[latexpage]Рассмотрим вопрос о запуске и движении искусственных спутников Земли (сокращенно ИСЗ). Первые размышления о подобного рода возможностях принадлежат Ньютону. Это был мысленный эксперимент, который получил название «гора Ньютона». Представьте, что Вы стоите на вершине горы и горизонтально – параллельно поверхности Земли – бросаете камень. Если при броске вы придадите ему небольшую скорость, то до того, как упасть, он пролетит небольшое расстояние. Если вы бросите камень с большой скоростью, то он пролетит дальше. На практике, конечно, ни один человек не способен бросить камень так, чтобы он пролетел какую-либо значительную часть длины окружности Земли. Это ее важно, поскольку это мысленный эксперимент. Итак, бросаем сильнее. Очевидно, что постепенно конец траектории будет приближаться к ее началу, как показано на рисунке.
И тогда, если бросить камень еще сильнее, придать ему большую скорость, то придется пригнуться – или камень может ударить вас по затылку! Уклонившись от камня, можно увидеть, как камень повторит свое движение, поскольку он вышел на круговую орбиту и теперь вращается вокруг Земли. То есть камень стал ее искусственным спутником. (Сопротивление воздуха можно пренебречь, ведь это мысленный эксперимент!). Если мысленно располагать себя на вершинах воображаемых гор и проходить тот же логический путь, то можно увидеть возможность тел обращаться по орбите Земли на любом расстоянии от поверхности под воздействием ее тяготения. Можно даже представить себе очень высокую гору и очень большой камень. И тогда, когда камень выйдет на орбиту, назвать его Луной.
Вычислим эту скорость, т.е. скорость которую надо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли так, чтобы этот спутник двигался по круговой орбите на высоте $h$ от поверхности Земли. Пусть мы сообщили телу массой $m$ такую скорость $v$, что оно, подобно тому как было описано выше в мысленном эксперименте, стало вращаться вокруг Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, можно сказать, что на движение тела существенное влияние оказывает лишь сила притяжения к Земле, которая с учетом нахождения спутника на высоте $h$, может быть рассчитана по формуле
$F=G\frac{mM_3}{\left ( R_3+h \right )^2}$.
Очевидно, что эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение
$a=\frac{v^2}{R_3+h}$.
Тогда, согласно второму закону Ньютона
$G\frac{mM_3}{\left ( R_3+h \right )^2}=\frac{mv^2}{R_3+h}$.
Откуда искомая скорость равна
$v=\sqrt{\frac{GM_3}{R_3+h}}$.
Эта формула позволяет рассчитать так называемую первую космическую скорость, т.е. скорость, которую необходимо сообщить телу в горизонтальном направлении вблизи Земли, чтобы оно стало ее спутником.
Если же высотой спутника над поверхностью Земли можно пренебречь в сравнении с радиусом Земли, то первая космическая скорость может быть найдена по формуле
$v=\sqrt{\frac{GM_3}{R_3}}$.
Либо, путем нехитрых преобразований, может быть приведена к виду
$v=\sqrt{gR_3}$.
Заметим, что если вычислить значение первой космической скорости вблизи поверхности Земли, то ее значение будет $v\approx 8$ км/с. При увеличении скорости, тело будет двигаться уже не по окружности, а по эллипсу. Причем, чем больше скорость, тем более вытянутее будет орбита и, в конце концов, тело уйдет из сферы притяжения Земли, став искусственным спутником Солнца. Такую скорость уже называют второй космической скоростью, ее значение можно найти по формуле
$v_{II}=\sqrt{2}v_{I}=\sqrt{2gR_3}$.
Заметим также, что приведенные выше рассуждения можно применить к любому небесному телу, имеющему форму сферы, а значит, по этим формулам можно рассчитать для него значение первой и второй космической скорости.