Теоретическая справка
Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенной к телу и обратно пропорционально массе тела
$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$.
При решении задач обычно второй закон Ньютона обычно записывают в виде
$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$.
Из второго закона Ньютона следует, что:
1) Направление ускорения всегда совпадает с направлением равнодействующей сил приложенных к телу.
2) Если на тело действует постоянная сила, то тело будет двигаться равноускоренно.
При решении задач динамики с помощью второго закона Ньютона основная модель — материальная точка, поэтому при решении задач силы можно изображать приложенными к одной точке — центру тяжести.
Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ
1. Тело массой 6 кг движется вдоль оси OX инерциальной системы отсчёта. В таблице приведена зависимость проекции скорости $v_x$ этого тела на ось OX от времени t. Чему равна проекция на ось OX силы, действующей на тело?
| t, с | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $v_x$,м/с | 0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 |
Видно, что скорость тела за одинаковые промежутки времени изменяется одинаково, значит движение — равноускоренное. Согласно второму закону Ньютона проекция на ось OX силы, действующей на тело, будет равна $F_x=ma_x$ Проекцию ускорения можно найти по формуле $a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}$. Так как движение равноускоренное, то для вычисления ускорения можно рассмотреть любой интервал времени. Возьмем интервал времени от 0 до 4 с и найдем проекцию ускорения $a_x=\frac{2-0}{4}=0,5$ м/с2. Теперь найдем проекцию силы $F_x=6 \cdot 0,5 = 3$ Н. Ответ: 3 Н
2. Тело массой 3 кг движется вдоль оси Ox инерциальной системы отсчета. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости υ x этого тела от времени t.
Используя график, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.
1) На участке ОА на тело действовала равнодействующая сила, равная по модулю 90 Н.
2) На участке АБ тело двигалось с ускорением, модуль которого равен 10 м/с2.
3) На участке БВ тело покоилось.
4) На участке ВГ тело двигалось со скоростью, равной по модулю 10 м/c
5) На участках АБ и ВГ на тело действовала одинаковая по модулю и направлению равнодействующая сила.
Утверждение 1 — неверно. Равнодействующую сил найдем по второму закону Ньютона $F_x=ma_x=m\cdot \frac{v_x-v_{0x}}{t}$, $F_x=3\cdot \frac{30-0}{2}=45$ Н. Утверждение 2 — верно. Проекция ускорения на рассматриваемом участке $a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}$, $a_x=\frac{20-30}{1}=-10$ м/с2. Модуль ускорения — $a=10$ м/с2. Утверждение 3 — неверно. На участке БВ тело двигалось с постоянной скоростью 20 м/с. Утверждение 4 — неверно. На участке ВГ скорость тела изменялась. Утверждение 5 — верно. На участках АБ и ВГ скорость уменьшается на 10 м/с за одно и то же время, значит ускорения на данных участках одинаковы. Ответ: 25
3. К невесомой нити (см. рисунок) подвешен груз А. К нему на пружине прикрепляют груз В и затем нить пережигают. Какой из грузов в начале падения имеет относительно Земли большее ускорение? Ответ поясните.
Изобразим силы, действующие на тела. Силы упругости, действующие на тела со стороны пружины равны по модулю, т.е. $F_{y1}=F_{y2}=F_y$. Согласно второму закону Ньютона ускорения тел равны $\overrightarrow{a_1}=\frac{m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_{y1}}{m}$, $\overrightarrow{a_2}=\frac{m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{F}_{y2}}{m}$. Заметим, что силы $\overrightarrow{F}_{y1}$ и $m\overrightarrow{g}$ направлены одинаково, а силы $\overrightarrow{F}_{y2}$ и $m\overrightarrow{g}$ направлены противоположно, значит уравнения ускорений в модулях перепишутся так $a_1=\frac{mg+F_y}{m}=g+\frac{F_y}{m}$, $a_2=\frac{mg-F_y}{m}=g-\frac{F_y}{m}$. Видно, что ускорение верхнего тела будет больше.
