Теоретическая справка
Сила упругости – это сила, возникающая при упругой деформации тела.
Деформация – это изменение формы и объема тела в результате неодинакового смещения различных его частей под действием силы. Упругая деформация – это деформации, при которых после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму (растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг). Пластические деформации – это деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил.
Абсолютное удлинение (сжатие) – изменение размеров тела под действием силы $x=\Delta l=\left|l-l_0 \right|$, где $x$ или $\Delta l$ — абсолютное удлинение (сжатие), $l_0$ – начальная длина тела (до действия силы), $l$ – длина деформированного тела (во время действия силы).
Закон Гука: сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную деформации:
в проекциях: $F$упр.x$=-kx=-k \Delta l$;
в модулях: $F$упр.$=kx=k \Delta l$.
Величина $k$ называется коэффициентом жесткости. Коэффициент жесткости определяется свойствами самой пружины (материалом, начальной длиной и т.д.).
Более подробно ознакомиться с вопросами, касающимися силы упругости, можно перейдя по ссылке: сила упругости — конспект и примеры решения задач.
Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ
1. Учащийся выполнял эксперимент по измерению удлинения x двух пружин при подвешивании к ним грузов. Полученные учащимся результаты представлены на рисунке в виде диаграммы. Какой вывод о жёсткости пружин k1 и k2 можно сделать из анализа диаграммы, если масса груза m1, подвешенного к первой пружине, в 2 раза больше массы m2 груза, подвешенного ко второй пружине (m1 = 2m2)?
1) $k_1=k_2$
2) $k_1=4k_2$
3) $k_2=2k_1$
4) $k_2=4k_1$
На груз, подвешенный к пружине, действуют две силы: тяжести и упругости. В равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, эти силы будут равны $mg=kx \Rightarrow k=\frac{mg}{x}$. Сравним жесткости $\frac{k_1}{k_2}=\frac{m_1g}{x_1}:\frac{m_2g}{x_2}=\frac{m_1g}{x_1} \cdot \frac{x_2}{m_2g}=\frac{2m_2}{2x} \cdot \frac{x}{m_2}=1$. Т.е. жесткости пружин одинаковы. Ответ: 1
2. К пружине динамометра подвесили груз массой 400 г. При этом пружина растянулась на 5 мм. Найдите жёсткость пружины динамометра.
На груз, подвешенный к пружине, действуют две силы: тяжести и упругости. В равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, эти силы будут равны $mg=kx \Rightarrow k=\frac{mg}{x}$, $k=\frac{0,4 \cdot 10}{0,005}=800$ Н/м. Ответ: 800 Н/м.
3. Учащийся выполнял эксперимент по измерению удлинения х пружин при подвешивании к ним грузов. Полученные учащимся результаты представлены на рисунке в виде диаграммы. Какой вывод о жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$ можно сделать из анализа диаграммы, если к концам пружин были подвешены грузы одинаковой массы?
1) $k_1=k_2$
2) $k_1=2k_2$
3) $k_2=2k_1$
4) $k_2=4k_1$
На груз, подвешенный к пружине, действуют две силы: тяжести и упругости. В равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, эти силы будут равны $mg=kx \Rightarrow k=\frac{mg}{x}$. Сравним жесткости $\frac{k_1}{k_2}=\frac{mg}{x_1}:\frac{mg}{x_2}=\frac{mg}{x_1} \cdot \frac{x_2}{mg}=\frac{m}{2x} \cdot \frac{x}{m}=\frac{1}{2}$. Т.е. жесткость второй пружины в два раза больше. Ответ: 3
4. Ученик исследовал зависимость удлинения упругой пружины от приложенной к ней силы, используя для этого стограммовые гирьки, и получил следующие данные.
| m, г | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 |
| Δl, см | 2 | 4 | 6 | 7 | 9 | 11 |
Проанализировав полученные значения, он высказал предположения:
А. Закон Гука для данной пружины справедлив для первых трёх измерений.
Б. Закон Гука для данной пружины справедлив для последних трёх измерений. Какая(-ие) из высказанных учеником гипотез верна(-ы)?
