2.3.1. Закон Всемирного тяготения

[latexpage]В результате наблюдений за движением естественного спутника — Луны вокруг Земли, а также, изучая движение планет вокруг Солнца, Ньютон пришел к выводу, что в природе существуют силы взаимного притяжения, названные гравитационными.

Ньютон не только пришел к открытию этих сил, но и сформулировал закон взаимного притяжения двух тел — закон всемирного тяготения: два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной массе каждого из них и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$.

Коэффициент пропорциональности $G$ в законе называется гравитационной постоянной, ее значение равно $G=6,67 \cdot 10^{-11}$ Н • м²/кг². Физический смысл гравитационной постоянной заключается в том, что она показывает — с какой силой притягиваются друг к другу два тела массами по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга. Значение гравитационной постоянной было определено в 1798 году Генри Кавендишом.

Следует учесть, что приведенная формула дает точный результат в трех случаях:

 1)если размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними;
2) если оба тела однородны и имеют шарообразную форму;
3) если одно из взаимодействующих тел — шар, размеры и масса которого значительно больше, чем у второго тела (любой формы), находящегося на поверхности этого шара или вблизи неё.

Последний случай дает нам право применить формулу закона всемирного тяготения для расчета модуля силы тяжести — частного проявления сил всемирного тяготения. Учитывая, что модуль силы тяжести равен $F=mg$, получим 

$G\frac{mM_3}{R^2_3} = mg$,

а, значит, ускорение свободного падения может быть найдено по формуле

$g = G\frac{M_3}{R^2_3} $.

Эту формулу можно использовать для расчета ускорения свободного падения на любом небесном теле, имеющим форму шара, т.е.

$g = G\frac{M_\Pi }{R^2_\Pi }$.

Следует учесть, что если подняться на высоту $h$, то ускорение свободного падения будет меньше, чем на поверхности и его значение может быть вычислено по формуле

$g = G\frac{M_3}{(R_3+h)^2}$.

Пример. Космический корабль массой 8 т приблизился к орбитальной космической станции массой 20 т на расстояние 100 м. Найти силу их взаимного притяжения.

Решение. Применим формулу для расчета силы взаимного притяжения, указанную в законе всемирного тяготения. Масса космического корабля $m_1=8\cdot 10^3$  кг, масса космической станции $m_2=2\cdot 10^4$ кг, расстояние между ними $r=10^2$ м

$F=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{8\cdot 10^3\cdot 2\cdot 10^4}{\left ( 10^2 \right )^2}=\frac{106,72\cdot 10^{-4}}{10^4}=106,72\cdot 10^{-8}\approx 1$мкН.

Пример. Два вагона массой по 80 т каждый притягиваются с силой, равной 0,17 мН. Чему равно расстояние между этими вагонами?

Решение. Воспользовавшись законом всемирного тяготения, получим формулу для расчета расстояния между телами

$r=\sqrt{\frac{Gm_1m_2}{F}}$.

Масса каждого тела $m_1=m_2=8\cdot 10^4$ кг, сила притяжения $F=1,7\cdot 10^{-4}$ Н

$r=\sqrt{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 8\cdot 10^4\cdot 8\cdot 10^4}{ 1,7\cdot 10^{-4} }}=\sqrt{\frac{426,88\cdot 10^{-3}}{1,7\cdot 10^{-4}}}\approx 52$ м.

Пример. Два тела одинаковой массы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, притягиваются с силой F₁. Какой станет сила притяжения F₂, если, изменить расстояние между ними в 2 раза и половину массы первого тела перенести на второе?

Решение. По условию задачи первоначальная масса тел $m_1=m_2=m$, а расстояние между ними $r_1=r$, тогда сила притяжения $F_1$ равна

$F_1=G\frac{m\cdot m}{r_1^2}=G\frac{m^2}{r^2}$.

После того, как часть массы первого тела перенесли на второе, их массы стали равны $m_1=0,5m$ и $m_2=1,5m$. Расстояние при этом изменяется в 2 раза, то есть оно может быть увеличено $r_2=2r$ или уменьшено $r_3=\frac{r}{2}$. Сравним действующие на тела в этих случаях силы взаимного притяжения с первоначально действующей силой

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{Gm^2}{r^2}:\frac{G\cdot 0,5m\cdot 1,5m}{\left ( 2r \right )^2}=\frac{Gm^2}{r^2}\cdot \frac{4r^2}{0,75m^2}=\frac{16}{3}$,

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{16}{3}\Rightarrow F_2=\frac{3}{16}F_1$.

$\frac{F_1}{F_3}=\frac{Gm^2}{r^2}:\frac{G\cdot 0,5m\cdot 1,5m}{\left (0,5r \right )^2}=\frac{Gm^2}{r^2}\cdot \frac{0,25r^2}{0,75m^2}=\frac{1}{3}$,

$\frac{F_1}{F_3}=\frac{1}{3}\Rightarrow F_3=3F_1$.