4. Брусок массой $m$ движется прямолинейно вдоль гладкой горизонтальной поверхности стола. На рисунке изображена зависимость модуля скорости $v$ этого бруска от времени $t$.
На каком из приведенных ниже рисунков правильно показана зависимость модуля силы $F$, действующей на это тело, от времени?
График зависимости скорости от времени выражает собой график скорости при прямолинейном равноускоренном движении, т.е. $a=const$. Значит на тело действует постоянная по модулю сила, что соответствует графику под номером 4. Ответ: 4
5. На покоящееся тело, находящееся на гладкой горизонтальной плоскости, начинают действовать две горизонтальные силы, лежащие на одной прямой (см. рисунок). Как изменяются со временем модуль скорости тела и модуль ускорения тела?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Модуль скорости
тела |
Модуль ускорения
тела |
Равнодействующая сил равна $F=F_2-F_1=2,5-1=1,5$ Н. Ее значение изменяться не будет, тогда согласно второму закону Ньютона величина ускорения тела также не будет изменяться. Поскольку тело первоначально покоилось, а затем начинает двигаться равноускорено, то модуль его скорости будет увеличиваться. Ответ: 13
6. Тело массой 2 кг движется вдоль оси Ox. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости $v_x$ этого тела от времени t. Используя график, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.
1) На участках ОА и БВ на тело действовала одинаковая по модулю и по направлению равнодействующая сила.
2) На участке АБ тело двигалось со скоростью, равной по модулю 1 м/с
3) На участке ВГ ускорение тела равно по модулю 10 м/с2
4) Модуль равнодействующей силы на участке ВГ равен 40 Н
5) На участке БВ тело двигалось с ускорением, равным по модулю 2 м/с2
Утверждение 1 — верно. Найдем проекции равнодействующей сил на участках ОА и БВ $F_x=ma_x=m\cdot \frac{v_x-v_{0x}}{t}$, $F_{1x}=2\cdot \frac{10-1}{1}=20$ Н, $F_{2x}=2\cdot \frac{20-10}{1}=20$ Н. Утверждение 2 — неверно. По графику видно, что на участке АБ тело двигалось со скоростью 10 м/с. Утверждение 3 — неверно. Найдем проекцию ускорения на ось Ох $a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}$, $a_x=\frac{0-20}{1}=-20$ м/с2. Модуль ускорения равен 20 м/с2. Утверждение 4 — верно. Согласно второму закону Ньютона $F=ma$. На участке ВГ $F=2 \cdot 20 = 40$ Н. Утверждение 5 — неверно. Найдем проекцию ускорения на ось Ох $a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}$, $a_x=\frac{20-10}{1}=10$ м/с2. Ответ: 14
7. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля, движущегося прямолинейно по дороге, от времени. В какой промежуток времени равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, отлична от нуля и направлена противоположно его движению?
1) от 0 до 2 с
2) от 2 с до 4 с
3) от 4 с до 8 с
4) от 0 до 8 с
Если сила направлена противоположно движению, то и ускорение тела направлено противоположно движению, т.е. тело тормозит. Тело тормозит в промежутке времени от 4 до 8 секунд. Ответ: 4
8. Учитель провёл следующий опыт. Взял две одинаковые тележки, к одной из которых прикрепил лёгкую упругую стальную пластинку. Согнул эту пластинку и связал её ниткой, а вторую тележку, на которую поместил груз, приставил к первой так, чтобы она плотно соприкасалась с другим концом пластинки. После пережигания нити пружина выпрямилась, и обе тележки разъехались на разные расстояния (см. рисунок). Выберите из предложенного перечня два утверждения, которые соответствуют результатам проведённых экспериментальных наблюдений. Укажите их номера.
1) Тележки взаимодействуют друг с другом силами, направленными в противоположные стороны.
2) Ускорения, приобретаемые тележками, зависят от массы тележек.
3) Расстояния, на которые разъезжаются тележки, зависят от упругих свойств пластинки.
4) Расстояния, на которые разъезжаются тележки, зависят от трения между колёсами тележек и поверхностью демонстрационного стола.
