1.10. Уравнение теплового баланса

Теоретическая справка

Теплоизолированная система тел — это система тел, которая не получает и не отдает энергию, а уменьшение или увеличение внутренней энергии тел системы происходит только вследствие теплопередачи между телами этой системы. Если система тел является теплоизолированной, то ее внутренняя энергия не будет изменяться несмотря на изменения, происходящие внутри системы.

При любых процессах, происходящих в теплоизолированной системе, ее внутренняя энергия не изменяется (закон сохранения внутренней энергии). Последнее утверждение, в частности, означает что, если тела образуют замкнутую систему и между ними происходит только теплообмен, то алгебраическая сумма отданных и полученных количеств теплоты будет равна нулю:

$Q_1 +Q _2 + Q_3 + ⋯ = 0$.

Это уравнение называется уравнение теплового баланса.

В теплоизолированной системе тел, количество теплоты, отданное при теплообмене более нагретыми телами, равно по модулю количеству теплоты, полученному менее нагретыми телами. Поэтому уравнение теплового баланса также записывают в виде

$Q_\Pi = \left|Q_O \right|$.

Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ

1. В калориметр, содержащий 200 г воды при температуре 85 °С, опустили алюминиевую чайную ложку массой 14 г, имевшую температуру 20 °С. Пренебрегая потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра, определите, на сколько градусов охладится вода в калориметре после установления теплового равновесия. Ответ округлите до целого.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса воды — $m_1=0,2$ кг; начальная температура воды — $t_1=85$ °С; масса алюминиевой ложки $m_2=0,014$ кг; начальная температура ложки — $t_2=20$ °С; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплоемкость алюминия — $c_2=920$ Дж/кг·°С.

Найти: изменение температуры воды — $\Delta t$.

Решение. Определим конечную температуру, установившуюся в калориметре — $t$. Поскольку потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает вода при охлаждении будет получать алюминиевая ложка при нагревании.

Количество теплоты, которая отдает вода

$Q_1=c_1m_1(t-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает ложка

$Q_2=c_2m_2(t-t_2)$.

Поскольку система тел теплоизолирована, то ее внутренняя энергия не изменяется, значит мы можем записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$c_1m_1(t-t_1)+c_2m_2(t-t_2)=0$.

Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую температуру: вначале раскроем скобки, затем перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую, общие множители будем выносить за скобки

$c_1m_1t-c_1m_1t_1+c_2m_2t-c_2m_2t_2=0$,

$c_1m_1t+c_2m_2t=c_1m_1t_1+c_2m_2t_2$,

$(c_1m_1+c_2m_2)t=c_1m_1t_1+c_2m_2t_2$,

$t=\frac{c_1m_1t_1+c_2m_2t_2}{c_1m_1+c_2m_2}$,

$t=\frac{4200 \cdot 0,2 \cdot 85+920 \cdot 0,014 \cdot 20}{4200 \cdot 0,2 +920 \cdot 0,014}\approx 84$ °С.

Изменение температуры воды $\Delta t=t_1-t=85^\circ C-84^\circ C=1^\circ C$.

Ответ: температура воды понизится на $1^\circ C$.

[свернуть]

2. В воду, взятую при температуре 20 °С, добавили 1 л воды при температуре 100 °С. Температура смеси оказалась равной 40 °С. Чему равна масса холодной воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: объем горячей воды — $V=1 \cdot 10^{-3}$ м3; начальная температура холодной воды — $t_2=20$ °С; начальная температура горячей воды — $t_1=100$ °С; конечная температура смеси — $t=40$ °С; плотность воды — $\rho =10^3$ кг/м3.

Найти: массу холодной воды — $m_2$.

Решение. Поскольку потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает горячая вода при охлаждении будет получать холодная вода при нагревании.

Количество теплоты, которая отдает горячая вода

$Q_1=cm_1(t-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает холодная вода

$Q_2=cm_2(t-t_2)$.

Поскольку система тел теплоизолирована, то ее внутренняя энергия не изменяется, значит мы можем записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$cm_1(t-t_1)+cm_2(t-t_2)=0$.

Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую массу: сокращаем общий множитель — удельную теплоемкость воды, затем перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую

$m_1(t-t_1)+m_2(t-t_2)=0$,

$m_2(t-t_2)=-m_1(t-t_1)$,

$m_2=\frac{m_1(t_1-t)}{t-t_2}$.

Массу горячей воды найдем через плотность $m_1=\rho V$. Окончательно получаем

$m_2=\frac{\rho V(t_1-t)}{t-t_2}$,

$m_2=\frac{10^3 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \cdot (100 -40)}{40-20}=3$ кг.

Ответ: масса холодной воды 3 кг.

[свернуть]

3. Какое минимальное количество водяного пара при 100 °С нужно впустить в теплоизолированный сосуд, содержащий 2,3 кг льда при 0 °С, чтобы весь лёд растаял?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса льда — $m_1=2,3$ кг; температура пара — $t_1=100$ °С; температура льда — $t_2=0$ °С; удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплота плавления льда — $\lambda =330000$ Дж/кг; удельная теплота парообразования — $2300000$ Дж/кг.

Найти: массу пара — $m_2$.

Решение. Поскольку потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает пар при конденсации и получившаяся вода при охлаждении будет получать лед при плавлении.

Количество теплоты, которое выделяется при конденсации пара

$Q_1=-Lm_2$.

Количество теплоты, которая отдает вода

$Q_2=cm_2(t_2-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает лед

$Q_3= \lambda m_1$.

Запишем уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2+Q_3=0$,

$-Lm_2+cm_2(t_2-t_1)+\lambda m_1=0$.

Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую температуру: перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую, общие множители будем выносить за скобки

$\lambda m_1=Lm_2-cm_2(t_2-t_1)$,

$\lambda m_1=m_2(L-c(t_2-t_1))$,

$m_2=\frac{\lambda m_1}{L-c(t_2-t_1)}$,

$m_2=\frac{330000 \cdot 2,3}{2300000-4200 \cdot (0-100)} \approx 0,28$ кг.

Ответ: масса пара примерно равна 0,28 кг.

[свернуть]

4. Смешали две порции воды: 400 г при температуре t1 = 25 °С и 100 г при t2 = 100 °С. Определите температуру получившейся смеси. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса холодной воды- $m_1=0,4$ кг; масса холодной воды- $m_1=0,1$ кг; начальная температура холодной воды — $t_2=25$ °С; начальная температура горячей воды — $t_1=100$ °С; .

Найти: конечную температуру смеси — $t$.

Решение. Поскольку теплообменом с окружающей средой пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает горячая вода при охлаждении будет получать холодная вода при нагревании.

Количество теплоты, которая отдает горячая вода

$Q_1=cm_1(t-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает холодная вода

$Q_2=cm_2(t-t_2)$.

Запишем уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$cm_1(t-t_1)+cm_2(t-t_2)=0$.

Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую массу: сокращаем общий множитель — удельную теплоемкость воды, затем перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую

$m_1(t-t_1)+m_2(t-t_2)=0$,

$m_1t-m_1t_1+m_2t-m_2t_2=0$,

$t(m_1+m_2)=m_1t_1+m_2t_2$.

$t=\frac{m_1t_1+m_2t_2}{m_1+m_2}$,

$t=\frac{0,4 \cdot 25 + 0,1 \cdot 100 }{0,4+0,1}=40$ °С.

Ответ: конечная температура воды 40 °С.

[свернуть]

5. Какова масса медного шарика, прогретого в кипящей воде, если при помещении его в лёд, имеющий температуру 0 оС, образовалось 12 г воды? Считать, что вся энергия, выделяющаяся при охлаждении шарика,  расходуется на плавление льда.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса растаявшего льда — $m_1=0,012$ кг; удельная теплоемкость меди — $c=400$ Дж/кг·°С; начальная температура шарика — $t_1=100$ °С; конечная температура шарика — $t_2=0$ °С; удельная теплота плавления льда — $ \lambda =330000$ Дж/кг .

Найти: массу медного шарика — $m_2$.

Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении шарика

$Q_1=cm_2 (t_2-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает лед при плавлении

$Q_2= \lambda m_1$.

