Теоретическая справка
Полная механическая энергия – это энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий. Обозначение – $E$, единицы измерения – Дж.
Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени
$\Delta E=0\Rightarrow E_1=E_2$,
$mgh_1+\frac{mv_1^2}{2}=mgh_2+\frac{mv_2^2}{2}$.
Если между телами системы действуют кроме сил тяготения и упругости другие силы, например, сила трения или сопротивления, действие которых приводит к превращению механической энергии в тепловую, то в такой системе тел закон сохранения механической энергии не выполняется.
Закон изменения механической энергии: если на систему тел действуют неконсервативные и (или) внешние силы, то изменение полной энергии равно сумме работ неконсервативных и (или) внешних сил:
$A_1+A_2=\Delta E=E_2-E_1$,
где $A_1$ и $A_2$ — работа неконсервативных и внешних сил соответственно.
Закон сохранения и превращения энергии: энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой или передается от одного тела к другому.
Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ
1. Тело массой m, брошенное с Земли вертикально вверх с начальной скоростью υ0, поднялось на высоту h0. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Полная механическая энергия тела на некоторой промежуточной высоте h равна
1) $mgh$
2) $mgh_0$
3) $mgh + \frac{mv^2}{2}$
4) $mgh_0 + \frac{mv_0^2}{2}$
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно полная механическая энергия при движении тела не изменяется, т.е. $E=E_1=E_2$, где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия тела в момент броска и в верхней точке траектории соответственно. Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует моменту броска тела, тогда в момент броска полная механическая энергия равна кинетической энергии тела $E_1=\frac{mv_0^2}{2}$. Полная механическая энергия в верхней точке траектории равна $E_2=mgh_0$, т.к. кинетическая энергия тела в этом положении равна нулю (тело останавливается в верхней точке траектории). Значит, в любой момент времени полную механическую энергию тела можно найти как $E_1$ или $E_2$. Ответ: 2
2. В инерциальной системе отсчета брусок, которому сообщили начальную скорость , начинает скользить вверх по наклонной плоскости (см. рисунок). Как изменяются по мере подъёма ускорение бруска и его полная механическая энергия?
Установите соответствие между физическими величинами и их возможными изменениями в процессе скольжения бруска.
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Ускорение бруска | Полная механическая энергия бруска |
Брусок движется под действием постоянных сил, т.е. равнодействующая сил меняться не будет, поэтому и ускорение меняться не будет. Так как на брусок в процессе движения действует сила трения, то часть его механической энергии пойдет на совершение работы против силы трения, а значит, полная механическая энергия уменьшается. Ответ: 32
3. Мяч массой 100 г бросили вертикально вверх с поверхности земли. Поднявшись на высоту 2 м, мяч начал падать вниз. На какой высоте относительно земли его поймали, если известно, что в этот момент его кинетическая энергия была равна 0,5 Дж? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно полная механическая энергия при движении тела не изменяется, т.е. $E_1=E_2$, где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия тела в верхней точке траектории и в точке траектории, в которой был пойман мяч, соответственно. Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует моменту броска тела, тогда в верхней точке траектории равна $E_1=mgh$, т.к. кинетическая энергия тела в этом положении равна нулю (тело останавливается в верхней точке траектории). В момент времени, когда тело было поймано не некоторой высоте $h_1$ его полная механическая энергия будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий $E_2=E_k+mgh_1$. Приравняем правые части полученных выражений и найдем искомую высоту $E_k+mgh_1=mgh$, $h_1=h-\frac{E_k}{mg}$, $h_1=2-\frac{0,5}{0,1 \cdot 10}=1,5$м. Ответ: 1,5 м.