5) Ускорения, приобретённые тележками при распрямлении пластинки, равны по модулю.
Утверждение 1 — верно, так как тележки разъехались в разные стороны, значит, на них действовали силы, направленные в противоположных направлениях. Утверждение 2 — верно, так как в опытах использовались тележки разных масс и они проехали разное расстояние. Утверждение 3 — неверно, так для установления зависимости пройденного расстояния от упругости пластинки необходимо провести два опыта в которых использовались бы пластинки различной жесткости. Утверждение 4 — неверно, так как тележки имели разные массы и условия их движения зависели не только от силы трения. Утверждение 5 — неверно, так как на тележки действую равные силы, но их масса разная, значит и ускорения, которые приобретают тележки также разные. Ответ: 12
9. В инерциальной системе отсчёта брусок массой m начинает скользить с ускорением вниз по наклонной плоскости (см. рисунок). Модуль равнодействующей сил, действующих на брусок, равен
1) mg
2) ma
3) Fтр
4) N
Поскольку равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение, то модуль равнодействующей $F=ma$. Ответ: 2
10. Для двух разных тел ученик измерял силу, действующую на тело, и его ускорение под действием этой силы. В таблице представлены значения измеренных величин.
| Тело | 1 | 2 |
| Сила (Н) | 0,6 | 0,6 |
| Ускорение (м/с2) | 2 | 4 |
Из результатов экспериментов следует, что массы тел равны:
1) $m_1=0,3$ кг; $m_2=0,15$ кг
2) $m_1=0,15$ кг; $m_2=0,3$ кг
3) $m_1=3$ кг; $m_2=6$ кг
4) $m_1=6$ кг; $m_2=3$ кг
Из второго закона Ньютона можно найти массу тела $m=\frac{F}{a}$, $m_1=\frac{0,6}{2}=0,3$ кг, $m_2=\frac{0,6}{4}=0,15$ кг. Ответ: 1
11. На рис. А показаны направления скорости $\overrightarrow{v}$ и ускорения тела $\overrightarrow{a}$ в инерциальной системе отсчёта в определённый момент времени. Какая из стрелок на рис. Б соответствует направлению равнодействующей всех сил, действующих на тело в этот момент времени?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей, а значит стрелка №4 соответствует направлению равнодействующей всех сил. Ответ: 4
12. Автомобиль массой 500 кг разгоняется с места и достигает скорости 20 м/с за 10 с. Равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, равна
1) 500 Н
2) 1000 Н
3) 2000 Н
4) 4000 Н
Найдем равнодействующую сил используя второй закон Ньютона $F_x=ma_x=m\cdot \frac{v_x-v_{0x}}{t}$, $F_{x}=500\cdot \frac{20-0}{10}=1000$ Н. Ответ: 2
13. На рисунке приведён график зависимости от времени модуля скорости тела массой 2 кг, прямолинейно движущегося относительно Земли.
Чему равна равнодействующая сил, действующих на тело в момент времени, равный 3 с?
Найдем равнодействующую сил используя второй закон Ньютона $F_x=ma_x=m\cdot \frac{v_x-v_{0x}}{t}$, $F_{x}=2\cdot \frac{18-6}{6}=4$ Н. Ответ: 4 Н
14. Игрушечная ракета летит над горизонтальным футбольным полем параллельно его поверхности с ускорением, направленным горизонтально. Движение происходит в воздухе. Куда направлен вектор силы тяги двигателя ракеты?