Поскольку вся энергия, выделяющаяся при охлаждении шарика,  расходуется на плавление льда, то можно записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$cm_2 (t_2-t_1)+ \lambda m_1=0$,

$ cm_1 (t_2-t_1)=-\lambda m_2$,

$m_1=-\frac{\lambda m_2}{c (t_2-t_1)} = \frac{\lambda m_2}{c (t_1-t_2)}$,

$m_1= \frac{330000 \cdot 0,012}{400 \cdot (100-0)}= 0,099$ кг $=99$ г.

Ответ: масса медного шарика 99 г.

[свернуть]

6. В стакан, содержащий лёд при температуре 0 °С, налили 100 г воды, имеющей температуру 33 °С. Какова масса льда, если весь лёд растаял и в стакане установилась температура 0 °С? Теплообменом с окружающим воздухом пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса воды — $m_1=0,1$ кг; удельная теплоемкость воды- $c=4200$ Дж/кг·°С; начальная температура воды — $t_1=33$ °С; конечная температура воды — $t_2=0$ °С; удельная теплота плавления льда — $ \lambda =330000$ Дж/кг .

Найти: массу льда — $m_2$.

Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении воды

$Q_1=cm_1 (t_2-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает лед при плавлении

$Q_2= \lambda m_2$.

Поскольку теплообменом можно пренебречь, то можно записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$cm_1 (t_2-t_1)+ \lambda m_2=0$,

$ \lambda m_2 = -cm_1 (t_2-t_1)$,

$m_2 = -\frac{cm_1 (t_2-t_1)}{\lambda}= \frac{cm_1 (t_1-t_2)}{\lambda}$,

$m_2 = \frac{4200 \cdot 0,1 \cdot (33-0)}{330000} = 0,042$ кг $=42$ г.

Ответ: масса растаявшего льда 42 г.

[свернуть]

7. В сосуд, содержащий 200 г воды, положили кусок льда. Какова масса куска льда, если весь лёд растаял и в сосуде установилась температура 0 °С? Теплообменом с окружающим воздухом пренебречь. На графике представлены зависимости температуры от времени для воды и льда в процессе теплообмена.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса воды — $m_1=0,2$ кг; удельная теплоемкость воды- $c=4200$ Дж/кг·°С; начальная температура воды — $t_1=33$ °С; конечная температура воды — $t_2=0$ °С; удельная теплота плавления льда — $ \lambda =330000$ Дж/кг .

Найти: массу льда — $m_2$.

Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении воды

$Q_1=cm_1 (t_2-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает лед при плавлении

$Q_2= \lambda m_2$.

Поскольку теплообменом можно пренебречь, то можно записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$cm_1 (t_2-t_1)+ \lambda m_2=0$,

$ \lambda m_2 = -cm_1 (t_2-t_1)$,

$m_2 = -\frac{cm_1 (t_2-t_1)}{\lambda}= \frac{cm_1 (t_1-t_2)}{\lambda}$,

$m_2 = \frac{4200 \cdot 0,2 \cdot (33-0)}{330000} = 0,084$ кг $=84$ г.

Ответ: масса растаявшего льда 84 г.

[свернуть]

8. В снежный сугроб, имеющий температуру 0°С, бросили раскалённый до температуры 300°С медный шар. Какова масса шара, если известно, что при его остывании растаяло 0,8 кг снега? Потерями энергии в окружающую среду и испарением воды пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса растаявшего снега  — $m_2=0,8$ кг; удельная теплоемкость меди — $c=400$ Дж/кг·°С; начальная температура шарика — $t_1=300$ °С; конечная температура шарика — $t_2=0$ °С; удельная теплота плавления льда — $ \lambda =330000$ Дж/кг .

Найти: массу медного шара — $m_1$.

Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении шарика

$Q_1=cm_1 (t_2-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает снег при плавлении

$Q_2= \lambda m_2$.

Поскольку вся энергия, выделяющаяся при охлаждении шарика,  расходуется на плавление льда, то можно записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$cm_1 (t_2-t_1)+ \lambda m_2=0$,

$ cm_1 (t_2-t_1)=-\lambda m_2$,

$ cm_1 (t_1-t_2)=\lambda m_2$,

$cm_1 (t_1-t_2)=\lambda m_2$,

$m_2=\frac{c m_1(t_1-t_2)}{\lambda }$,

$m_1=\frac{400 \cdot 0,8 \cdot (300-0) }{330000} \approx 0,29$ кг.