4. Ребёнок скатывается с ледяной горы на санках. Если пренебречь трением санок о лёд и сопротивлением воздуха, то во время спуска санок
1) их кинетическая энергия увеличивается, полная механическая энергия не изменяется
2) их потенциальная энергия увеличивается, полная механическая энергия не изменяется
3) их кинетическая энергия увеличивается, полная механическая энергия увеличивается
4) их потенциальная энергия увеличивается, полная механическая энергия увеличивается
Так как трением санок о лед можно пренебречь, то полная механическая энергия тела изменяться не будет. Скорость тела при движении увеличивается, а высота относительно поверхности земли уменьшается. Значит, кинетическая энергия тела будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться. Ответ: 1
5. С какой высоты относительно поверхности земли нужно бросить шарик вертикально вниз со скоростью 20 м/с, чтобы после удара о землю он поднялся на высоту в три раза большую, если в процессе удара теряется 50% механической энергии шара? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: начальная скорость с которой бросили мяч — $ v_0=20$ м/с; высота на которую поднимется мяч по сравнению с первоначальным — $h_2=3h_1$; часть энергии, которая теряется при ударе — $\eta =0,5$. Найти: первоначальную высоту на которой находился шарик — $h_1-?$ Решение. Рассмотрим процесс движения шарика и охарактеризуем каждый этап: 1) шарик бросили вниз с начальной скоростью, он падает свободно, до момента удара о поверхность: поскольку влиянием сопротивления воздуха можно пренебречь, то полная механическая энергия шарика при его движении не изменяется. Это означает, что полная механическая энергия шара в момент броска ($E_1$) равна полной механической энергии шарика перед ударом, т.е. при движении шарика, его потенциальная энергия переходит в кинетическую. 2) удар шарика о поверхность: часть запаса полной механической энергии шарика теряется, оставшаяся часть — кинетическая энергия шарика при его обратном движении (подъеме вверх). 3) при подъёме шарика в отсутствии сопротивления воздуха, его полная механическая энергия не меняется: оставшаяся кинетическая энергия переходит в потенциальную ($E_2$). Таким образом, учитывая все превращения энергии, описанные выше, можем записать $E_1=mgh_1+\frac{mv^2_0}{2}$, $E_2=mgh_2$, $E_2=\eta E_1$, $mgh_2 = \eta\left( mgh_1+\frac{mv^2_0}{2}\right)$. Сокращаем общий множитель — $m$ и в полученное уравнение подставляем связь между высотами, на которых находится шарик вначале и в конце движения $3gh_1 = \eta\left( gh_1+\frac{v^2_0}{2}\right)$. Решаем полученное уравнение относительно неизвестной величины (раскрываем скобки, все что с неизвестной в одну сторону, все что известно в другую, общие множители выносим за скобки) $\frac{\eta v^2_0}{2}=3 gh_1-\eta g h_1$, $\frac{\eta v^2_0}{2}=h_1g(3 -\eta)$, $h_1=\frac{\eta v^2_0}{2g(3 -\eta)}$, $h_1=\frac{\eta v^2_0}{2g(3 -\eta)}=\frac{0,5 \cdot 20^2}{2 \cdot 10 \cdot 2,5}=4$ м. Ответ: шарик необходимо бросить с высоты 4 м.
6. Шарик движется вниз по наклонному желобу без трения. Какое из следующих утверждений об энергии шарика верно при таком движении?
1) Кинетическая энергия шарика увеличивается, его полная механическая энергия не изменяется.
2) Потенциальная энергия шарика увеличивается, его полная механическая энергия не изменяется.
3) И кинетическая энергия, и полная механическая энергия шарика увеличиваются.
4) И потенциальная энергия, и полная механическая энергия шарика уменьшаются.
Так как трением при движении шарика можно пренебречь, то полная механическая энергия шарика изменяться не будет. Скорость шарика при движении увеличивается, а высота относительно поверхности земли уменьшается. Значит, кинетическая энергия шарика будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться. Ответ: 1
7. Камень, подброшенный вверх в точке 1, совершает падение в тормозящей его движение атмосфере. Траектория движения камня изображена на рисунке.
Полная механическая энергия камня имеет
1) минимальное значение в положении 1
2) минимальное значение в положении 2
3) минимальное значение в положении 4
4) одинаковые значения в положениях 1 и 3
Так как на камень в процессе движения действует сила сопротивления, то его полная механическая энергия в процессе движения будет уменьшаться и примет минимальное значение в положении 4. Ответ: 3
8. Товарный вагон, движущийся по горизонтальному пути с небольшой скоростью, сталкивается с другим вагоном и останавливается. При этом пружина буфера сжимается. Какое из перечисленных ниже преобразований энергии происходит в этом процессе?
1) кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины
2) кинетическая энергия вагона преобразуется в его потенциальную энергию
3) потенциальная энергия пружины преобразуется в её кинетическую энергию
4) внутренняя энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию вагона
Сначала вагон двигался, значит он обладал кинетической энергией. При столкновении пружина сжалась, т.е. кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины. Ответ: 1
9. Ударная часть молота массой 10 т свободно падает с высоты 2,5 м на стальную деталь массой 200 кг. На сколько градусов нагрелась деталь, если молот сделал 32 удара? На нагревание расходуется 25% энергии молота.
