5.9.1. Решение расчетных задач (механика)

Дано: Плотность кубика — $\rho =900$ кг/м³; плотность воды — $\rho_1 =1000$ кг/м³; плотность керосина — $\rho_2 =800$ кг/м³; высота части кубика, погруженной в воду — $h_1=4$ см.

Найти: $h-?$

Решение. Обозначим высоту части кубика, находящейся в керосине $h_2$, заметим, что справедливо равенство $h=h_1+h_2$, оно пригодится нам позже. Запишем условие плавания кубика

$F_{A1}+F_{A2}=mg$,

где $F_{A1}$ — сила Архимеда, действующая на часть кубика, погруженную в воду, $F_{A2}$ — сила Архимеда, действующая на часть кубика, погруженную в керосин, $m$ — масса кубика. Распишем формулы нахождения сил Архимеда, а также выразим массу кубика через его плотность и объем

$\rho _1gV_1+\rho _2gV_2=\rho Vg$,

где $V_1$ — объем части кубика, находящейся в воде, $V_2$ — объем части кубика, находящейся в керосине и $V$ — объем всего кубика. Известно, что объем параллелепипеда связан с площадью и высотой, значит, учитывая что все указанные объемы имеют одинаковую площадь основания, можно представить их в виде

$V_1=Sh_1, V_2=Sh_2, V=Sh$.

Перепишем последнее уравнение с учетом последних равенств и преобразуем его

$\rho _1gSh_1+\rho _2gSh_2=\rho Shg$,

множитель $Sg$ присутствует во всех выражениях, поэтому сокращаем его

$\rho _1h_1+\rho _2h_2=\rho h$.

Последнее уравнение содержит две неизвестных: $h_2$ и $h$, используя связь высот $h=h_1+h_2$ или $h_2=h-h_1$, получим уравнение с одной неизвестной 

$\rho _1h_1+\rho _2(h-h_1)=\rho h$.

Полученное уравнение решаем как обычное линейное (раскрываем скобки, все что с неизвестной в одну сторону, все что известно в другую)

$\rho _1h_1+\rho _2h- \rho _2 h_1=\rho h$,

$\rho _1h_1- \rho _2 h_1=\rho h-\rho _2h$,

общие множители выносим за скобки и находим неизвестную величину

$h_1(\rho _1- \rho _2)=h(\rho — \rho _2)$,

$h=\frac{h_1(\rho _1- \rho _2)}{\rho — \rho _2}$,

$h=\frac{4 \cdot (1000 — 800)}{900 — 800}=8$ см.

Ответ: длина ребра кубика равна 8 см.

Дано: Плотность алюминия — $\rho _1=2700$ кг/м³; плотность воды — $\rho =1000$ кг/м³; объем тела — $V=0,04$ м³; объем погруженной части тела — $V_1=0,54V$.

Найти: объем полости — $V_2$.

Решение. Запишем условие плавания тела и выполним преобразования (распишем формулу нахождения силы Архимеда и избавимся от величины ускорения свободного падения, которое можно сократить

$F_A=mg\Rightarrow \rho gV_1=mg\Rightarrow \rho V_1=m$.

Массу алюминия можно определить через его плотность $m=\rho _1V_a$. Объем полости связан с объемом тела и объемом алюминия соотношением $V_a=V-V_2$. Тогда

$\rho V_1=\rho _1(V-V_2)$.

Получили уравнение относительно неизвестной величины, решаем его (раскрываем скобки, все что с неизвестной в одну сторону, все что известно в другую)

$\rho V_1=\rho _1V- \rho_1 V_2$,

$\rho_1 V_2=\rho _1V- \rho V_1$,

$\rho_1 V_2=\rho _1V- \rho \cdot 0,54V$,

$V_2=\frac{V(\rho _1- 0,54\rho) }{\rho_1}$,

$V_2=\frac{0,04 \cdot (2700 — 540) }{2700}=0,032$ м³.

Ответ: объем полости 0,032 м³.

Дано: начальная скорость с которой бросили мяч — $ v_0=20$ м/с; высота на которую поднимется мяч по сравнению с первоначальным — $h_2=3h_1$; часть энергии, которая теряется при ударе — $\eta =0,5$.

Найти: первоначальную высоту на которой находился шарик — $h_1-?$

Решение. Рассмотрим процесс движения шарика и охарактеризуем каждый этап:

1) шарик бросили вниз с начальной скоростью, он падает свободно, до момента удара о поверхность: поскольку влиянием сопротивления воздуха можно пренебречь, то полная механическая энергия шарика при его движении не изменяется. Это означает, что полная механическая энергия шара в момент броска ($E_1$) равна полной механической энергии шарика перед ударом, т.е. при движении шарика, его потенциальная энергия переходит в кинетическую.

