7.1. Внутренняя энергия

[latexpage]Мы переходим к рассмотрению основ термодинамики. Термодинамика — это раздел физики, изучающий тепловые процессы, без учета их молекулярного строения. Главное в термодинамике — как происходят тепловые процессы с точки зрения превращения энергии. Само появление термодинамики произошло благодаря открытию закона сохранения энергии, который был открыт по результатам наблюдений английского ученого Джеймса Джоуля за превращением механической энергии в тепловую. А затем сформулирован немецким ученым Робертом Майером и получил математическое обоснование в трудах немецкого ученого Германа Гельмгольца. Ключевым понятием термодинамики является понятие внутренней энергии. Внутренняя энергия тела (системы) — это сумма кинетической энергии хаотичного теплового движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Непосредственно вычислить внутреннюю энергию тела, учитывая движение отдельных молекул и наблюдая за их взаимным расположением невозможно, ввиду их огромного количества. Поэтому необходимо знать как зависит внутренняя энергия в зависимости от макроскопических параметров, таких как объем и температура, например.

Наиболее просто вычислить внутреннюю энергию идеального газа. Поскольку в модели идеального газа потенциальная энергия взаимодействия частиц будет равна нулю, внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию хаотического движения частиц. Известно, что  и их кинетическая энергия частиц зависит от температуры, значит, и внутренняя энергия идеального газа зависит от температуры. Естественно, что внутренняя энергия идеального газа будет зависеть и от количества молекул.

Кроме того при расчете внутренней энергии идеального газа нужно учитывать возможности движения молекулы (так называемое число степеней свободы — определяет число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве и, соответственно, число независимых движений молекул). Молекула одноатомного газа может участвовать в трех поступательных движениях относительно трех независимых координат, поэтому одноатомная молекула имеет число степеней свободы $i=3$. Молекула двухатомного газа может участвовать в трех поступательных и двух вращательных движениях (см. рисунок), значит для двух атомной молекулы $i=5$. У многоатомных же молекул идеального газа с числом атомов три и более, появляется помимо перечисленных дополнительная возможность вращения вокруг еще одной оси симметрии (см. рисунок), итого для многоатомной молекулы $i=6$.

С учетом всего изложенного приходим к формуле вычисления внутренней энергии идеального газа

$U=N\bar{E}= \nu N_A\cdot\frac{i}{2}\cdot kT$,

учитывая, что $R=kN_A$, получим

$U=\frac{i}{2}\nu RT$,

где $i=3$, если газ одноатомный; $i=5$, если газ двухатомный; $i=6$, если газ трехатомный или многоатомный. При решении задач на внутреннюю энергию полезно помнить, что 

$pV=\nu RT$.

Пример. В вертикальном цилиндрическом сосуде площадью поперечного сечения $S$ на высоте $h$ от основания находится поршень массой $m$. Под поршнем находится одноатомный газ. Атмосферное давление $p_0$. Пренебрегая трением, определить внутреннюю энергию газа по поршнем.

Решение. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа 

$U=\frac{3}{2}\nu RT$.

Поскольку нам неизвестны ни количество вещества, ни температура газа, то, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона, перейдем к другой формуле 

$U=\frac{3}{2}pV$.

Объем, занимаемый газом найти легко

$V=Sh$.

Определим давление. Поскольку поршень находится в равновесии заключаем, что давление газа будет равно непосредственно давлению на него самого поршня, а также оказываемому на поршень давлению атмосферы, т.е.

$p=p_0+\frac{mg}{S}$.

Найдем внутреннюю энергию газа

$U=\frac{3}{2}Sh\left ( p_0+\frac{mg}{S} \right )=\frac{3}{2}h(p_0S+mg)$.

Пример. Один киломоль идеального одноатомного газа находится при температуре $T_1=400$ К под давлением $p_1=10^6$ Па. В результате изохорического процесса внутренняя энергия газа изменилась на $\Delta U=-12,5\cdot 10^5$ Дж. Определить параметры конечного состояния газа ($p_2, V_2, T_2$).