Дано: масса молота — $m_1=10^4$ кг; высота, с которой падает молот — $h=2,5$ м; масса стальной детали — $m_2=200$ кг; удельная теплоемкость стали (табличное значение, взятое из справочных сведений) — $c=500$ Дж/кг⋅ºС; часть энергии, расходуемой на нагревание молота — $\eta =0,25$. Найти: изменение температуры детали — $\Delta t$. Решение. При работе молота происходит цепочка превращений энергии: потенциальная энергия молота → кинетическая энергия молота → внутренняя энергия молота и детали. На нагревание детали уходит $\eta =0,25$ энергии, выделяющейся при ударе, значит это количество теплоты можно найти как часть от той потенциальной энергии, которой обладал молот в момент начала движения При одном ударе $cm_2\Delta t_1=\eta m_1gh$. Учитывая количество ударов $cm_2\Delta t=N\eta m_1gh$. Отсюда находим изменение температуры детали $\Delta t=\frac{\eta N m_1gh}{cm_2}$ $\Delta t=\frac{0,25 \cdot 32 \cdot 10000 \cdot 10 \cdot 2,5}{500 \cdot 200}=20$ ºС. Ответ: деталь нагреется на 20 ºС.
10. Тело брошено вертикально вверх. На рисунке показан график зависимости кинетической энергии тела от его высоты над точкой бросания. Чему равна полная энергия тела на высоте 4 м относительно точки бросания? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1) 1,5 Дж
2) 3 Дж
3) 6 Дж
4) 9 Дж
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно полная механическая энергия при движении тела не изменяется. В начальный момент времени ($h=0$) потенциальная энергия отсутствует, т.е. полная механическая энергия тела будет равна кинетической энергии. Судя по графику в этот момент времени кинетическая энергия равна 9 Дж. Значит, в любой момент времени, независимо от местоположения тела при его движении, полная механическая энергия будет равна 9 Дж. Ответ: 4
11. Камень массой 1 кг, брошенный вертикально вверх, достиг максимальной высоты 20 м. Чему равна кинетическая энергия камня в момент броска? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1) 100 Дж
2) 200 Дж
3) 400 Дж
4) 800 Дж
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно полная механическая энергия при движении тела не изменяется, т.е. $E=E_1=E_2$, где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия тела в момент броска и в верхней точке траектории соответственно. Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует моменту броска тела, тогда в момент броска полная механическая энергия равна кинетической энергии тела $E_1=E_k$. Полная механическая энергия в верхней точке траектории равна потенциальной энергии тела $E_2=mgh$, т.к. кинетическая энергия тела в этом положении равна нулю (тело останавливается в верхней точке траектории). Из равенства $E=E_1=E_2$ следует, что $E_k=mgh$, т.е. $E_k=1 \cdot 10 \cdot 20 = 200$ Дж Ответ: 2
12. Высота плотины гидроэлектростанции (ГЭС) составляет 20 м, КПД ГЭС равен 90%. Сколько часов может светить лампа мощностью 40 Вт при прохождении через плотину 8 т воды?
Дано: мощность лампочки $P=40$ Вт; высота плотины $h=20$ м; масса воды, прошедшей через плотину — $m=8000$ кг; КПД ГЭС — $\eta =0,9$. Найти: время работы лампочки $t$. Решение. КПД — отношение полезной работы к затраченной. Полезная работа — работа электрического тока в лампе. Найдем ее через мощность лампы. Затраченная работа — работа силы тяжести при падении воды с плотины электростанции вниз. Запишем формулу КПД $\eta = \frac{P \cdot t }{mgh} $. Выразим отсюда время работы лампы $t = \frac{ \eta mgh }{P}$, $t = \frac{0,9 \cdot 8000 \cdot 10 \cdot 20}{40}=36000$ c $=10$ ч. Ответ: 10 ч.
13. Два сплошных шара одинакового объёма: стальной (1) и свинцовый (2) – падают с одинаковой высоты из состояния покоя. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Сравните кинетические энергии Е1 и E2 и скорости шаров υ1 и υ2 непосредственно перед ударом о землю.
1) E1=E2; υ1=υ2
2) E1=E2; υ1<υ2
3) E1<E2; υ1=υ2
4) E1<E2; υ1<υ2
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, значит тела падают свободно с ускорением свободного падения. Это означает, что при падении тел с одинаковой высоты они приобретут одинаковые скорости к моменту падения на землю. Примечание. Этот же результат можно было получить воспользовавшись законом сохранения энергии. Так как плотность свинца больше, чем плотность стали, то свинцовый шарик будет иметь большую массу, чем равный ему по объему стальной шарик. Скорости тел равны, а масса свинцового шарика больше, значит свинцовый шарик обладает большей кинетической энергией по сравнению с кинетической энергией стального шара. Ответ: 3
14. Тележка, движущаяся по горизонтальной дороге со скоростью 36 км/ч, въезжает на горку и на вершине имеет скорость 4 м/с. Какова высота горки? Трением пренебречь.