1) только А
2) только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б
Закон Гука гласит, что сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению тела. Учитывая, что в равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, сила тяжести будет равна силе упругости, получим $mg=F_{y}$. Из последней формулы следует и закона Гука следует, что при увеличении массы тела в $n$ раз сила упругости, а значит и деформация, увеличится также в $n$ раз. Видно, что это условие выполняется для первых трех измерений и не выполняется для последних трех. Т.е. закон Гука для данной пружины справедлив для первых трёх измерений. Ответ: 1
5. Ученик провёл эксперимент по изучению силы упругости, возникающей при подвешивании грузов разной массы к резиновым шнурам разной длины и толщины. Результаты экспериментальных прямых измерений массы груза m, диаметра поперечного сечения шнура d, его первоначальной длины l0 и удлинения (l–l0), а также косвенные измерения коэффициента жёсткости k представлены в таблице.
| № опыта | m, кг | d, мм | l0, см | (l–l0), см | k, Н/м |
| 1 | 0,5 | 3 | 50 | 5,0 | 100 |
| 2 | 0,5 | 5 | 100 | 3,6 | 140 |
| 3 | 0,5 | 3 | 100 | 10,0 | 50 |
| 4 | 1,0 | 3 | 50 | 10,0 | 100 |
Выберите из предложенного перечня два утверждения, которые соответствуют результатам проведённых экспериментальных измерений. Укажите их номера.
1) При увеличении длины шнура его жёсткость увеличивается.
2) При увеличении толщины шнура его жёсткость увеличивается.
3) Удлинение шнура не зависит от его первоначальной длины.
4) Жёсткость шнура не зависит от массы подвешиваемого груза.
5) Удлинение шнура зависит от упругих свойств материала, из которого изготовлен исследуемый образец.
Утверждение 1 — неверно. Строки 1 и 3: массы подвешиваемых грузов и диаметры (толщина) шнуров одинаковы, но длина шнура в третьем опыте больше. При этом жесткость шнура в третьем опыте меньше. Значит, при увеличении длины шнура его жёсткость уменьшается. Утверждение 2 — верно. Строки 2 и 3: массы подвешиваемых грузов и длины шнуров одинаковы, но толщина шнура в третьем опыте меньше. При этом жесткость шнура в третьем опыте также меньше. Значит, при увеличении толщины шнура его жёсткость увеличивается. Утверждение 3 — неверно. Строки 1 и 3: массы подвешиваемых грузов и диаметры (толщина) шнуров одинаковы, но начальная длина шнура в третьем опыте больше. При этом удлинение шнура в третьем опыте также больше меньше. Значит, удлинение шнура зависит от первоначальной длины. Утверждение 4 — верно. Строки 1 и 4: массы подвешиваемых грузов различны, а начальные длины и диаметры (толщина) шнуров одинаковы, но это не влияет на жесткость шнура, т.к. она в обоих случаях одинакова. Утверждение 5 — неверно. Во всех опытах использовались шнуры изготовленные из одного и того же материала — резины. Ответ: 24
6. Две упругие пружины под действием приложенных к ним сил удлинились на одну и ту же величину. К первой пружине, жёсткостью $k_1$, была приложена сила 100 Н, а ко второй, жёсткостью $k_2$ — 50 Н. Как соотносятся жёсткости пружин?
1) $k_1=k_2$
2) $k_1=2k_2$
3) $k_1=\frac{1}{2}k_2$
4) $k_1=\frac{1}{4}k_2$
Из закона Гука выразим жесткость и сравним жесткости пружин, учитывая, что деформации пружин одинаковы $F_y=k\Delta l\Rightarrow k=\frac{F_y}{\Delta l}$ $\frac{k_1}{k_2}=\frac{F_{y1}}{\Delta l}:\frac{F_{y2}}{\Delta l}=\frac{F_{y1}}{\Delta l} \cdot \frac{\Delta l}{F_{y2}}=\frac{100}{50}=2$. Т.е. жесткость первой пружины в 2 раза больше. Ответ: 2
7. Коробку массой 10 кг равномерно и прямолинейно тянут по горизонтальной поверхности с помощью горизонтальной пружины жёсткостью 200 Н/м. Удлинение пружины 0,2 м. Чему равен коэффициент трения?
