3.24. Механические колебания

Теоретическая справка

Механические колебания – периодическое или почти периодическое движение тела, при котором оно многократно и в разных направлениях проходит положение равновесия. Основные признаки колебательного движения: повторяемость движения и его возвратность.

Для устойчивого существования механических колебаний необходимо:

1. наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
2. наличие малого трения в системе.

Основные характеристики колебательного движения:

1. Период колебаний – промежуток времени, за которое тело совершает одно полное колебание. Обозначение — $T$. Единица измерения – с (секунда). Формула для расчета периода включает в себя время $t$ за которое тело совершает $N$ колебаний

$T=\frac{t}{N}$.

2. Частота колебаний – число колебаний за единицу времени. Обозначение – (ню). Единица измерения – Гц (Герц или ). Связь между периодом и частотой

$\nu =\frac{1}{T}=\frac{N}{t}$.

3. Смещение (координата) – отклонение от положения равновесия. Обозначение — $x$. Единица измерения – м (метр).

4. Амплитуда колебаний – положение наибольшего смещения тела. Обозначение – $x_m$ или $A$. Единица измерения – м (метр).

5. Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени. Обозначение — $\phi_0$. Единица измерения — рад (радиан).

6. Фаза колебаний – это величина, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени. Обозначение – $\phi$. Единица измерения – рад (радиан). Фаза колебаний – это величина, находящаяся под знаком синуса или косинуса в уравнении колебаний

$\phi = \frac{2\pi }{T}t+\phi_0$.

Фаза показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний. 

Важно! Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Гармонические колебания – колебания, которые происходят по закону синуса или косинуса

$x= sin \phi$ или $x= cos \phi$,

$x= sin \left(\frac{2\pi }{T}t+\phi_0 \right)$ или $x= cos \left(\frac{2\pi }{T}t+\phi_0 \right)$.

Важно! Чаще всего в заданиях рассматриваются ситуации, когда начальная фаза колебаний равна нулю, тогда уравнения имеют вид

$x= sin \frac{2\pi }{T}t$ или $x= cos \frac{2\pi }{T}t$.

Первое уравнение описывает колебания, которые начинают происходить, когда тело начинает движение из положения равновесия, а второе из амплитуды.

Получение графика гармонических колебаний

График гармонических колебаний

Свободные колебания– колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия. Система тел, способная совершать свободные колебания называется колебательной системой.

Пружинный маятник (горизонтальный и вертикальный)	Математический маятник
Период колебаний зависит только от жесткости пружины и массы груза $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.	Период колебаний зависит только от длины нити и величины ускорения свободного падения $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

Энергия колебательного движения

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает энергией:

1. в положении равновесия: потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна;
2. при максимальном отклонении от положения равновесия: потенциальная энергия максимальна, кинетическая энергия равна нулю.

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Важно!! Полная механическая энергия гармонических колебаний не изменяется. При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени

$E=E_{K max}=E_{\Pi max}=E_K+E_\Pi$.

В реальных колебательных системах присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к уменьшению энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Такие колебания не будут гармоническими. Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие уменьшения энергии называются затухающими.

Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ

1. На рисунке представлены графики зависимости смещения х от времени t при колебаниях двух математических маятников.

 Из предложенного перечня утверждений выберите два правильных. Укажите их номера.

1) В положении, соответствующем точке Д на графике, маятник 1 имеет максимальную потенциальную энергию.
2) В положении, соответствующем точке Б на графике, оба маятника имеют минимальную потенциальную энергию.
3) Маятник 1 совершает затухающие колебания.
4) При перемещении маятника 2 из положения, соответствующего точке А, в положение, соответствующее точке Б, кинетическая энергия маятника убывает.
5) Частоты колебаний маятников совпадают.

2. На рисунке представлены графики зависимости от времени t смещения х грузов при колебаниях двух математических маятников.

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) Амплитуда колебаний первого маятника в 2 раза больше амплитуды колебаний второго маятника.
2) Маятники совершают колебания с одинаковой частотой.
3) Длина нити второго маятника меньше длины нити первого маятника.
4) Период колебаний второго маятника в 2 раза больше периода колебаний первого маятника.
5) Колебания маятников являются затухающими.

3. На рисунке представлен график гармонических колебаний математического маятника.