1) горизонтально
2) вертикально вверх
3) вверх под некоторым углом к горизонту
4) вниз под некоторым углом к горизонту
Направление равнодействующей совпадает с направлением ускорения, значит равнодействующая сил ($\overrightarrow{F}$) направлена горизонтально. При движении тела на него будет действовать три силы: тяжести ($m\overrightarrow{g}$), тяги ($\overrightarrow{F}$) и сопротивления воздуха ($\overrightarrow{F}_c $). Сила тяжести направлена вертикально вниз, а сила сопротивления — против движения. По второму закону Ньютона $\vec{F}+m\vec{g}+\vec{F_c}=0$. Откуда, равнодействующая сил тяжести и сопротивления воздуха равна $m\vec{g}+\vec{F}_c=-\vec{F}$. Последнее равенство показывает, что сила тяги направлена противоположно равнодействующей сил тяжести и сопротивления воздуха. Поскольку равнодействующая указанных сил направлена вниз под некоторым углом к горизонту, то сила тяги будет направлена вверх под некоторым углом к горизонту. Ответ: 3
15. На материальную точку массой m = 2 кг, покоящуюся на гладкой горизонтальной поверхности, в момент t = 0 начинает действовать сила F = 1 Н, направленная вдоль горизонтальной оси OX. Правильно ли на рисунке изображены графики зависимостей проекций скорости υ и ускорения a на ось OX от времени t по отношению к движению данной материальной точки под действием указанной силы?
1) правильно построен только график А
2) правильно построен только график Б
3) оба графика построены правильно
4) оба графика ошибочны
Ускорение с которым движется тело найдем по второму закону Ньютона $a=\frac{F}{m}$, $a=\frac{1}{2}=0,5$ м/с2. На представленном графике ускорение неизменно, но равно по модулю 2 м/с2. Значит график ускорения построен неправильно. График скорости также построен неправильно, поскольку согласно этому графику скорость тела не изменяется, а она будет увеличиваться, т.к. тело начинает двигаться из состояния покоя. Ответ: 4
16. Одна и та же горизонтальная сила F действует вначале на тело 1 массой 0,5 кг, а затем на тело 2 массой 3 кг. Оба тела до начала действия силы покоились на гладком горизонтальном столе. С каким по модулю ускорением будет двигаться тело 2 под действием силы F, если тело 1 движется с ускорением, модуль которого равен 1,8 м/с2?
1) 0
2) 0,3 м/с2
3) 0,6 м/с2
4) 0,9 м/с2
Поскольку сила, с которой действуют на тела в первом и втором случае одинакова, то справедливы равенства $F=m_1a_1$, $F=m_2a_2$. Приравняем правые части и найдем ускорение второго тела $m_1a_1=m_2a_2$, $a_2=\frac{m_1a_1}{m_2}$ $a_2=\frac{0,5 \cdot 1,8}{3}=0,3 $ м/с2. Ответ: 2
17. Брусок массой 100 г, подвешенный на лёгкой нити, двигают вертикально вверх: в первом случае действуя на нить силой F1 = 1,1 Н, а во втором случае действуя на нить силой F2 = 1,5 Н. Модуль ускорения бруска во втором случае
1) в 1,5 раза меньше, чем в первом случае
2) в 1,5 раза больше, чем в первом случае
3) в 5 раз больше, чем в первом случае
4) в 4 раза больше, чем в первом случае
Силы $\overrightarrow{F}_1$ и $\overrightarrow{F}_2$ направлены вверх. Кроме того в каждом случае на тело действует сила тяжести $m\overrightarrow{g}$, которая направлена вертикально вниз. Ускорение в обоих случаях направлено вверх. Тогда, согласно второму закону Ньютона $\overrightarrow{F}_1+m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}_1$, $\overrightarrow{F}_2+m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}_2$. С учетом направлений векторов, эти уравнения в модулях перепишутся следующим образом $F_1-mg=ma_1$, $F_2-mg=ma_2$. Найдем ускорения $a_1=\frac{F_1-mg}{m}$, $a_1=\frac{1,1-0,1 \cdot 10}{0,1}=1$ м/с2, $a_2=\frac{F_2-mg}{m}$, $a_2=\frac{1,5-0,1 \cdot 10}{0,1}=5$ м/с2. Во втором случае ускорение будет в пять раз больше. Ответ: 3
18. Мяч брошен под углом к горизонту
(см. рисунок). Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Какому из векторов сонаправлена равнодействующая сил, действующих на мяч в точке А?
Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, то тело движется только под действием силы тяжести, т.е. оно движется с постоянным ускорением свободного падения, которое направлено вниз. Ответ: 4