Поскольку коробка движется равномерно, то равнодействующая сил, действующих на тело равна нулю. В горизонтальном направлении на тело действует две направленные в разные стороны силы: трения и упругости. Их равнодействующая равна нулю при условии равенства модулей этих сил $F_y=F_\tau \Rightarrow k \Delta l=\mu N$. Отсюда найдем коэффициент трения $\mu =\frac{k \Delta l}{N}$. В вертикальном направлении на тело действуют две силы, которые также будут равны по модулю: тяжести и реакции опоры $N=mg$. Тогда, коэффициент трения может быть найден по формуле $\mu =\frac{k \Delta l}{mg}$ $\mu =\frac{200 \cdot 0,2}{10 \cdot 10}=0,4$ Ответ: 0,4
8. Для двух разных пружин ученик измерял силу упругости, возникающую в пружине при подвешивании к ней груза, и её удлинение. В таблице представлены значения измеренных величин
| Пружины | 1 | 2 |
| Сила упругости (Н) | 5 | 3 |
| Удлинение (м) | 0,05 | 0,06 |
Из результатов экспериментов следует, что жёсткость пружин может быть равна:
1) $k_1=100$ Н/м; $k_2=50$ Н/м
2) $k_1=50$ Н/м; $k_2=100$ Н/м
3) $k_1=10$ Н/м; $k_2=20$ Н/м
4) $k_1=20$ Н/м; $k_2=10$ Н/м
Из закона Гука выразим жесткость и найдем жесткости пружин $F_y=k\Delta l\Rightarrow k=\frac{F_y}{\Delta l}$, $k=\frac{5}{0,05}=100$ Н/м, $k=\frac{3}{0,06}=50$ Н/м. Ответ: 1
9. С помощью троса, жёсткость которого 100 кН/м, происходит буксировка легкового автомобиля массой 1,5 т по горизонтальной прямой дороге. Автомобиль движется с ускорением 2 м/с2. Чему равен коэффициент трения колес автомобиля о поверхность дороги, если известно, что удлинение троса при движении автомобиля 9 см?
В вертикальном направлении на тело действуют две силы, которые компенсируют друг друга: сила тяжести и реакции опоры $N=mg$. В горизонтальном направление на тело действуют две противоположно направленные силы: трения и сила упругости со стороны троса. Поскольку брусок движется с ускорением, то согласно второму закону Ньютона, должно выполняться условие $F_y-F_{\tau p}=ma$. Найдем модуль силы трения и упругости $F_{\tau p}=\mu N=\mu mg$, $F_y=kx$. Подставим в уравнение и найдем коэффициент трения $kx — \mu mg =ma$, $kx — ma =\mu mg$, $\mu = \frac{kx — ma}{mg}$, $\mu = \frac{100000 \cdot 0,09 — 1500 \cdot 2}{1500 \cdot 10}=0,4$. Ответ: 0,4
10. Ученик провёл эксперимент по изучению жёсткости, растягивая различные проволочки. Результаты измерений первоначальной длины l0, площади поперечного сечения S и вычисленной жёсткости k он представил в таблице.
| № опыта | Материал | l0 , см | S, мм2 | k, Н/см |
| 1 | Сталь | 40 | 0,5 | 2750 |
| 2 | Медь | 50 | 0,3 | 775 |
| 3 | Сталь | 20 | 0,5 | 5500 |
На основании приведённых результатов измерений можно утверждать, что жёсткость проволоки зависит от
1) первоначальной длины
2) материала проволоки
3) удлинения проволоки
4) площади поперечного сечения проволоки
В опытах 1 и 3 материал проволочек и площадь их сечений одинаковы, но первоначальная длина разная, при этом жесткости проволочек также различны. Следовательно, жесткость проволоки зависит от первоначальной длины. Ответ: 1
11. На диаграмме представлены результаты экспериментальных измерений удлинения пружин при подвешивании к ним грузов. Масса груза на первой пружине в 2 раза меньше массы груза на второй пружине ($m_1=0,5m_2$).
Для жёсткости пружин справедливо соотношение
1) $k_1=k_2$
2) $k_1=0,5k_2$
3) $k_1=2k_2$
4) $k_1=4k_2$
На груз, подвешенный к пружине, действуют две силы: тяжести и упругости. В равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, эти силы будут равны $mg=kx \Rightarrow k=\frac{mg}{x}$. Сравним жесткости $\frac{k_1}{k_2}=\frac{m_1g}{x_1}:\frac{m_2g}{x_2}=\frac{m_1g}{x_1} \cdot \frac{x_2}{m_2g}=\frac{0,5m_2}{1} \cdot \frac{4}{m_2}=2$. Т.е. жесткость первой пружины больше в два раза. Ответ: 3
12. Однородный стержень (см. рисунок) подвешен на двух одинаковых вертикальных пружинах жёсткостью 800 Н/м каждая.
Какова масса стержня, если удлинение каждой пружины равно 2 см?