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) В начальный момент времени кинетическая энергия маятника равна нулю.
2) Частота колебаний маятника равна 0,5 Гц.
3) При переходе из состояния, соответствующего точке А, в состояние, соответствующее точке Б, потенциальная энергия маятника уменьшается.
4) Амплитуда колебаний маятника равна 0,1 м.
5) Точка В соответствует максимальному смещению маятника из положения равновесия.

4. Пружинный  маятник совершает незатухающие колебания между точками А и В. Точка О соответствует положению равновесия маятника.

Используя текст и рисунки, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) За время, равное периоду колебаний, маятник проходит расстояние, равное АВ.
2) При перемещении груза из положения В в положение О потенциальная энергия маятника увеличивается, а его кинетическая энергия уменьшается.
3) В точке О кинетическая энергия маятника максимальна.
4) Расстояние АВ соответствует удвоенной амплитуде колебаний.
5) В точке А полная механическая энергия маятника принимает минимальное значение.

5. Необходимо экспериментально установить, зависит ли период колебаний пружинного маятника от массы груза. Какую из указанных на рисунке пар маятников можно использовать для этой цели? 

1) А и Г
2) Б и В
3) Б и Г
4) А и Б

6. Необходимо экспериментально установить, зависит ли период колебаний математического маятника от длины нити. Какую из указанных на рисунке пар маятников можно использовать для этой цели?

1) А и Г
2) Б и В
3) Б и Г
4) В и Г

7. На рисунке представлен график зависимости смещения груза х от времени t при колебаниях маятника.

Период колебаний маятника равен

1) 2 с
2) 3 с
3) 4 с
4) 12 с

8. Математический маятник колеблется между положениями 1 и 3 (см. рисунок). В положении 1

1) кинетическая энергия маятника максимальна, потенциальная энергия минимальна
2) кинетическая энергия маятника равна нулю, потенциальная энергия максимальна
3) кинетическая и потенциальная энергия маятника максимальны
4) кинетическая и потенциальная энергия маятника минимальны

9. На рисунке представлен  график гармонических колебаний математического маятника.

Амплитуда и частота колебаний маятника равны соответственно

1) 12 см и 10 Гц
2) 12 см и 20 Гц
3) 6 см и 0,1 Гц
4) 6 см и 0,05 Гц

10. На рисунке даны графики зависимости смещения x от времени t при колебаниях двух маятников. Сравните периоды колебаний маятников T₁ и T₂.

1) Т₁ = 2Т₂
2) 2Т₁ = Т₂
3) 4Т₁ = Т₂
4) Т₁ = 4Т₂

11. Ученик провёл измерения периода колебаний физического маятника для двух случаев. Результаты опытов представлены на рисунке.

Выберите из предложенного перечня два утверждения, которые соответствуют результатам проведённых экспериментальных наблюдений. Укажите их номера.

1) Период колебаний маятника зависит от длины нити.
2) При увеличении длины нити в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза.
3) Период колебаний маятника на Луне будет меньше, чем на Земле.
4) Период колебаний маятника зависит от географической широты местности.
5) Период колебаний маятника не зависит от массы груза.

12. Шарик на нити, совершающий свободные колебания, приходит от крайнего правого положения до крайнего левого положения за 0,4 с. Чему равна частота колебания шарика?

13. Необходимо проверить гипотезу о том, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза. Какую пару маятников следует выбрать для проверки этой гипотезы?

№ маятника	Масса груза	Длина нити
1	m1	50 см
2	m1	100 см
3	m2	50 см
4	m3	75 см

1) 1 и 2
2) 1 и 3
3) 2 и 4
4) 3 и 4

14. Математический маятник в процессе колебаний проходит положение равновесия и отклоняется от него. При этом

1) и его полная механическая энергия, и кинетическая энергия увеличиваются
2) его полная механическая энергия не изменяется, кинетическая энергия уменьшается
3) его полная механическая энергия не изменяется, кинетическая энергия увеличивается
4) его полная механическая энергия уменьшается, кинетическая энергия не изменяется

15. Ребёнок, качающийся на качелях, проходит путь от крайнего правого положения до крайнего левого положения за 2 с. Чему равен период колебания качелей?

1) 1 с
2) 2 с
3) 3 с
4) 4 с

16. Груз на пружине, совершающий свободные колебания, проходит от крайнего нижнего положения до положения равновесия за 0,5 с. Чему равен период колебания груза?

