Теоретическая справка
Любые два тела во Вселенной притягиваются друг к другу. Это явление носит название всемирное тяготение, а силы с которыми притягиваются тела называются гравитационными. Силы притяжения направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие тела. Исаак Ньютон установил закон, который выражает зависимость модуля силы взаимного притяжения. Это закон был был назван закон всемирного тяготения.
Закон всемирного тяготения: два тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален массам тел и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними
$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$,
где $G$ – гравитационная постоянная. Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя телами массой по 1 кг, расположенными на расстоянии 1 м. Ее значение
Формула дает точный результат для:
- материальных точек;
- однородных шаров;
- материальной точки и шара;
- концентрических тел.
Искусственный спутник Земли – это тело, которое обращается вокруг Земли и является результатом работы человека. Обычно спутники движутся по эллиптическим орбитам, но при изучении движения спутников считают, что они движутся по круговым орбитам (траектория движения — окружность). Линейная скорость при таком движении называется первой космической скоростью. Первая космическая скорость – это горизонтально направленная минимальная скорость, с которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. стать искусственным спутником Земли.
На рисунке R – радиус Земли, H – высота спутника над поверхностью Земли:
$v_1=\sqrt{G\frac{M_3}{R+H}}$.
Если спутник запускают с поверхности Земли, то $H=0$, тогда
$v_1=\sqrt{G\frac{M_3}{R}}, v_1 \approx 7,9$ км/с.
Важно! Все написанные формулы справедливы для любого небесного тела, имеющего форму шара.
Важно! При решении задач следует помнить, что в законе всемирного тяготения расстояние берется от центра тела, а не от его поверхности.
Сила тяжести
Сила тяжести – это сила, с которой Земля притягивает к себе тела вблизи своей поверхности. Модуль силы тяжести находится по формуле
$F=mg$.
Точка приложения силы тяжести – центр тяжести тела. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли, но на рисунках изображается направленной вертикально вниз. Сила тяжести является частным случаем силы всемирного тяготения, поэтому
$G\frac{mM_3}{R_3^2}=mg\Rightarrow g=G\frac{M_3}{R_3^2}$,
где $M_3$ – масса Земли, $m$ – масса тела, $R_3$ – радиус Земли. Из последней формулы следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела, зависит от массы Земли и от расстояния от центра Земли до тела, находящегося на поверхности Земли. Если же тело поместить на высоте $H$ от поверхности Земли, то ускорение свободного падения на этой высоте может быть рассчитано по формуле
$g=G\frac{M_3}{(R_3+H)^2}$.
Важно! У поверхности Земли ускорение свободного падения не везде одинаково. Оно зависит от географической широты: на полюсах больше, чем на экваторе. Дело в том, что земной шар немного сплюснут у полюсов. Экваториальный радиус Земли больше полярного на 21 километр, поэтому на полюсах ускорение свободного падения больше, чем на экваторе.
Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ
1. В каком случае потребуется меньше топлива: при запуске искусственного спутника с Земли или с Луны? Ответ поясните.
Ответ: меньше топлива потребуется при запуске спутника с Луны. Пояснение. Энергия сгорающего топлива в двигателях ракеты, выводящей спутник на орбиту, преобразуется, в том числе в кинетическую энергию ракеты. Для того, чтобы тело стало спутником планеты (или вообще любого другого тела сферической формы, например, Луны), ему необходимо сообщить определенную скорость, которая называется первой космической скоростью. Другими словами, чтобы тело стало искусственным спутником Земли или Луны, ему необходимо сообщить определенную кинетическую энергию. Понятно, что чем большую кинетическую энергию необходимо сообщить телу, тем больше топлива потребуется сжечь. Выясним отчего зависит это значение кинетической энергии. Будем считать, что спутник нужно вывести на круговую орбиту, высота которой достаточно мала по сравнению с радиусом небесного тела. При движении по орбите на спутник будет действовать сила притяжения $F=mg$. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение $a=\frac{v^2}{R}$. Согласно второму закону Ньютона $F=ma\Rightarrow ma=\frac{mv^2}{R}$, $mg=\frac{mv^2}{R}\Rightarrow v^2=gR$. Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости $E_k \sim v^2 \sim gR$. Чем больше ускорение свободного падения и радиус, тем большую кинетическую энергию необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником, соответственно тем больше топлива потребуется потратить при запуске. Ускорение свободного падения на Земле и ее радиус больше соответствующих характеристик Луны, значит при запуске искусственного спутника с Земли потребуется больше топлива.
2. Сила тяготения между двумя однородными шарами уменьшится в 4 раза, если расстояние между центрами шаров
1) увеличить в 2 раза
2) уменьшить в 2 раза
3) увеличить в 4 раза
4) уменьшить в 4 раза
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Это означает, что если расстояние между телами увеличить в два раза, то сила притяжения между ними уменьшится в 4 раза. Ответ: 1
3. Какое(-ие) из утверждений верно(-ы)?
