Теоретическая справка
Механическая работа (или работа силы) – это скалярная физическая величина, равная произведению модуля вектора силы, действующей на тело, модуля вектора перемещения и косинуса угла между этими векторами
$A=Fs cos \alpha$.
Обозначение – $A$, единицы измерения – Дж (Джоуль), 1 Дж – это работа, которую совершает сила в 1 Н на пути в 1 м.
Если $0^ {\circ} \leq \alpha <90^ {\circ}$, то работа положительна, в частности, при $ \alpha = 0^ {\circ}$
$A=F \cdot s$.
Если $ \alpha = 90^ {\circ}$, то работа будет равна нулю, т.к. $ cos 90^ {\circ} = 0$.
Если $90^ {\circ} < \alpha \leq 180^ {\circ}$, то работа будет отрицательна, в частности, при $ \alpha = 180^ {\circ}$
$A=-F \cdot s$.
Механическая работа также равна нулю, когда тело движется по инерции или, когда под действием силы тело не перемещается.
Работа некоторых сил
Работа силы тяжести: $A=mg(h_1-h_2)$. Заметим также, что сила тяжести относится к так называемым консервативным силам, т.е. ее работа зависит от начального и конечного положения тела и не зависит от траектории. Работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю.
Работа силы трения скольжения: $ A = — F_{\tau \rho} s$.
Работу можно определить, как площадь под графиком зависимости силы от перемещения. Например, сила упругости зависит от величины растяжения пружины. По графику зависимости модуля силы упругости от деформации можно определить работу силы упругости. Отметим также, что сила упругости относится к консервативным силам.
Теорема об изменении потенциальной энергии: работа консервативной силы, действующей на тело, равно изменению потенциальной энергии тела взятое с противоположным знаком
$A=-\Delta E_\pi $.
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении равно работе, совершённой силой, действующей на точку при этом перемещении
$A=\Delta E_k $.
Примечание: если на точку действуют несколько сил, то изменение её кинетической энергии равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на неё.
Мощность – это скалярная физическая величина, равная отношению работы, ко времени, за которое эта работа была совершена
$N=\frac{A}{t}$.
Физический смысл: мощность характеризует быстроту совершения работы.
Обозначение – $N$, единицы измерения – Вт (Ватт), 1 Вт – это мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж.
Внесистемная единица мощности: 1 л. с. (лошадиная сила) = 735 Вт.
Если тело движется равномерно, то мощность может выражена так
$N=Fv$.
Важно! Если интервал времени стремится к нулю, то выражение представляет собой мгновенную мощность, определяемую через мгновенную скорость.
Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ
1. Автомобиль массой 1 т трогается с места и движется с ускорением 1,2 м/с2. На первых метрах пути сила тяги совершила работу 14000 Дж. Чему равен этот путь, если сила сопротивления равна 200 H?
Дано: масса автомобиля $m=1000$ кг; начальная скорость $v_0=0$; ускорение автомобиля $a=1,2$ м/с2; работа силы тяги $A=14000$ Дж; модуль силы сопротивления $F_c=200$ Н. Найти: путь, пройденный автомобилем $s$. Решение. Работа силы тяги, учитывая, что сила тяги по направлению совпадает с направлением перемещения, будет равна $A=Fs\Rightarrow s=\frac{A}{F}$ Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось и найдем из него модуль силы тяги $F-F_c=ma$, $F=ma+F_c$, $F=1000 \cdot 1,2 +200=1400$ Н. Находим пройденный путь $s=\frac{14000}{1400}=10$ м. Ответ: 10 м.
2. Автомобиль может спуститься с горы на равнину по одной из двух дорог: по короткой достаточно прямой дороге и по длинной извилистой. Сравните работу силы тяжести в этих случаях. Ответ поясните.
Ответ: работа силы тяжести будет одинаковой. Пояснение. Сила тяжести относится к консервативным силам. Работа консервативных сил не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным состоянием тела. В нашем случае тело и по прямой дороге и по извилистой опускается на одну и ту же высоту, значит работа силы тяжести в обоих случаях будет одинаковой.