2) удар шарика о поверхность: часть запаса полной механической энергии шарика теряется, оставшаяся часть — кинетическая энергия шарика при его обратном движении (подъеме вверх).

3) при подъёме шарика в отсутствии сопротивления воздуха, его полная механическая энергия не меняется: оставшаяся кинетическая энергия переходит в потенциальную ($E_2$).

Таким образом, учитывая все превращения энергии, описанные выше, можем записать

$E_1=mgh_1+\frac{mv^2_0}{2}$,

$E_2=mgh_2$,

$E_2=\eta E_1$,

$mgh_2 = \eta\left( mgh_1+\frac{mv^2_0}{2}\right)$.

Сокращаем общий множитель — $m$ и в полученное уравнение подставляем связь между высотами, на которых находится шарик вначале и в конце движения

$3gh_1 = \eta\left( gh_1+\frac{v^2_0}{2}\right)$.

Решаем полученное уравнение относительно неизвестной величины (раскрываем скобки, все что с неизвестной в одну сторону, все что известно в другую, общие множители выносим за скобки)

$\frac{\eta v^2_0}{2}=3 gh_1-\eta g h_1$,

$\frac{\eta  v^2_0}{2}=h_1g(3 -\eta)$,

$h_1=\frac{\eta v^2_0}{2g(3 -\eta)}$,

$h_1=\frac{\eta v^2_0}{2g(3 -\eta)}=\frac{0,5 \cdot 20^2}{2 \cdot 10 \cdot 2,5}=4$ м.

Ответ: шарик необходимо бросить с высоты 4 м.

Дано: скорость пули, до попадания в стенку — $v_1=400$ м/с; скорость пули при вылете из стенки — $v_2=300$ м/с; удельная теплоемкость вещества пули — $c=140$ Дж/кг⋅ºС.

Найти: изменение температуры пули — $\Delta t$.

Решение. Количество теплоты, которое выделяется при торможении пули в стенке равно разности кинетической энергии пули до попадания в стенку и кинетической энергии пули при вылете из нее (происходит превращение части механической энергии во внутреннюю за счет совершения работы против сил сопротивления при движении в стенке)

$Q=E_{k1}-E_{k2}$.

Согласно условию задачи, вся выделившаяся энергия идет на нагревание пули. Эту энергию можно рассчитать по формуле $Q=cm\Delta t$. Распишем формулы для вычисления кинетической энергии и получим уравнение

$cm\Delta t=\frac{mv_1^2}{2}-\frac{mv_2^2}{2}$.

Уравнение после сокращения одинакового множителя $m$ не будет содержать других неизвестных, кроме $\Delta t$. Поэтому проведем несложные преобразования и найдем искомую величину

$c\Delta t=\frac{v_1^2}{2}-\frac{v_2^2}{2}$,

$c\Delta t=\frac{v_1^2-v_2^2}{2}$,

$\Delta t=\frac{v_1^2-v_2^2}{2 c}$,

$\Delta t=\frac{400^2-300^2}{2 \cdot 140} =250$ ºС.

Ответ: пуля нагреется на 250 ºС.

Дано: КПД двигателей самолёта — $\eta =0,25$; средняя скорость самолета $v=250$ км/ч; масса керосина — $m=288$ кг; удельная теплота сгорания керосина — $q=46 \cdot 10^6$ Дж/кг; пройденный путь — $s=100$ км.

Найти: полезную мощность двигателей — $N$.

Решение. Решение задачи на КПД следует начинать с записи формулы для вычисления КПД, даже если оно задано, как в нашем случае. КПД теплового двигателя — отношение работы полезной к величине количества теплоты, полученного двигателем от нагревателя. Полезная работа выражается через мощность двигателя

$A_\pi =N \cdot t$.

Количество теплоты, полученное от нагревателя — энергия, выделяющаяся при сгорании топлива. Таким образом КПД, выражается формулой

$\eta =\frac{N \cdot t}{qm}$.

Из последней формулы выражаем мощность

$N=\frac{\eta qm}{t}$.

Время движения найдем из скорости и пройденного пути

$t=\frac{s}{v}\Rightarrow t=\frac{100}{250}=0,4$ ч $=1440$ с.

$N=\frac{0,25 \cdot 46 \cdot 10^6 \cdot 288}{1440}=2,3 \cdot 10^6$ Вт $=2,3$ МВт.

Ответ: полезная мощность двигателей самолета 2,3 МВт.

Дано: масса молота — $m_1=10^4$ кг; высота, с которой падает молот — $h=2,5$ м; масса стальной детали — $m_2=200$ кг; удельная теплоемкость стали (табличное значение, взятое из справочных сведений) — $c=500$ Дж/кг⋅ºС; часть энергии, расходуемой на нагревание молота — $\eta =0,25$.