Сила тяготения, действующая между Землёй и Луной, зависит от
А. массы Земли.
Б. массы Луны.
1) только А
2) только Б
3) ни А, ни Б
4) и А, и Б
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения прямо пропорциональна массам взаимодействующих тел, поэтому сила тяготения, действующая между Землёй и Луной, зависит и от массы Земли, и от массы Луны. Ответ: 4
4. Ускорение свободного падения вблизи поверхности Меркурия равно 3,7 м/с2. Это означает, что
1) все свободно падающие тела вблизи поверхности Меркурия движутся со скоростью 3,7 м/с
2) все свободно падающие из состояния покоя тела вблизи поверхности Меркурия за 1 с пролетают 3,7 м
3) все свободно падающие из состояния покоя тела вблизи поверхности Меркурия за 1 с изменяют свою скорость на 3,7 м/с
4) все свободно падающие из состояния покоя тела вблизи поверхности Меркурия изменяют свою скорость на 1 м/с за 3,7 с
Ускорение показывает на сколько изменяется скорость движущегося тела за 1 секунду, т.е. ускорение свободного падения 3,7 м/с2 означает, что все свободно падающие из состояния покоя тела вблизи поверхности Меркурия за 1 с изменяют свою скорость на 3,7 м/с. Ответ: 3
5. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым эти величины определяются: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ |
ФОРМУЛЫ |
| А) коэффициент трения скольжения
Б) жёсткость пружины В) гравитационная постоянная |
1) $\frac{v^2}{R}$
2) $\frac{F}{a}$ 3) $\frac{F\cdot R^2}{m_1\cdot m_2}$ 4) $\frac{F}{N}$ 5) $\frac{F}{x}$ |
А) коэффициент трения скольжения из закона Амонтона-Кулона $\mu = \frac{F}{N}$. Б) жёсткость пружины из закона Гука $k= \frac{F}{x}$. В) гравитационная постоянная из закона всемирного тяготения $G=\frac{F\cdot R^2}{m_1\cdot m_2}$. Ответ: 453
6. Между двумя небесными телами одинаковой массы, находящимися на расстоянии $r$ друг от друга, действует гравитационная сила $F_1$. Какой будет сила $F_2$ взаимодействия между этими телами, если расстояние между ними станет равным $2r$?
1) $F_2=\frac{1}{4}F_1$
2) $F_2=\frac{1}{2}F_1$
3) $F_2=F_1$
4) $F_2=2F_1$
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Это означает, что если расстояние между телами увеличить в два раза, то сила притяжения между ними уменьшится в 4 раза. Ответ: 1
7. Сила тяжести, действующая на космонавта на поверхности Луны
1) больше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли
2) меньше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли
3) равна силе тяжести, действующей на него на поверхности Земли
4) больше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли на экваторе, и меньше силы тяжести, действующей на него на поверхности Земли на полюсе
Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. А значит, модуль силы тяжести, действующей на тело на Луне, будет в 6 раз меньше, чем модуль силы тяжести, действующей на то же тело на Земле. Ответ: 2
8. При уменьшении в 3 раза расстояния между центрами однородных шаров сила их гравитационного притяжения
1) не изменится
2) уменьшится в 3 раза
3) уменьшится в 9 раз
4) увеличится в 9 раз
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. Это означает, что если расстояние между телами уменьшить в три раза, то сила притяжения между ними увеличится в 9 раз. Ответ: 4
9. Космический корабль, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, перешёл на другую круговую орбиту, меньшего радиуса. Как при этом изменились кинетическая энергия корабля и сила тяготения, действующая на корабль?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Кинетическая энергия корабля | Сила тяготения, действующая на корабль |
Скорость движения спутника по круговой орбите определяется выражением $v_1=\sqrt{G\frac{M_3}{R+H}}$. Поэтому, если радиус орбиты спутника уменьшается (за счет уменьшения его высоты над поверхностью Земли), то его скорость увеличивается. Кинетическая энергия зависит от скорости движения тела. При увеличении скорости движения тела увеличивается и его кинетическая энергия. Сила тяготения, действующая на корабль зависит от расстояния между спутником и центром тяжести Земли (центром Земли), поскольку это расстояние уменьшается, то сила притяжения должна увеличиться. Ответ: 11
10. Сила тяготения между двумя однородными шарами увеличится в 4 раза, если массу каждого из шаров
1) увеличить в 2 раза
2) уменьшить в 2 раза
3) увеличить в 4 раза
4) уменьшить в 4 раза
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения прямо пропорциональна массам тел, поэтому для того чтобы сила притяжения увеличилась в 4 раза необходимо, чтобы масса каждого тела увеличилась в два раза. Ответ: 1
11. Какое(-ие) из утверждений верно(-ы)?