Решение. Отрицательный знак изменения внутренней энергии говорит нам о том, что она уменьшилась, а значит уменьшилась и температура. Найдем сначала температуру в конечном состоянии

$\Delta U=U_2-U_1=\frac{3}{2}\nu RT_2-\frac{3}{2}\nu RT_1=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$,

$\Delta T=\frac{2\Delta U}{3\nu R}$,

$\Delta T=\frac{2 \cdot (-12,5\cdot 10^5)}{3\cdot 10^3 \cdot 8,31}\approx -100$ К,

$T_2=T_1+\Delta T \Rightarrow T_2=300$ К.

Помним, что процесс изохорный, поэтому давление газа в конечном состоянии найдем, используя закон Шарля

$\frac{p}{T}=const\Rightarrow \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$,

$p_2=\frac{T_2p_1}{T_1}$,

$p_2=\frac{300\cdot 10^6}{400}=0,75\cdot 10^6$ Па.

Объем газа найдем используя уравнение Менделеева-Клапейрона

$p_1V=\nu RT_1\Rightarrow V=\frac{\nu RT_1}{p_1}$,

$V=\frac{10^3\cdot 8,31 \cdot 400}{10^6}=3,324$ м3.

Пример. Определить изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа в процессе, изображенном на $pV$ диаграмме, если $p_0=0,2$ МПа, $V_0=1$ л.

Решение. Сама по себе задача отыскания изменения внутренней энергии не такая сложная в данном случае. Решим ее

$\Delta U=U_2-U_1=\frac{3}{2}\left ( \nu RT_2-\nu RT_1 \right )$,

$\nu RT_1 =p_1V_1=p_0V_0$,

$\nu RT_2=p_2V_2=\frac{3}{2}p_0V_0$,

$\Delta U=\frac{3}{2}\left ( \frac{3}{2}p_0V_0-p_0V_0 \right )=\frac{3}{4}p_0V_0$,

$\Delta U=\frac{3}{4}\cdot 0,2\cdot 10^6\cdot 10^{-3}=150$ Дж.

Пример. Над идеальным одноатомным газом совершается процесс, в котором его давление изменяется пропорционально квадрату абсолютной температуры. При увеличении объема от $V_0=2$ л до $V=3V_0$ внутренняя энергия газа уменьшается на $\Delta U=300$ Дж. Определить давление газа, когда он занимал объем $V_0$.

Решение. Установим вначале как изменяется температура в этом процессе. Известно, что давление зависит квадратично от температуры, а это значит, что эту зависимость можно записать в виде $p=\alpha T^2$, где $\alpha$ — некоторая константа. Поскольку нам известно как изменяется объем, то изменение температуры нужно связать именно с изменением объема. Для этого запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и исключим оттуда давление

$pV=\nu RT$,

$\alpha T^2V=\nu RT \Rightarrow \alpha TV=\nu R$,

$ TV=\frac{\nu R}{\alpha} =const$.

Мы получили замечательный результат, при заданных условиях произведение температуры газа на его объем при его переходе в другое состояние изменяться не будет, отсюда следует

$T_1V_1=T_2V_2\Rightarrow \frac{T_1}{T_2}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{3V_0}{V_0}=3$.

Получается, что температура уменьшилась в три раза. В тексте задачи сказано, что внутренняя энергия газа уменьшается на $\Delta U=300$ Дж, т.е. задан модуль изменения внутренней энергии (поскольку, если внутренняя энергия уменьшается, то $\Delta U=-300$ Дж строго говоря). Воспользуемся тем, что мы знаем модуль изменения внутренней энергией, а также связью между начальной и конечной температурой и найдем начальную температуру

$\Delta U=\left | \frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1) \right |=\frac{3}{2}\nu R\left | T_2-T_1 \right |$,

$T_2=\frac{1}{3}T_1$

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\left | \frac{1}{3}T_1-T_1 \right |=\frac{3}{2}\nu R\left | -\frac{2}{3}T_1 \right |=\frac{3}{2}\nu R \cdot \frac{2}{3}T_1 =\nu R T_1$.

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для первоначального состояния газа и найдем давление

$p_1V_0=\nu RT_1 \Rightarrow p_1V_0=\Delta U$,

$p_1=\frac{\Delta U}{V_0}$,

$p_1=\frac{300}{2\cdot 10^{-3}}=150$ кДж.