Ответ: масса медного шара примерно 0,29 кг.

[свернуть]

9. Температура в лаборатории поддерживается равной 20 °С. В помещение лаборатории вносят два медных бруска. Первый брусок имеет массу 5 кг и начальную температуру 100 °С, а второй массу 2 кг и температуру 200 °С. Первый брусок кладут сверху второго. Какую примерно температуру будут иметь оба бруска при достижении теплового равновесия?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса первого бруска — $m_1=5$ кг; начальная температура первого бруска — $t_2=100$ °С; масса второго бруска — $m_2=2$ кг; начальная температура второго бруска — $t_1=200$ °С; конечная температура смеси — $t=40$ °С; плотность воды — $\rho =10^3$ кг/м3.

Найти: конечную температуру — $t$.

Решение. После установления теплового равновесия конечная температура брусков будет равна температуре воздуха в лаборатории, т.е. примерно 20 °С.

Ответ: температура брусков будет примерно равна 20 °С.

[свернуть]

10. Стальной брусок массой 9,36 кг, взятый при температуре 0°С, погрузили в сосуд, содержащий 24 кг воды, температура которой 90°С. На сколько градусов охладится вода к моменту установления теплового равновесия в сосуде? Потерями энергии на нагревание сосуда и окружающего воздуха пренебречь. Ответ округлите до целых.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса воды — $m_1=24$ кг; начальная температура воды — $t_1=90$ °С; масса стального бруска $m_2=9,36$ кг; начальная бруска — $t_2=0$ °С; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплоемкость стали — $c_2=500$ Дж/кг·°С.

Найти: изменение температуры воды — $\Delta t$.

Решение. Определим конечную температуру, установившуюся в калориметре — $t$. Поскольку потерями энергии на нагревание сосуда и окружающего воздуха можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает вода при охлаждении будет получать стальной брусок при нагревании.

Количество теплоты, которая отдает вода

$Q_1=c_1m_1(t-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает ложка

$Q_2=c_2m_2(t-t_2)$.

Запишем уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$c_1m_1(t-t_1)+c_2m_2(t-t_2)=0$.

Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую температуру: вначале раскроем скобки, затем перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую, общие множители будем выносить за скобки

$c_1m_1t-c_1m_1t_1+c_2m_2t-c_2m_2t_2=0$,

$c_1m_1t+c_2m_2t=c_1m_1t_1+c_2m_2t_2$,

$(c_1m_1+c_2m_2)t=c_1m_1t_1+c_2m_2t_2$,

$t=\frac{c_1m_1t_1+c_2m_2t_2}{c_1m_1+c_2m_2}$,

$t=\frac{4200 \cdot 24 \cdot 90+500 \cdot 9,36 \cdot 0}{4200 \cdot 24 +500 \cdot 9,36}\approx 86$ °С.

Изменение температуры воды $\Delta t=t_1-t=90^\circ C-86^\circ C=4^\circ C$.

Ответ: температура воды понизится на $4^\circ C$.

[свернуть]

11. Нагретый камень массой 5 кг, охлаждаясь на 4 °С в воде массой 2 кг, нагревает её на 1 °С. Чему равна удельная теплоёмкость камня? Тепловыми потерями можно пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса воды — $m_1=2$ кг; масса камня — $m_2=5$ кг; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С;  изменение температуры воды — $\Delta  t_1=1$ °С; изменение температуры камня — $\Delta  t_2=4$ °С.

Найти: удельную теплоемкость камня — $c_2$.

Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении воды

$Q_1=-c_1m_1 \Delta  t_1$.

Количество теплоты, которое получает камень

$Q_2=c_2m_2 \Delta  t_2$.

Поскольку потерями  тепла можно пренебречь, то ее внутренняя энергия не изменяется, значит мы можем записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$-c_1m_1 \Delta  t_1+c_2m_2 \Delta  t_2=0$,

$c_2m_2 \Delta  t_2=c_1m_1 \Delta  t_1$,

$c_2=\frac{c_1m_1 \Delta t_1}{m_2 \Delta t_2}$,

$c_2=\frac{4200 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4} =420$ Дж/кг·°С.

Ответ: удельная теплоемкость камня 420 Дж/кг·°С.