Дано: начальная скорость — $v_0=10$ м/с; скорость тела на вершине горки — $v=4$ м/с; Найти: высоту горки — $h-?$ Решение. Поскольку трением можно пренебречь, то при движении тележки будет выполняться закон сохранения механической энергии: при движении тележки, ее полная механическая энергия изменяться не будет. Полная механическая энергия в начале горки равна его кинетической энергии, потенциальная энергия равна нулю $E_1=\frac{mv_0^2}{2}$. Полная механическая энергия на вершине горки равна сумме его кинетической энергии и потенциальной энергии $E_1=\frac{mv^2}{2}+mgh$. Так как энергия сохраняется, то $E_1=E_2$. Составим уравнение $\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mgh$. Сокращаем общий множитель — массу тела $m$ $\frac{v_0^2}{2}=\frac{v^2}{2}+gh$. Все что известно переносим в одну сторону, приводим к общему знаменателю и находим высоту $\frac{v_0^2}{2}-\frac{v^2}{2}=gh$, $\frac{v_0^2-v^2}{2}=gh$, $h=\frac{v_0^2-v^2}{2g}$, $h=\frac{10^2-4^2}{2 \cdot 10}=4,2$ м. Ответ: высота горки 4,2 м.
15. Стальной молот падает с некоторой высоты, забивает сваю и нагревается при ударе на 0,1 °С. При этом на нагревание молота идёт 50% энергии. С какой высоты падает молот? Удар считать абсолютно неупругим.
Дано: удельная теплоемкость стали (табличное значение, взятое из справочных сведений) — $c=500$ Дж/кг⋅ºС; часть энергии, расходуемой на нагревание молота — $\eta =0,5$; изменение температуры детали — $\Delta t=0,1$ ºС. Найти: с какой высоты падает молот — $h-?$. Решение. При работе молота происходит цепочка превращений энергии: потенциальная энергия молота → кинетическая энергия молота → внутренняя энергия молота и детали. На нагревание детали уходит $\eta =0,5$ энергии, выделяющейся при ударе, значит это количество теплоты можно найти как часть от той потенциальной энергии, которой обладал молот в момент начала движения $cm\Delta t=\eta mgh$. Сокращаем общий множитель — массу молота $m$ и находим высоту с которой падает молот $c\Delta t=\eta gh$, $h=\frac{c\Delta t}{\eta g}$, $h=\frac{500 \cdot 0,1}{0,5 \cdot 10}=10$ м. Ответ: молот падает с высоты 10 м.
16. Два стальных шарика одинаковой массы упали с одной и той же высоты. Первый шарик упал в рыхлую землю, а второй, ударившись о камень, отскочил и был пойман рукой на некоторой высоте. У какого из шариков внутренняя энергия изменилась на бóльшую величину? Теплообменом с окружающими телами пренебречь. Ответ поясните.
Ответ: внутренняя энергия увеличивается больше у шара упавшего в рыхлую землю. Пояснение. Первоначально полная механическая энергия равна потенциальной энергии шаров. Первый шар падает и останавливается, значит вся его механическая энергия переходит во внутреннюю. Второй шар после удара отскочил и был пойман на некоторой высоте, значит только часть от первоначальной потенциальной энергии перешло во внутреннюю, часть обратно в потенциальную.
17. Камень падает отвесно со скалы. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то в любой точке траектории
1) кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии
2) кинетическая энергия камня равна его полной механической энергии
3) потенциальная энергия камня равна его полной механической энергии
4) сумма потенциальной и кинетической энергии камня не изменяется
Так как сопротивлением воздуха при движении камня можно пренебречь, то полная механическая энергия камня (сумма потенциальной и кинетической) изменяться не будет. Скорость камня при движении увеличивается, а высота относительно поверхности земли уменьшается. Значит, кинетическая энергия камня будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться. Ответ: 4
18. Тело массой 2 кг брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/с. Чему будет равна кинетическая энергия тела через 2 с после начала подъёма, если сопротивлением воздуха можно пренебречь?