Сила всемирного тяготения, действующая между Землёй и её искусственным спутником,
А. зависит от массы спутника.
Б. увеличивается по модулю при увеличении расстояния между Землёй и спутником.
1) только А
2) только Б
3) ни А, ни Б
4) и А, и Б
Сила притяжения зависит от масс взаимодействующих тел, т.е. в том числе и от массы спутника. Но сила тяготения убывает при уеличении расстояния. Ответ: 1
12. На рисунке приведен график зависимости модуля скорости тела массой 2 кг, совершающего на некоторой планете свободное падение с небольшой высоты H.
Сила тяжести, действующая на тело вблизи поверхности этой планеты, будет примерно равна
1) 18 Н
2) 19 Н
3) 36 Н
4) 190 Н
Поскольку тело падает свободно, $v_0=0$. При свободном падении тела без начальной скорости его мгновенная скорость находится по формуле $v=gt\Rightarrow g=\frac{v}{t}$. В момент времени 10 с скорость тела равна 90 м/с, значит $g=\frac{90}{10}=9$ м/с2. Модуль силы тяжести, действующий на тело массой 2 кг равен $F=mg, F=2 \cdot 9=18$ Н. Ответ: 1
13. Модуль ускорения свободного падения на планете А в 4 раза больше, чем на планете Б. Обе планеты сферические, однородные и состоят из минералов одинаковой плотности. Радиус планеты А
1) в 4 раза меньше радиуса планеты Б
2) в 2 раза больше радиуса планеты Б
3) в 2 раза меньше радиуса планеты Б
4) в 4 раза больше радиуса планеты Б
Ускорение свободного падения рассчитывается по формуле $g=G\frac{M}{R^2}$, где $M$ и $R$ — масса и радиус планеты соответственно. Массу планеты выразим через ее плотность и радиус, учитывая, что объем сферы находится по формуле $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ $M=\rho V=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим полученное выражение в формулу для расчета ускорения свободного падения $g=G\frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2}= \frac{4}{3}\pi G \rho R$. Последняя формула показывает, что раз ускорение свободного падения на планете А больше в 4 раза, чем на планете Б, то и радиус ее в 4 раза больше. Ответ: 4
14. На рисунке изображены четыре пары сферически симметричных тел, расположенных друг относительно друга на разных расстояниях между центрами этих тел.
Сила взаимодействия двух тел одинаковых масс $M$, находящихся на расстоянии $R$ друг от друга, равна $F_0$. Для какой пары тел сила гравитационного взаимодействия равна $\frac{F_0}{4}$?
1) для пары А
2) для пары Б
3) для пары В
4) для пары Г
Сила взаимодействия двух тел одинаковых масс $M$, находящихся на расстоянии $R$ друг от друга рассчитывается по формуле $F_0=G\frac{M \cdot M}{R^2}=G\frac{M^2}{R^2}$. Рассчитаем таким же образом и другие силы: А. $F=G\frac{M \cdot \frac{M}{4}}{R^2}=\frac{1}{4}G\frac{M^2}{R^2}=\frac{F_0}{4}$ Б. $F=G\frac{M \cdot \frac{M}{2}}{\left(\frac{R}{2} \right)^2}=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot G\frac{M^2}{R^2}=2G\frac{M^2}{R^2}=2F_0$ Г. $F=G\frac{M \cdot \frac{M}{4}}{\left(\frac{R}{4} \right)^2}=\frac{1}{4} \cdot 16 \cdot G\frac{M^2}{R^2}=4G\frac{M^2}{R^2}=4F_0$ Д. $F=G\frac{M \cdot 2M}{\left(2R \right)^2}=\frac{2}{4} \cdot G\frac{M^2}{R^2}=\frac{1}{2}G\frac{M^2}{R^2}=\frac{F_0}{2}$ Ответ: 1
15. Будут ли отличаться (и если будут, то как) показания пружинных весов при взвешивании одного и того же тела в разных точках Земли — на экваторе и на полюсе? Ответ поясните.
Ответ: показание весов на экваторе будут меньше. Пояснение. Сила упругости, возникающая в пружине весов равна весу тела. На полюсе показания весов будут больше по двум причинам: 1) Земля приплюснута с полюсов, поэтому ускорение свободного падения на полюсе будет больше, чем на экваторе, значит и сила притяжения на полюсе будет больше, что приведет к увеличению веса тела; 2) Вращательное движение Земли приводит к появлению центростремительного ускорения для тел, находящихся на экваторе, что в свою очередь приведет к уменьшению веса тел на экваторе.