3. Из колодца глубиной 6 м медленно выкачали с помощью насоса 0,5 м3 воды. Если уровень воды в колодце не менялся, то совершённая при этом работа равна
При откачивании воды из колодца приходится совершать работу против силы тяжести, действующей на воду. Поэтому совершенную работу можно найти как модуль работы силы тяжести. Так как уровень воды в колодце не менялся, то это означает что мы поднимаем воду с одной и той же высоты, тогда $A=mgh=\rho Vgh$, $A=mgh=1000 \cdot 0,5 \cdot 10 \cdot 6=30000$ Дж. Ответ: 30000 Дж.
4. Полезная мощность двигателей самолёта равна 2300 кВт. Каков КПД двигателей, если при средней скорости 250 км/ч они потребляют 288 кг керосина на 100 км пути?
Дано: масса керосина $m=288$ кг; средняя скорость самолета $v=250$ км/ч; полезная мощность двигателей $N=2,3 \cdot 10^6$ Вт; удельная теплота сгорания керосина $q=46 \cdot 10^6$ Дж/кг; пройденный путь $s=100$ км. Найти: КПД двигателей самолёта $\eta$. Решение. КПД теплового двигателя — отношение работы полезной к величине количества теплоты, полученного двигателем от нагревателя. Полезная работа выражается через мощность двигателя $A_\pi =N \cdot t$. Количество теплоты, полученное от нагревателя — энергия, выделяющаяся при сгорании топлива. Таким образом КПД, выражается формулой $\eta =\frac{N \cdot t}{qm}$. Время движения найдем из скорости и пройденного пути $t=\frac{s}{v}\Rightarrow t=\frac{100}{250}=0,4$ ч $=1440$ с. $\eta =\frac{2300000 \cdot 1440}{46000000 \cdot 288}=0,25$ или $\eta =25$%. Ответ: 25%.
5. На какое расстояние из состояния покоя переместился вагон массой 10 т, если при этом равнодействующей силой была совершена работа 2000 кДж? Вагон двигался с ускорением 1 м/с2.
Дано: масса вагона $m=10000$ кг; начальная скорость $v_0=0$; ускорение вагона $a=1$ м/с2; работа равнодействующей сил $A=2000000$ Дж. Найти: путь, пройденный вагоном $s$. Решение. Работа равнодействующей будет равна изменению кинетической энергии вагона, согласно теореме об изменении кинетической энергии $A=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}$ Квадрат скорости тела при равноускоренном движении найдем из формулы перемещения $s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{v^2}{2a}\Rightarrow v^2=2as$. Таким образом, работа силы тяги будет равна $A=\frac{m \cdot 2as}{2}=mas$. Отсюда находим путь, пройденный вагоном $s=\frac{A}{ma}$, $s=\frac{2000000}{10000 \cdot 1}=200$ м. Ответ: 200 м.
6. Автомобиль массой 1,2 т движется по горизонтальной поверхности равномерно и прямолинейно. На какое расстояние переместился автомобиль, если силой тяги была совершена работа 960 кДж? Коэффициент трения равен 0,1.
Дано: масса автомобиля $m=1200$ кг; коэффициент трения $\mu =0,1$; работа силы тяги $A=960000$ Дж. Найти: путь, пройденный автомобилем $s$. Решение. Так как тело равномерно движется, то сила тяги будет равна по модулю силе трения $F=F_{\tau \rho }=\mu N$. В вертикальном направлении действуют две компенсирующие друг друга силы: тяжести и реакции опоры $N=mg$. Работа силы тяги — произведение модуля силы тяги на путь $A=F \cdot s$. Подставляем в это уравнение все полученные ранее результаты $A= \mu N \cdot s$, $A= \mu mg \cdot s $, $s =\frac{A}{\mu mg}$, $s =\frac{960000}{0,1 \cdot 1200 \cdot 10 }=800$ м. Ответ: 800 м.
7. Бетонную плиту объёмом 0,25 м3 равномерно подняли на высоту 6 м с помощью троса. Плотность бетона 2000 кг/м3. Чему равна работа силы упругости троса?
Дано: объем плиты $V=0,5$ м3; высота на которую подняли плиту $h=6$ м; плотность бетона $\rho =2300$ кг/м3. Найти: работа силы упругости троса $A$. Решение. Плиту поднимают равномерно, значит, сила упругости, которая возникает в плите равна по модулю силе тяжести $F=mg$. Работа этой силы будет равна $A=Fs=mgh$. Массу плиты найдем через плотность $m= \rho V$. Подставляем в формулу работы и находим ее $A= \rho V gh$ $A = 2000 \cdot 0,25 \cdot 10 \cdot 6 =30000$ Дж $=30$ кДж. Ответ: 30 кДж.
