6.4. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы

[latexpage]До сих пор мы обсуждали уравнения, которые связывают между собой макропараметры и микропараметры. Используя полученные результаты, выведем уравнение, которое установит связь между параметрами характеризующими газ в целом — температурой, давлением и объемом. Такое уравнение называется уравнением состояния идеального газа. Расмотрим уравнение

$p=nkT$.

Выразим концентрацию газа через другие параметры

$n=\frac{N}{V}=\frac{\nu N_A}{V}=\frac{mN_A}{MV}$

и подставим полученный результат в первоначальное уравнение, получим 

$p=\frac{mN_A}{MV}kT$,

$pV=\frac{m}{M}kN_AT$.

Произведение постоянной Больцмана и постоянной Авогадро будет являться также величиной постоянной, она называется — универсальной газовой постоянной

$R=kN_A=8,31$ Дж/(моль·К).

С учетом введенной постоянной величины можно переписать последнее уравнение в виде

$pV=\frac{m}{M}RT$.

Это уравнение и называется уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева-Клапейрона. В таком виде оно впервые было получено Д.И. Менделеевым. Если в ходе некоторого процесса масса газа остается неизменной, то для любых двух (или более) состояний газа будут выполнены условия

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{m}{M}R$ и $\frac{p_2V_2}{T_2}=\frac{m}{M}R$.

Так как правые части этих выражений одинаковы, то можно записать следующее уравнение

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$

или, в общем виде

$\frac{pV}{T}=const$.

Это уравнение называется уравнением Клапейрона.

Рассматривая давление идеального газа, мы всегда обходили стороной тот факт, что в природе и технике часто встречается не определенный газ, а смесь нескольких газов которые при определённых условиях можно считать идеальными. В этом случае каждый газ оказывает некоторое давление, оно называется парциальным и, соответственно, смесь в целом оказывает некоторое давление. Чтобы определить давление смеси газов, нужно найти сумму парциальных давлений газов, входящих в состав этой смеси

$p=p_1+p_2+…+p_n$.

Это утверждение носит название — закон Дальтона. Например, воздух состоит из смеси газов: азота, кислорода, аргона, углекислого газа и некоторых других, влиянием которых можно пренебречь, поскольку на их долю приходится менее 1% от всей массы воздуха. Тогда, согласно закону Дальтона, давление воздуха будет равно

$p=p_{N_2}+p_{O_2}+p_{Ar}+p_{CO_2}$,

где $p_{N_2}, p_{O_2}, p_{Ar}, p_{CO_2}$ — парциальные давления азота, кислорода, аргона и углекислого газа соответственно.

Также в природе известны процессы в результате которых не происходит изменение одной из характеристик газа — давления, объема или температуры для постоянной массы газа. Такие процессы называются изопроцессами (греч. «изос» — «равный, одинаковый»), а уравнения, которые описывают изопроцессы называются газовыми законами. Рассмотрим более подробно изопроцессы.

Изотермический процес — процесс изменения состояния системы макроскопических тел (термодинамической системы) при постоянной температуре. Из уравнения Клапейрона следует, что если $T=const$, то и произведение давление на объем также будет постоянным

$pV=const$.

Это утверждение носит название закон Бойля-Мариотта. Из последнего уравнения видно, что зависимость давления от объема носит характер обратной пропорциональности

$p=\frac{const}{V}$.

Это означает, что графиком такой зависимости в координатах $p(V)$ является гипербола, она называется изотермой а в остальных случаях — получим прямую, которая указывает на неизменность температуры. 

При рассмотрении изотермического процесса следует помнить, что:

  1. Различным температурам соответствуют разные изотермы, чем выше расположена изотерма в координатах $p(V)$, тем больше температура;
  2. В ходе изотермического процесса при увеличении объема давление уменьшается и, напротив, при уменьшении объема происходит увеличение давления;
  3. Условием протекания изотермического процесса является его медленное сжатие или расширение;
  4. Для любых двух состояний газа при изотермическом процессе справедливо равенство, вытекающее из закона Бойля-Мариотта

$p_1V_1=p_2V_2$.

Изобарный процес — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении. Из уравнения Клапейрона следует, что если $p=const$, то и отношение давления к температуре также будет постоянным

$\frac{V}{T}=const$.

Это утверждение носит название закон Гей-Люссака. В данном случае можно получить зависимость давления от температуры, которая имеет линейный вид (прямая пропорциональность), т.е. 

$V=const \:  T$.

Прямую, изображающую зависимость объёма газа от температуры при постоянном давлении, называют изобарой. График изобарного процесса в координатах $V(T)$ стремится к нулю, но это не означает, что при температуре $T=0$ К объем газа будет равен нулю. При определенной температуре газ конденсируется, а к жидкостям законы идеального газа не применимы, поэтому начиная с некоторой температуры график изображается штриховочной линией, стремящейся к нулю.

При рассмотрении изобарного процесса следует помнить, что:

    1. Различным давлениям соответствуют разные изобары, чем ниже расположена изобара в координатах $V(T)$, тем больше давление;
    2. Зависимость объема от температуры при изобарном процессе — прямая пропорциональность, то есть, чем больше температура, тем больше объем, чем меньше температура, там меньше объем;
    3. Изобарный процесс можно наблюдать при его расширении или сжатии в результате нагревания или охлаждения в цилиндре с подвижным поршнем;
    4. Для любых двух состояний газа при изобарном процессе справедливо равенство, вытекающее из закона Гей-Люссака

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$.

Изохорный процесс — процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме. При изохорном процессе, также из уравнения Клапейрона следует, что если $V=const$, то отношение давления газа к температуре будет постоянным (закон Шарля)

$\frac{p}{T}=const$.

Из этого уравнения заключаем, что при изохорном процессе давление прямопропорционально температуре

$p=const \:  T$.

Прямая, которая изображает зависимость давления газа от температуры при постоянном объёме, называют изохорой. В соответствии с последним уравнением все изохоры идеального газа начинаются в точке Т = 0. Значит, давление идеального газа при абсолютном нуле равно нулю.

При рассмотрении изохорного процесса следует помнить, что:

    1. Различным объемам соответствуют разные изохоры, чем ниже расположена изохора в координатах $p(T)$, тем больше объем;
    2. Зависимость давления от температуры при изобарном процессе — прямая пропорциональность, то есть, чем больше температура, тем больше давление, чем меньше температура, там меньше давление;
    3. Изохорный процесс можно наблюдать при изменении температуры в любом сосуде постоянного объема, например в электрической лампочке или сосудах с жесткими стенками (газовых баллонах);
    4. Для любых двух состояний газа при изохорном процессе справедливо равенство, вытекающее из закона Шарля

$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$.