1) 0,25 с
2) 0,5 с
3) 1 с
4) 2 с

17. Шар, подвешенный на нити длиной 1 м, совершает гармонические колебания, амплитуда которых 2 см, а период Т₁. При амплитуде колебаний этого шара 1 см период Т₂ связан с периодом Т₁ соотношением

1) Т₂ = 12 Т₁
2) Т₂ = 14 Т₂
3) Т₂ = Т₁
4) Т₂ = 2Т₁

18. На рисунке представлен график зависимости кинетической энергии от времени для маятника, совершающего гармонические колебания. В момент, соответствующий точке А на графике, потенциальная энергия маятника, отсчитанная от положения его равновесия, равна

1) 10 Дж
2) 20 Дж
3) 25 Дж
4) 30 Дж

19. Пружинный  маятник совершает незатухающие гармонические колебания между точками А и В (см. рисунок). Точка О соответствует положению равновесия маятника. Как изменяются скорость бруска и потенциальная энергия пружины маятника при переходе из точки О в точку А?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:  

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Скорость бруска	Потенциальная энергия пружины

20. Математический маятник совершает незатухающие гармонические колебания (см. рисунок). Как изменяются кинетическая и потенциальная энергия маятника при переходе из точки А в точку Б?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:  

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Кинетическая энергия маятника	Потенциальная энергия маятника

21. На рисунке представлен график колебаний математического маятника. Частота колебаний  маятника равна

1) 4 Гц
2) 1 Гц
3) 0,5 Гц
4) 0,25 Гц

22. Пружинный маятник совершает колебания между положениями 1 и 3 (см. рисунок). Какие значения кинетической и потенциальной энергии имеет маятник в положении 3?

1) кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия равна нулю
2) кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия максимальна
3) кинетическая и потенциальная энергия максимальны
4) кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия минимальна

23. На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника, совершающего гармонические колебания, от времени.  Потенциальная энергия отсчитывалась от положения равновесия.

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) Период колебаний маятника составляет 4 с.
2) В момент времени, соответствующий точке А на графике, кинетическая энергия маятника равна 3 Дж.
3) Потенциальная энергия маятника в момент времени, соответствующий точке Б на графике, равна 1 Дж.
4) Маятник совершает затухающие колебания.
5) В момент времени t = 1,5 с кинетическая энергия маятника равна его потенциальной энергии.

24. Для экспериментального определения зависимости периода колебаний  T  математического маятника от его длины L  ученик измерял время, за которое маятник совершал 10 колебаний. Результаты десяти таких измерений он занес в таблицу. Вычислив период колебаний для каждого случая, он построил график зависимости T(L) (см. рисунок).

Какое(-ие) из утверждений соответствует(-ют) результатам эксперимента?

А. С уменьшением длины математического маятника период его колебаний уменьшается.
Б. Период колебаний T маятника прямо пропорционален его длине L.

1) только А
2) только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б

25. Установите соответствие между физическими величинами и их возможными изменениями, анализируя следующую ситуацию: «Нитяной маятник совершает незатухающие гармонические колебания. Если увеличить амплитуду колебаний маятника, не меняя длину его нити и массу, то …»

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА	ИЗМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
А) период колебаний Б) частота колебаний В) механическая энергия	1) увеличится 2) уменьшится 3) остается величиной постоянной

26. Математический маятник совершает колебания между положениями 1 и 3 (см. рис). Какие значения кинетической и потенциальной энергии имеет маятник в положении 2?

1) кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия минимальна
2) кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия максимальна
3) кинетическая энергия и, потенциальная энергия максимальны
4) кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия минимальна

27. Математический  маятник совершает незатухающие колебания между точками А и Б.  Точка О соответствует положению равновесия маятника.

Используя текст и рисунки, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) За время, равное периоду колебаний, маятник проходит путь, равный удвоенной длине дуги АБ.
2) При перемещении маятника из положения В в положение О потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия увеличивается.
3) В точке О кинетическая энергия маятника минимальна.
4) Расстояние АБ соответствует амплитуде колебаний.
5) В точке А полная механическая энергия маятника принимает максимальное значение.

28. Установите соответствие между физическими величинами и единицами этих величин в Международной системе единиц (СИ). К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ	ЕДИНИЦЫ
А) длина волны Б) частота колебаний В) период колебаний	1) метр (1 м) 2) герц (1 Гц) 3) секунда (1 с) 4) ньютон на метр (1 Н/м) 5) метр в секунду (1 м/с)

Скачать файл с заданиями открытого банка ФИПИ Механические колебания (1272 Загрузки )