8. Маленький свинцовый шарик объёмом 0,01 см3 равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделится при перемещении шарика на 6 м?
Дано: объем свинцового шарика $V=10^{-8}$ м3; плотность свинца $\rho =11300$ кг/м3; перемещение шарика $s=6$ м; плотность воды $\rho_1 =1000$ кг/м3. Найти: количество теплоты, которое выделяется при движении шарика $Q-?$ Решение. Шарик движется равномерно — это означает, что равнодействующая сил приложенных к телу равна нулю. На тело действует три силы: тяжести, Архимеда и сопротивления. Сила тяжести направлена вертикально вниз, сопротивления и Архимеда — вверх. Значит при движении шарика выполняются условия $m\vec{g}+\vec{F}_A+\vec{F}_c=0$, $mg=F_A+F_c$. Количество теплоты, которое выделяется при движении шарика равно модулю работы силы сопротивления $Q=\left|A_c \right|=F_cs$. Найдем силу сопротивления $F_c=mg-F_A$, $F_c=mg-F_A=\rho Vg-\rho _1gV = gV(\rho -\rho _1)$. Находим количество теплоты, выделившееся при движении шарика $Q=F_cs=gVs(\rho -\rho _1)$ $Q=10 \cdot 10^{-8} \cdot 6 \cdot (11300-1000)=6,18 \cdot 10^{-3}$ Дж $=6,18$ мДж. Ответ: количество теплоты, выделившееся при движении шарика равно 6,18 мДж.
9. Под действием горизонтальной силы, модуль которой равен F, брусок массой m равномерно и прямолинейно переместили по поверхности стола на расстояние S. Модуль работы, совершённой при этом силой трения, равен
1) FS
2) F/S
3) mgS
4) 0
В горизонтальном направлении на тело действует две силы: тяги ($F$) и трения. Брусок движется равномерно — это означает, что равнодействующая сил приложенных к телу равна нулю, следовательно сила трения по модулю равна силе тяги. Поскольку $ A = — F_{\tau \rho} S$, то $\left| A\right| = \left|- F_{\tau \rho} S \right|=F_{\tau \rho} S=F S$. Ответ: 1
10. Автомобиль массой 2,3 т равномерно движется по горизонтальной дороге. Определите путь, пройденный автомобилем, если при средней силе сопротивления движению, равной 0,03 веса автомобиля, двигатель израсходовал 15 л бензина. КПД двигателя равен 20%.
Дано: масса автомобиля $m=2300 кг$; сила сопротивления $F_c=0,03P$; объем израсходованного бензина $V=15 \cdot 10^{-3}$ м3; плотность бензина $\rho =710$ кг/м3; удельная теплота сгорания бензина $q=46 \cdot 10^6$ Дж/кг; КПД двигателя $\eta =0,2$. Найти: пройденный путь $s$. Решение. КПД теплового двигателя — отношение полезной работы ($A$) к количеству теплоты, полученному от нагревателя ($Q$) $\eta =\frac{A}{Q}$. Количество теплоты, полученное от нагревателя — энергия, которая выделяется при сгорании топлива $Q=qm=q\rho V$. Полезная работа — работа силы тяги, развиваемой двигателем. По условию задачи, автомобиль движется равномерно, значит сила тяги по модулю равна силе сопротивления, действующей на автомобиль при движении $F=F_c=0,03P$. Вес тела при движении по горизонтальной поверхности равен силе тяжести $P=mg$, значит $F=0,03 mg$. Работа силы тяги (полезная работа) $A=Fs=0,03 mgs$. Подставим все полученные результаты в формулу КПД и выразим оттуда пройденный путь $\eta =\frac{0,03 mgs}{q\rho V}$, $s =\frac{\eta q\rho V}{0,03 gm}$, $s =\frac{0,2 \cdot 46 \cdot 10^6 \cdot 710 \cdot 15 \cdot 10^{-3}}{0,03 \cdot 10 \cdot 2300} =142000$ м $=142$ км. Ответ: 142 км.
11. При неизменной мощности двигателя автомобиля сила сопротивления его движению увеличилась в 2 раза. Что произошло со скоростью автомобиля при прямолинейном равномерном движении автомобиля?