[свернуть]

12. Стальной брусок погрузили в сосуд, содержащий 20 кг горячей воды. На сколько градусов охладится вода к моменту установления теплового равновесия в сосуде, если брусок получил от нее на нагревание 840 кДж теплоты? Потерями энергии на нагревание сосуда и окружающего воздуха пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса воды — $m=20$ кг; удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг·°С; количество теплоты, которое получает стальной брусок $Q=840000$ Дж.

Найти: изменение температуры воды — $\Delta t$.

Решение. Поскольку потерями энергии на нагревание сосуда и окружающего воздуха можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает вода при охлаждении будет получать стальной брусок при нагревании. Количество теплоты, которая отдает вода

$Q_1=-cm \Delta t$.

Запишем уравнение теплового баланса

$Q_1+Q=0$,

$-cm \Delta t+Q=0$.

Преобразуем полученное уравнение и найдем из него изменение температуры:

$Q=cm \Delta t$,

 

$\Delta t = \frac{Q}{cm}$

$\Delta t = \frac{840000}{4200 \cdot 20}=10$ °С.

Ответ: температура воды понизится на $10^\circ C$.

[свернуть]

13. В стакан, содержащий лёд при температуре 0 °С, налили воду, имеющую температуру 33 °С. Каково отношение массы воды к массе льда, если весь лёд растаял и в стакане установилась температура 0 °С? Теплообменом с окружающим воздухом пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: удельная теплоемкость воды- $c=4200$ Дж/кг·°С; начальная температура воды — $t_1=33$ °С; конечная температура воды — $t_2=0$ °С; удельная теплота плавления льда — $ \lambda =330000$ Дж/кг .

Найти: отношение массы воды к массе льда — $\frac{m_2}{m_1}$.

Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении воды

$Q_1=cm_2 (t_2-t_1)$.

Количество теплоты, которое получает лед при плавлении

$Q_2= \lambda m_1$.

Поскольку теплообменом можно пренебречь, то можно записать уравнение теплового баланса

$Q_1+Q_2=0$,

$cm_2 (t_2-t_1)+ \lambda m_1=0$,

$ \lambda m_2 = -cm_1 (t_2-t_1)$,

$ \lambda m_2 = cm_1 (t_1-t_2)$.

Из последнего соотношения составим пропорцию, помним, что $ \lambda$ умножается на $m_2$, а $m_1$ на $ c (t_1-t_2)$

$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\lambda}{c(t_1-t_2)}$,

$\frac{m_1}{m_2}=\frac{330000}{4200 \cdot(33-0)}\approx 2,38$.

Ответ: отношение массы воды к массе льда примерно равно 2,38.

[свернуть]

14. Смешали две порции воды: 200 г при температуре t1 = 40 °С и 800 г при t2 = 80 °С. Температура получившейся смеси оказалась равной tобщ. = 60 °С. Какое количество теплоты получили сосуд и окружающий воздух?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: удельная теплоемкость воды- $c=4200$ Дж/кг·°С; начальная температура холодной воды — $t_1=40$ °С; начальная температура горячей воды — $t_2=80$ °С; конечная температура воды — $t_0=60$ °С; масса холодной воды — $m_1=0,2$ кг; масса горячей воды — $m_2=0,8$ кг.

Найти: количество теплоты, которое получили сосуд и окружающий воздух — $Q$.

Решение. Количество теплоты, которое получает холодная вода при нагревании

$Q_1= cm_1 (t_0-t_1)$,

$Q_1= 4200 \cdot 0,2 \cdot (60-40)=16800$ Дж.

Количество теплоты, которое отдает горячая вода при охлаждении

$Q_2= cm_2 (t_0-t_2)$,

$Q_2= 4200 \cdot 0,8 \cdot (40-60)=-67200$ Дж.

Количество теплоты, которое было отдано сосуду и воздуху можно найти как разность между энергией отданной горячей водой и полученной холодной водой $Q=\left| Q_2 \right|-Q_1=67200-16800=50400$ Дж.

Ответ: количество теплоты, которое получили сосуд и окружающий воздух составляет 50400 Дж.

[свернуть]

Скачать файл с заданиями открытого банка ФИПИ Уравнение теплового баланса (988 Загрузок )