При движении вверх в отсутствии сопротивления скорость тела равна $v=v_0-gt$, $v=25-10 \cdot 2=5$ м/с. Тогда кинетическая энергия этого тела равна $E_k=\frac{mv^2}{2}$, $E_k=\frac{2 \cdot 5^2}{2}=25$ Дж. Ответ: 25 Дж.
19. Камень падает из состояния покоя, оторвавшись от скалы. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Если камень будет падать с вдвое большей высоты, скорость камня в момент приземления
1) увеличится в $\sqrt{2}$ раз
2) увеличится в 2 раза
3) увеличится в 4 раза
4) останется прежней
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно полная механическая энергия при движении тела не изменяется, т.е. $E_1=E_2$, где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия тела в верхней точке траектории и в момент падения на землю соответственно. Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует моменту падения тела на землю, тогда в верхней точке траектории равна $E_1=mgh$, т.к. кинетическая энергия тела в этом положении равна нулю (камень падает из состояния покоя). В момент времени, когда тело падает на землю его полная механическая энергия будет равна кинетической энергии $E_2=\frac{mv^2}{2}$. Приравняем правые части полученных выражений и найдем искомую высоту $\frac{mv^2}{2}=mgh$, $v=\sqrt{2gh}$. Последнее равенство показывает, что если камень будет падать с вдвое большей высоты, скорость камня в момент приземления увеличится в $\sqrt{2}$ раз. Ответ: 1
20. Тележку массой m тянут в гору с постоянной скоростью. Когда тележка поднимется на высоту h от первоначального положения, то её полная механическая энергия
1) не изменится
2) уменьшится на mgh
3) увеличится на mgh
4) будет неизвестна, т.к. не задан коэффициент трения
Поскольку тележку тянут в гору с постоянной скоростью, ее кинетическая энергия не изменяется. Так как на тележку действует внешняя сила, совершающая работу, закон сохранения полной механической энергии не выполняется. При подъеме тележки на высоту h от первоначального положения ее полная механическая энергия увеличится на величину возрастания потенциальной энергии, то есть на величину mgh. Ответ: 3
21. Мяч, катящийся по горизонтальному ровному футбольному полю, останавливается из-за трения. Как при этом изменяются полная механическая энергия и внутренняя энергия мяча? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Полная механическая энергия мяча | Внутренняя энергия мяча |
Так как на тело при движении действует сила трения, то его полная механическая энергия уменьшается за счет совершения работы против этой силы трения. При этом внутренняя энергия тела увеличивается. Ответ: 21
22. Свинцовый шар подброшен вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, укажите, как изменяются по мере движения шара вверх кинетическая энергия шара и модуль ускорения шара. Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Кинетическая энергия | Модуль ускорения |
Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, то тело будет двигаться только под действием силы тяжести. Это означает, что движение будет происходить с постоянным ускорением свободного падения. При подъеме тела, его скорость, а значит и кинетическая энергия, будут уменьшаться. Ответ: 23
23. Кинетическая энергия тела массой 100 г, соскользнувшего с наклонной плоскости, у её подножия составила 0,2 Дж. Чему равна высота наклонной плоскости? Трением пренебречь.
Так как трением при движения тела можно пренебречь, то полная механическая энергия тела меняться не будет. Это означает, что при движении вниз по наклонной плоскости будет происходить превращение потенциальной энергии в кинетическую. Т.е. у основания наклонной плоскости кинетическая энергия будет равна потенциальной энергии тела на ее вершине $E_k=mgh\Rightarrow h=\frac{E_k}{mg}$, $h=\frac{0,2}{0,1 \cdot 10}=0,2$ м. Ответ: 0,2 м.