1) не изменилась
2) увеличилась в 2 раза
3) уменьшилась в 2 раза
4) увеличилась в 4 раза
Если тело движется равномерно, то мощность может выражена так $N=Fv$. Поскольку мощность не меняется, то при увеличении силы сопротивления скорость автомобиля должна уменьшится в 2 раза. Ответ: 3
12. Какую полезную мощность развивает подъёмный кран, равномерно поднимая груз массой 2,5 т на высоту 15 м за 2,5 мин?
Полезная работа — это работа, которую мы совершаем против силы тяжести, т.е. $A=mgh$, $A= 2500 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 6=375000$ Дж Находим полезную мощность $N=\frac{A}{t}, N=\frac{375000}{150}=2500$ Вт. Ответ: 2500 Вт.
13. Шарик скользит с горки по трём разным гладким жёлобам (выпуклому, прямому и вогнутому). В начале пути скорость шарика каждый раз одна и та же. В каком случае скорость шарика в конце пути наибольшая? Трением пренебречь.
1) в первом
2) во втором
3) в третьем
4) во всех случаях скорость шарика в конце пути одна и та же.
Работа силы тяжести как известно не зависит от формы траектории, поэтому во всех трех случаях будет одинаковой. При движении тела на него действует также сила реакции опоры, но она работы не совершает, поскольку угол между вектором скорости и вектором силы реакции всегда равен $ 90^ {\circ}$. Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа силы тяжести в данном случае может быть выражена также как $A=\Delta E_k=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}$. Из последнего условия, а также из равенства работ во всех перемещениях заключаем, что скорость тела будет одинаковой во всех трех случаях. Ответ: 4
14. Искусственный спутник Земли, масса которого равна m, равномерно движется по круговой орбите радиусом R. Работа, совершаемая силой тяжести за время, равное периоду обращения, равна
1) mgR
2) πmgR
3) 2πmgR
4) 0
Поскольку высота спутника относительно поверхности Земли не меняется, то работа силы тяжести будет равна нулю. Ответ: 4
15. Установите соответствие между физическими величинами и единицами этих величин в Международной системе единиц (СИ). К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
| ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ | ЕДИНИЦЫ |
| А) импульс тела
Б) мощность В) работа |
1) вольт (1 В)
2) ньютон-секунда (1 Н·с) 3) ватт (1 Вт) 4) ньютон (1 Н) 5) джоуль (1 Дж) |
А) Импульс тела — ньютон-секунда (1 Н·с). Б) Мощность — ватт (1 Вт). В) Работа — джоуль (1 Дж). Ответ: 235
16. Установите соответствие между формулами для расчёта физических величин и названиями этих величин. В формулах использованы обозначения: m – масса тела; a – ускорение тела; A – работа силы; t – время действия силы.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
| ФОРМУЛЫ | ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ |
|
А) ma Б) A/t |
1) давление тела 2) модуль равнодействующей силы 3) механическая энергия 4) мощность |
А) ma — модуль равнодействующей силы. Б) A/t — мощность. Ответ: 24
17. Эскалатор поднимает людей с первого этажа магазина на второй. В первом случае человек спокойно стоит на эскалаторе, а во втором — идёт по ступеням эскалатора вверх с постоянной скоростью. Будет ли (и если будет, то как) отличаться работа, совершаемая двигателем эскалатора при подъёме человека с этажа на этаж в этих двух случаях? Ответ поясните.
Ответ: работа совершенная двигателем эскалатора во втором случае меньше. Пояснение. Если человек поднимается по лестнице эскалатора с постоянной скоростью, то его среднее давление на лестницу останется неизменным (равным силе тяжести человека). Следовательно, и сила, с которой мотор должен тянуть лестницу, останется неизменной. Однако поднимающийся по лестнице эскалатора человек раньше достигнет верха эскалатора, а значит, и путь, пройденный эскалатором за все время подъема человека до верха, будет меньше, чем в том случае, когда человек на лестнице неподвижен. Поэтому работа, совершенная мотором эскалатора при подъеме движущегося человека, будет меньше работы, совершенной при подъеме неподвижного (остальную часть работы совершит человек). Затрачиваемая же мотором мощность останется неизменной, так как меньшая работа будет совершена за соответственно меньшее время.