Пример. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?

Решение. Введем некоторые обозначения. Пусть тело которое мы помещаем между Луной и Землей имеет массу $m$, масса самой Луны — $M_\Lambda$, масса Земли — $M_3$. Тогда $M_3=81M_\Lambda$. Обозначим расстояние от центра Луны до тела $x$, расстояние между центрами Луны и Земли — $l$, тогда расстояние от центра Земли до тела равно $l-x$. Найдем силы, с которыми тело притягивается к Земле и Луне

$F_1=G\frac{mM_3}{(l-x)^2},\: \: \: \; \; F_2=G\frac{mM_\Lambda }{x^2}$.

По условию задачи эти силы одинаковы, поэтому приравняем праве части и найдем, как относятся между собой расстояния $x$ и $l=60R_3$

$G\frac{mM_3}{(l-x)^2}=G\frac{mM_\Lambda }{x^2}$,

$\frac{M_3}{(l-x)^2}=\frac{M_\Lambda }{x^2}$,

$\frac{81}{(l-x)^2}=\frac{1}{x^2}$,

$\sqrt{\frac{81}{(l-x)^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}}$,

$\frac{9}{l-x}=\frac{1}{x}$,

$9x=l-x \Rightarrow x=\frac{l}{10}=\frac{60R_3}{10}=6R_3$.

Искомая точка должна находиться на расстоянии шести земных радиусов от центра Луны.

Пример. Три одинаковых шара массой m = 10 кг каждый расположены так, как показано на рисунке. Найдите силу, действующую на шар A со стороны двух других. Расстояние a = 10 см.

Решение. Заметим, что расстояния от центров шаров до шара А одинаковы и могут быть найдены по теореме Пифагора

$r_1=r_2=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a $.

Сделаем рисунок, на котором покажем силы притяжения, действующие на шар А, их равнодействующую и координатную ось

Поскольку массы взаимодействующих шаров одинаковы и одинаковы расстояния между их центрами, то они будут притягиваться друг к другу с силами одинаковыми по модулю

$F_1=F_2=G\frac{m\cdot m}{r_1^2}=G\frac{m^2}{5a^2}$.

Каждая сила направлена под углом $\alpha$ к выбранной координатной оси. Найдем равнодействующую сил притяжения

$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2} $,

$F_x=F_{1x}+F_{2x}$,

$F=F_1 cos \alpha +F_2 cos \alpha =2F_1 cos \alpha $,

$cos \alpha =\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,

$F=2G\frac{m^2}{5a^2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{25} \cdot \frac{Gm^2}{a^2}$,

$F=\frac{4\sqrt{5}}{25} \cdot \frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 10^2}{10^{-2}}\approx 2,39\cdot 10^{-7}$.

Пример. Считая планету Марс однородным шаром, определите ускорение свободного падения вблизи его поверхности. Масса Марса m = 6,4 · 10²³ кг, его радиус R = 3,38 · 10⁶ м. 

Решение. Воспользуемся формулой для расчета ускорения свободного падения вблизи поверхности

$g=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{6,4\cdot 10^{23}}{3,38^2\cdot 10^{12}}\approx 3,74$ м/с².

Пример. Радиус Луны в n = 3,7 раза меньше радиуса Земли, а ее масса в k = 81 раз меньше массы Земли. Определите ускорение свободного падения на поверхности Луны.

Решение. Решим задачу, сравнив, во сколько раз отличается ускорение свободного падения на Луне и на Земле

$\frac{g_3}{g}=\frac{GM_3}{R_3^2}:\frac{GM_\Lambda }{R_\Lambda ^2}=\frac{GM_3}{R_3^2}\cdot \frac{R_\Lambda ^2}{GM_\Lambda }=\frac{k}{n^2}$,

$\frac{g_3}{g}=\frac{k}{n^2}\Rightarrow g=\frac{n^2}{k}g_3=\frac{3,7^2}{81}\cdot 9,8\approx 1,67$ м/с².

Пример. Чему равно ускорение свободного падения на расстоянии 9600 км от поверхности Земли?

Решение. Решим эту задачу через сравнение с ускорением свободного падения на поверхности планеты, учитывая, что средний радиус Земли равен 6400 км

$\frac{g_0}{g}=\frac{GM_3}{R_3^2}:\frac{GM_3}{(R_3+h)^2}=\frac{(R_3+h)^2}{R_3^2}=\left ( \frac{R_3+h}{R_3} \right )^2$,

$\frac{g_0}{g}=\left ( \frac{6400+9600}{6400} \right )^2=2,5^2=6,25$,

$g=\frac{g_0}{6,25}=\frac{9,8}{6,25}\approx 1,5$ м/с².

Пример. На какой высоте над поверхностью Земли тело в первую секунду свободного падения проходит 2,45 м?

Решение. Расстояние проходимое телом при свободном падении без начальной скорости можно вычислить по формуле

$s=\frac{gt^2}{2}$.