Стержень неподвижен, значит, согласно второму закону Ньютона $m\vec{g}+\vec{F}_{y1}+\vec{F}_{y2}=0$, $m\vec{g}= — (\vec{F}_{y1}+\vec{F}_{y2})$ Сила тяжести, действующая на стержень, компенсируется силами упругости, которые действуют на стержень со стороны пружин $mg=F_{y1}+F_{y2}$. Жесткости пружин одинаковы, растяжения тоже, значит $F_{y1}=F_{y2}=k \Delta l$. Вернемся к последнему равенству и подставим в него этот результат $mg=2 k \Delta l$. Находим жесткость $m=\frac{2 k \Delta l}{g}$, $m=\frac{2 \cdot 800 \cdot 0,02}{10}=3,2$ кг. Ответ: 3,2 кг.
13. Жесткость пружины бытового безмена, изображенного на рисунке, равна
1) 200 Н/м
2) 1000 Н/м
3) 2000 Н/м
4) 4000 Н/м
Начальная длина пружины безмена $l_0=1$ см. Длина деформированной пружины $l=3$ см. Деформация пружины $x=3-1=2$ см $=0,02$ м. В равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, сила тяжести действующая на груз равна силе упругости, возникающей в пружине. Из этого условия найдем жесткость $mg=kx \Rightarrow k=\frac{2 \cdot 10}{0,02}=1000$ Н/м. Ответ: 2
14. Система, состоящая из пружины, груза и блока, находится в равновесии (см. рис. А). После подвешивания к грузу m другого груза массой 3 кг пружина удлинилась и система пришла в новое состояние равновесия (см. рис. Б). Пренебрегая трением в блоке, определите, чему равен коэффициент жёсткости пружины?
1) 1 кН/м
2) 1,5 кН/м
3) 3 кН/м
4) 2 кН/м
Начальная длина пружины безмена $l_0=2$ см. Длина деформированной пружины $l=3$ см. Деформация пружины $x=3-2=1$ см $=0,01$ м. В равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, увеличение силы тяжести действующей на грузы равно увеличению силы упругости, возникающей в пружине. Из этого условия найдем жесткость $mg=kx \Rightarrow k=\frac{3 \cdot 10}{0,01}=3000$ Н/м. Ответ: 3
15. К пружинам, жесткость которых $k_1$ и $k_2=2k_1$, подвешены тела одинаковой массы. Удлинение первой пружины
1) равно удлинению второй пружины
2) в 2 раза больше удлинения второй пружины
3) в 2 раза меньше удлинения второй пружины
4) в 4 раза меньше удлинения второй пружины
На груз, подвешенный к пружине, действуют две силы: тяжести и упругости. В равновесном состоянии, когда пружина не растягивается и груз неподвижен, эти силы будут равны $mg=kx \Rightarrow x=\frac{mg}{k}$. Сравним удлинения пружин $\frac{x_1}{x_2}=\frac{mg}{k_1}:\frac{mg}{k_2}=\frac{mg}{k_1} \cdot \frac{k_2}{mg}=\frac{k_2}{k_1} = \frac{2k_1}{k_1}=2$. Т.е. удлинение первой пружины больше в два раза. Ответ: 2
16. С помощью горизонтальной пружины, жесткость которой равна 50 Н/м, по полу равномерно тянут коробку с книгами. Длина пружины при этом увеличивается с 15 до 25 см. Чему равна сила трения коробки о пол?
Удлинение пружины $x=0,25-0,15=0,1$ м. В горизонтальном направление на тело действуют две противоположно направленные силы: трения и сила упругости со стороны пружины. Поскольку коробка движется с равномерно, то согласно второму закону Ньютона, должно выполняться условие $F_y-F_{\tau p}=0$. Найдем модуль упругости $F_y=kx. Подставим в уравнение и модуль силы трения $kx — F_{\tau p} =0$, $F_{\tau p}=kx$, $F_{\tau p}=50 \cdot 0,1=5$ Н. Ответ: 5 Н.
17. При буксировке автомобиля, движущегося с ускорением 1 м/с2, буксирный трос удлиняется на 2 см. Чему равна масса буксируемого автомобиля, если жесткость троса 80 кН/м? Силой трения колес автомобиля о дорогу пренебречь.
В горизонтальном направление на тело действуют сила упругости со стороны троса. Поскольку брусок движется с ускорением, то согласно второму закону Ньютона, должно выполняться условие $F_y=ma$. Согласно закону Гука $F_y=kx$. Подставим в уравнение и найдем массу тела $kx =ma$, $m=\frac{kx}{a}$, $m=\frac{80000 \cdot 0,02}{1}=1600$ кг. Ответ: 1600 кг.