24. Мяч бросают вертикально вверх с поверхности Земли. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. При увеличении начальной скорости мяча в 2 раза высота подъёма мяча
1) увеличится в $\sqrt{2}$ раз
2) увеличится в 2 раза
3) увеличится в 4 раза
4) останется прежней
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно полная механическая энергия при движении тела не изменяется, т.е. $E_1=E_2$, где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия тела в момент броска и в верхней точке траектории соответственно. Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует моменту броска, тогда в верхней точке траектории равна $E_2=mgh$, т.к. кинетическая энергия тела в этом положении равна нулю (тело останавливается в верхней точке траектории). В момент броска его полная механическая энергия будет равна кинетической энергии $E_1=\frac{mv^2}{2}$. Приравняем правые части полученных выражений и найдем искомую высоту $\frac{mv^2}{2}=mgh$, $h=\frac{v^2}{2g}$. Последнее равенство показывает, что если камень бросить вверх со скоростью в 2 раза большей, то высота подъема увеличится в 4 раза. Ответ: 3
25. С высоты 2 м вертикально вниз бросают мяч со скоростью 6,3 м/с. Абсолютно упруго отразившись от горизонтальной поверхности, мяч поднимается вверх. Чему равна максимальная высота подъёма мяча над горизонтальной поверхностью? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: начальная высота с которой бросили мяч — $h_1=2$ м; начальная скорость с которой бросили мяч — $v_0=6,3$ м/с. Найти: высоту на которую поднимется мяч — $h_2$. Решение. Поскольку при движении мяча сопротивлением воздуха можно пренебречь и мяч отразился упруго, то полная механическая энергия в процессе движения мяча не изменяется Полная механическая энергия в момент броска $E_1=mgh_1+\frac{mv_0^2}{2}$. Полная механическая энергия в конце движения $E_2=mgh_2$. Приравниваем $E_1$ и $E_2$ $mgh_1+\frac{mv_0^2}{2}=mgh_2$, $gh_1+\frac{v_0^2}{2}=gh_2$, $h_2=h_1+\frac{v_0^2}{2g}$, $h_2=2+\frac{6,3^2}{2 \cdot 10}\approx 4$ м. Ответ: высота на которую поднимется мяч 4 м.
26. Пуля массой 8 г, движущаяся со скоростью 700 м/с, пробила доску толщиной 8 см. Определить скорость пули при вылете из доски, если средняя сила сопротивления, воздействующая на пулю в доске, равна 20 кН.
Дано: скорость пули в момент попадания в доску $v_1=800$ м/с; масса пули — $m=0,008$ кг; толщина доски $h=8 \cdot 10^{-2}$ м; сила сопротивления при движении пули в доске — $F=20 \cdot 10^3$ Н. Найти: скорость пули при вылете из доски — $v_2=200$ м/с. Решение. Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа силы сопротивление будет равна изменению кинетической энергии пули $A=E_{k2}-E_{k1}$, $A=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$. Работа силы сопротивления равна $A=-Fs$. Приравняем и выразим искомую скорость $-Fs=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$, $\frac{mv_2^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}-Fs \Rightarrow mv_2^2=mv_1^2-2Fs$, $v_2^2=v_1^2-\frac{2Fs}{m} \Rightarrow v_2=\sqrt{v_1^2-\frac{2Fs}{m}}$, $v_2=\sqrt{700^2-\frac{2 \cdot 20000 \cdot 0,08}{0,008}}=300$ м/с. Ответ: 300 м/с.
27. Небольшой деревянный (сосна) шарик падает в воду с высоты 1,2 м относительно поверхности воды. Определите глубину погружения шарика. Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.
Дано: высота с которой падает шарик — $h=1,2$ м; плотность воды — $\rho =1000$ кг/м3; плотность сосны — $\rho_1 =400$ кг/м3. Найти: глубину погружения шарика — $H$. Решение. При падении шарика в воздухе, его потенциальная энергия переходит в кинетическую $mgh=\frac{mv^2}{2}$, $v^2=2gh$. При движение тела в воде на него будут действовать сила Архимеда и тяжести. Поскольку плотность сосны меньше, чем плотность воды, то при полном погружении шарика, сила Архимеда по модулю будет больше, чем сила тяжести. Поэтому шарик будет тормозить. Согласно второму закону Ньютона $F_A-mg=ma$. Модуль силы Архимеда: $F_A= \rho gV$, где $V$ — объем шарика. Масса шарика: $m= \rho_1 V$. Подставим эти выражения в последнее уравнение $\rho gV — \rho_1 V g= \rho_1 V a$, сокращаем общий множитель $V$ $\rho g — \rho_1 g= \rho_1 a$. Находим ускорение, разделив обе части уравнения на $\rho_1$ $a=\frac{\rho }{\rho_1}g-g=g\left(\frac{\rho }{\rho _1}-1 \right)$, $a=10 \cdot \left(\frac{1000}{400}-1 \right)=15$ м/с2. Путь, пройденный шариком при торможении до полной остановки ($v_k=0$) $H=\frac{v^2-v_k^2}{2a}=\frac{v^2}{2a}=\frac{2gh}{2a}=\frac{gh}{a}$, $H=\frac{10 \cdot 1,2}{15}=0,8$ м. Ответ: шарик погрузится на глубину 0,8 м.