Учитывая, что ускорение свободного падения на высоте $h$ от поверхности Земли равно 

$g = G\frac{M_3}{(R_3+h)^2}$,

получим, что 

$s=G\frac{M_3}{(R_3+h)^2} \cdot \frac{t^2}{2}$.

Найдем из последней формулы искомую высоту

$2s(R_3+h)^2=GM_3t^2$,

$(R_3+h)^2=\frac{GM_3t^2}{2s}$,

$R_3+h=t\sqrt{\frac{GM_3}{2s}} $,

$h=t\sqrt{\frac{GM_3}{2s}}-R_3 $.

Полученная формула уже позволяет рассчитать высоту. Однако заметим, что из формулы ускорения свободного падения на поверхности Земли вытекает справедливость равенства

$g_0R_3^2=GM_3$,

тогда полученную формулу для расчета высоты можно преобразовать

$h=t\sqrt{\frac{g_0R_3^2}{2s}}-R_3 =tR_3\sqrt{\frac{g_0}{2s}}-R_3=R_3\left ( t\sqrt{\frac{g_0}{2s}}-1\right )$,

$h=R_3\left ( t\sqrt{\frac{g_0}{2s}}-1\right )=6400\cdot \left ( 1\cdot \sqrt{\frac{9,8}{2,45}}-1 \right )=6400$ км.

Пример. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Средняя плотность вещества планеты ρ = 3000 кг/м³. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси.

Решение. Вес тела, находящегося на полюсе планеты $P_1=mg$. Вес тела на экваторе уменьшается за счет суточного вращения планеты вокруг оси и с учетом центростремительного ускорения будет равен $P_2=m(g-a)$. Согласно условию задачи $P_1=2P_2$, а значит

$mg=2m(g-a)\Rightarrow a=\frac{g}{2}$.

Центростремительное ускорение связано с периодом обращения следующим образом

$a=\omega ^2R=\left ( \frac{2\pi }{T} \right )^2R$.

Приравняем последние два равенства и, используя известные нам соотношения для ускорения свободного падения, а также массы и плотности найдем период

$\frac{g}{2}=\left ( \frac{2\pi }{T} \right )^2R$,

$\frac{GM}{2R^2}= \frac{4\pi^2 }{T^2} R$,

$T^2=\frac{8\pi^2R^3}{GM}=\frac{8\pi^2R^3}{G\rho V}=\frac{8\pi^2R^3}{G\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{6\pi }{G\rho }$,

$T=\sqrt{\frac{6\pi }{G\rho }}$,

$T=\sqrt{\frac{6\cdot 3,14 }{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 3\cdot 10^3 }}\approx 9703$ с.

Примечание. При решении задачи было учтено, что объем сферы (шара) можно найти по формуле $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Задачи для самостоятельного решения.

1. Оценить порядок значения силы взаимного притяжения двух кораблей, удаленных друг от друга на 100 м, если масса каждого из них 10 000 т.

2. Какой должна быть масса каждого из двух одинаковых кораблей, чтобы на расстоянии 1 км они притягивались с силой 1 мН?

3. Во сколько раз уменьшится сила притяжения к Земле космического корабля при его удалении от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли? пяти радиусам Земли?

4. На каком расстоянии от Земли тело притягивается к Земле и Солнцу с одинаковой силой? Недостающие справочные сведения найдите в справочных таблицах сети Интернет

5. Три шара массами m, 2m и 3m расположены на окружности радиусом R = 10 м так, как показано на рисунке. Найдите силу, действующую на шар массой m со стороны двух других.
Масса m = 10 кг.

6. Средний радиус планеты Меркурий 2420 км, а ускорение свободного падения на планете 3,72 м/с². Найти массу Меркурия.

7. Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса — 0,11 массы Земли. Зная ускорение свободного падения на Земле, найти ускорение свободного падения на Марсе.

8. Каково ускорение свободного падения на высоте, ранной половине радиуса Земли? на высоте равной трем радиусам Земли?

9. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения будет в 2 раза меньше, чем на ее поверхности?

10. Высота подъема стратостата h = 22 км. Определите, во сколько раз изменится при подъеме на такую высоту ускорение свободного падения. Какой путь пройдет стратостат за первую секунду свободного падения?

11. Средняя плотность Венеры 5200 кг/м³, а радиус планеты 6100 км. Найти ускорение свободного падения на поверхности Венеры.

12. Радиус Солнца примерно в 110 раз больше радиуса Земли, а средняя плотность Солнца относится к средней плотности Земли как 1 : 4. Найдите ускорение свободного падения у поверхности Солнца.

13. Найдите плотность вещества планеты, период вращения которой 24 ч, если на ее экваторе тела невесомы.

14. Найдите среднюю плотность планеты, у которой на экваторе пружинные весы показывают вес тела на 10% меньший, чем на полюсе. Сутки на планете составляют T = 24 ч.