температура стала не выше 5°С? (Теплообменом с окружающей средой пренебречь).

7. Внутри куска льда без воздушных пузырей находится вмерзший камень, плотность которого ρ_к = 2000 кг/м3, т.е. вдвое больше, чем у воды (ρ_в = 1000 кг/м³). Масса куска льда вместе с камнем М = 3 кг, а температура 0 °С. Этот кусок льда опустили в ведро объемом V = 10 л с водой, причем оказалось, что ведро заполнено по самые края, а над поверхностью воды выступает только 5 % от общего объема куска льда с камнем. Через некоторое время, после того как часть льда растаяла, кусок льда полностью погрузился в воду и продолжал плавать, не касаясь в течение длительного времени ни дна, ни стенок ведра. Найти массу камня и температуру воды в ведре до опускания в него куска льда. Удельная теплоемкость воды С = 4,2 кДж/(кг·°С), плотность льда ρ_л=900 кг/м³, удельная теплота плавления льда λ = 335 кДж/кг. Теплообменом с окружающей средой и тепловым расширением тел пренебречь.