28. На гидроэлектростанции вода, падая с плотины, вращает лопасти турбин. Вода в водохранилище обладает
1) потенциальной энергией, которая превращается в кинетическую энергию вращающихся частей турбины
2) кинетической энергией, которая превращается в кинетическую энергию вращающихся частей турбины
3) потенциальной энергией, которая превращается в потенциальную энергию вращающихся частей турбины
4) кинетической энергией, которая превращается в потенциальную энергию вращающихся частей турбины
Находящая на некоторой высоте вода падая с плотины приводит в движение лопасти турбина. Значит, вода в водохранилище, находясь на высоте, обладает потенциальной энергией, которая превращается в кинетическую энергию вращающихся частей турбины. Ответ: 1
29. Мяч бросают вертикально вверх. В какой из точек траектории – А, Б, В, отмеченных на рисунке, полная механическая энергия мяча будет минимальна? Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
1) в точке А
2) в точке Б
3) в точке В
4) во всех точках одинакова
Поскольку сопротивлением воздуха при движении шарика можно пренебречь, то полная механическая энергия шарика меняться не будет, т.е. она одинакова во всех точках траектории. Ответ: 4
30. Тело падает на пол с поверхности демонстрационного стола учителя. (Сопротивление воздуха не учитывать.) При этом полная механическая энергия тела
1) одинакова в любые моменты движения тела
2) максимальна в момент начала движения
3) максимальна в момент достижения поверхности пола
4) минимальна в момент начала движения
Поскольку сопротивлением воздуха при движении тела можно пренебречь, то полная механическая энергия тела меняться не будет, т.е. она одинакова во всех точках траектории. Ответ: 1
31. Прочитайте текст и вставьте на места пропусков слова (словосочетания) из приведённого списка.
Камень, подброшенный вверх из точки 1, совершает падение в тормозящей его движение атмосфере. Траектория движения камня изображена на рисунке. В положении 1 кинетическая энергия камня (А)__________ его кинетической энергии в положении 3. Потенциальная энергия в положении 1 (Б)__________ потенциальной энергии в положении 3. На участке
1-2 сила трения совершает (В)__________ работу. При этом внутренняя энергия камня в процессе движения (Г)__________.
Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Список слов и словосочетаний:
1) равна
2) больше
3) меньше
4) положительный
5) отрицательный
6) увеличивается
7) уменьшается
8) не изменяется
Комментарий. При движении камня часть его механической энергии будет расходоваться на совершение работы против сил сопротивления (трения о воздух). Поэтому полная механическая энергия, например, в точке 3 полная механическая энергия ($E_3$) будет меньше, чем полная механическая энергия ($E_1$) в точке 1. Полная механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергии тела. Поскольку в точках 1 и 3 потенциальная энергия тела одинакова, а $E_1>E_3$, то кинетическая энергия в точке 3 будет меньше, чем в точке 1. В процессе движения сила трения совершает отрицательную работу. В результате совершения работы силой трения механическая энергия тела переходит в тепло, т.е. внутренняя энергия тела увеличивается. Решение. Камень, подброшенный вверх из точки 1, совершает падение в тормозящей его движение атмосфере. Траектория движения камня изображена на рисунке. В положении 1 кинетическая энергия камня (А-2) больше его кинетической энергии в положении 3. Потенциальная энергия в положении 1 (Б-1) равна потенциальной энергии в положении 3. На участке 1-2 сила трения совершает (В-5) отрицательную работу. При этом внутренняя энергия камня в процессе движения (Г-6) увеличивается. Ответ: 2156
32. Стальной осколок, падая из состояния покоя с высоты 103 м, у поверхности Земли имел скорость 40 м/с. На сколько повысилась температура осколка, если считать, что изменение его внутренней энергии произошло в результате совершения работы сил сопротивления воздуха?
Дано: начальная скорость поезда — $v_0=0$; высота с которой падает осколок — $h=103$ м; скорость осколка у поверхности Земли — $v=40$ м/с; удельная теплоемкость стали — $c=500$ Дж/кг⋅°С. Найти: изменение температуры осколка — $\Delta t$. Решение. Количество теплоты, которое получает осколок будет равно изменению механической энергии осколка $Q=E_1-E_2$. Полная механическая энергия в начальный момент времени $E_1=mgh$. Полная механическая энергия в момент падения на Землю $E_2=\frac{mv^2}{2}$. Количество теплоты, которое получает осколок $Q=cm\Delta t$. Подставляем все полученные выражения в уравнение и решаем его относительно неизвестной $cm\Delta t=mgh-\frac{mv^2}{2}$, $c\Delta t=gh-\frac{v^2}{2}$, $c\Delta t=\frac{2gh-v^2}{2}$, $\Delta t=\frac{2gh-v^2}{2c}$, $\Delta t=\frac{2 \cdot 10 \cdot 103-40^2}{2 \cdot 500}=0,46$ °С. Ответ: осколок нагрелся на 0,46 °С.
33. Чему равна температура воды у основания водопада, если у его вершины она равнялась 20 °С? Высота водопада составляет 100 м. Считать, что 84% энергии падающей воды идёт на её нагревание.
Дано: удельная теплоемкость воды $c=4200$ Дж/кг⋅°С; часть энергии падающей воды, которая идёт на её нагревание — $\eta = 0,84$; высота водопада $h=100$ м; начальная температура воды $t_1=20$ °С. Найти: конечная температура воды — $t_2$. Решение. Количество теплоты, которое получает вода $Q=cm\Delta t$. Энергия, которой обладает вода на вершине — потенциальная $E=mgh$. Поскольку 84% потенциальной энергии идет на нагревание воды, то имеет место равенство $Q=\eta E \Rightarrow cm\Delta t= \eta mgh$, $\Delta t=\frac{\eta gh}{c}$, $\Delta t=\frac{0,84 \cdot 10 \cdot 100}{4200} =0,2$ °С. Конечная температура воды $t_2=t_1+\Delta t$ составляет $t_2=20+0,2=20,2$ °С. Ответ: 20,2 °С.
34. Гиря падает на землю и ударяется абсолютно неупруго о препятствие на поверхности земли. Скорость гири перед ударом равна 14 м/с. Температура гири перед ударом составляла 20 °С. До какой температуры нагреется гиря, если считать, что всё количество теплоты, выделяемое при ударе, поглощается гирей? Удельная теплоёмкость вещества, из которого изготовлена гиря, равна 140 Дж/(кг·ºС).
Дано: начальная температура гири — $t_1=30$ °С; конечная температура гири — $t_2=100$ °С; удельная теплоемкость вещества гири — $c=140$ Дж/кг⋅°С. Найти: скорость гири перед ударом — $v$. Решение. Количество теплоты, которое выделяется при ударе гири, будет равно изменению полной механической энергии гири. Перед ударом гиря обладала кинетической энергией. После удара ее механическая энергия станет равной нулю (гиря остановилась). Поэтому изменение механической энергии будет равно ее кинетической энергии. Значит $Q=\frac{mv^2}{2}$, $cm(t_2-t_1)=\frac{mv^2}{2}$, $c(t_2-t_1)=\frac{v^2}{2}$, $t_2-t_1=\frac{v^2}{2c}$, $t_2=\frac{v^2}{2c}+t_1$, $t_2=\frac{14^2}{2 \cdot 140}+20=20,7$°С. Ответ: 20,7 °С.
35. Металлический шар массой m1 = 2 кг упал с высоты h = 26 м на свинцовую пластину массой m2 = 1 кг и остановился. На сколько градусов нагрелась пластина, если на её нагревание пошло 80% выделившегося при ударе количества теплоты? Начальная скорость шара равна нулю.
Дано: высота, с которой падает шар — $h=26$ м; масса пластины — m2 = 1 кг; изменение температуры пластины — $\Delta t=3,2$ °С; часть выделившегося количества теплоты, которая пошла на нагревание пластины — $\eta =0,8$; начальная скорость шара — $v_0=0$; удельная теплоемкость свинца — $c=140$ Дж/кг·°С. Найти: массу шара — $m_1$. Решение. Количество теплоты, которое выделится при ударе шара о плиту равно разности полной механической энергии в начале и конце движения $Q=E_1-E_2$. В начале движения шар находится на некоторой высоте, поэтому обладает потенциальной энергией. Он падает без начальной скорости, поэтому в начале движения у него нет кинетической энергии. Полная механическая энергия в начале движения равна его потенциальной энергии $E_1=m_1gh$ После того как шар упал и остановился, он не будет обладать ни потенциальной, ни кинетической энергией, значит его полная механическая энергия равна нулю $E_2=0$. Количество теплоты, которое выделится при ударе $Q=m_2gh$. Известно, что 80% от этого количества теплоты идет на нагревание пластины $Q_1=\eta Q= \eta m_1gh$, где $Q_1$ — количество теплоты, которое получает пластина $Q_1=cm_2 \Delta t$. Составляем уравнение и находим из него искомую массу $cm_2 \Delta t=\eta m_1gh$, $m_1 = \frac{cm_2 \Delta t}{\eta gh} $, $m_1 = \frac{140 \cdot 1 \cdot 3,2}{0,8 \cdot 10 \cdot 26} =2$ кг. Ответ: масса шара 2 кг.