Найти: изменение температуры детали — $\Delta t$.

Решение. При работе молота происходит цепочка превращений энергии: потенциальная энергия молота → кинетическая энергия молота → внутренняя энергия молота и детали. На нагревание детали уходит $\eta =0,25$ энергии, выделяющейся при ударе, значит это количество теплоты можно найти как часть от той потенциальной энергии, которой обладал молот в момент начала движения

При одном ударе 

$cm_2\Delta t_1=\eta m_1gh$.

Учитывая количество ударов

$cm_2\Delta t=N\eta m_1gh$.

Отсюда находим изменение температуры детали

$\Delta t=\frac{\eta N m_1gh}{cm_2}$

$\Delta t=\frac{0,25 \cdot 32 \cdot 10000 \cdot 10 \cdot 2,5}{500 \cdot 200}=20$ ºС.

Ответ: деталь нагреется на 20 ºС.

Дано: масса вагона — $m=10000$ кг; начальная скорость — $v_0=0$; ускорение вагона — $a=1$ м/с²; путь, пройденный вагоном — $s=200$ м.

Найти: работу силы тяги — $A$.

Решение. Работа силы тяги будет равна изменению кинетической энергии вагона, согласно теореме об изменении кинетической энергии

$A=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}$

Квадрат скорости тела при равноускоренном движении найдем из формулы перемещения

$s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{v^2}{2a}\Rightarrow v^2=2as$.

Таким образом, работа силы тяги будет равна

$A=\frac{m \cdot 2as}{2}=mas$,

$A=10000 \cdot 1 \cdot 200 = 2000000$ Дж $=2$ МДж.

Ответ: работа силы тяги при разгоне вагона равна 2 МДж.

Дано: модуль вектора магнитной индукции $B=0,1$ Тл; расстояние между рельсами — $l=0,15$ м; масса бруска — $m=0,3$ кг; коэффициент трения скольжения — $\mu =0,2$.

Найти: минимальную силу тока при которой брусок сдвинется — $I$.

Решение. При пропускании электрического тока по стальному бруску, на него со стороны магнитного поля будет действовать сила Ампера. Согласно правилу левой руки, эта сила будет действовать в горизонтальном направлении (вправо или влево, зависит от направления тока). Чтобы сдвинуть брусок, сила Ампера должна преодолеть силу трения покоя, действующую на брусок. Максимальное значение силы трения покоя будем считать равным силе трения скольжения, поэтому должно выполняться равенство

$F_A= \mu N$.

В вертикальном направлении силы тяжести и реакции опоры компенсируют друг друга, поэтому 

$N=mg$.

Учитывая, что модуль силы Ампера в числе прочего зависит от силы тока в проводнике, найдем такую силу тока, при которой выполнятся условия описанные выше и брусок придет в движение

$IBl=\mu mg$

$I= \frac{\mu mg}{Bl} $,

$I= \frac{0,2 \cdot 0,3 \cdot 10}{0,1 \cdot 0,15}=40 $ А.

Ответ: для того чтобы брусок сдвинулся, необходимо, чтобы по нему протекал ток 40 А.

Дано: расстояние между лодкой и баркасом — $L= 55$ м; масса лодки — $m_1=300$ кг; масса баркаса $m_2=1200$ кг.

Найти: путь, пройденный баркасом до встречи с лодкой — $l_2-?$

Решение. Применим для описания движения закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы тел не изменяется при любых взаимодействиях. До того как стали подтягивать канат, лодка и баркас покоились, значит суммарный импульс системы равен нулю. После взаимодействия лодка и баркас начнут двигаться навстречу друг другу, т.е. приобретут импульсы, которые должны быть к тому же одинаковы по модулю (чтобы их сумма была равна нулю

$m_1v_1=m_2v_2$.

Из этого равенства следует, что лодка и баркас приобретут скорости обратно пропорциональные их массам

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{m_2}{m_1}$

Найдем отношение путей, пройденных лодкой и баркасом, учитывая что от начала движения до встречи они двигались одно и то же время

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{v_1t}{v_2t}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{m_2}{m_1}=\frac{1200}{300}=4$,

$l_1=4l_2$ или $l_2=\frac{l_1}{4}$.

Сумма пройденных лодкой и баркасом путей будет равна первоначальному расстоянию между ними $l_1+l_2=L$. Отсюда получаем уравнение, исключая $l_2$, подставив вместо него связь с расстоянием пройденным лодкой

$4l_2+l_2=L$,

$5l_2=L$,

$l_2=\frac{L}{5}$,

$l_2=\frac{55}{5} =11$ м.

Ответ: до встречи с лодкой, баркас пройдет 11 м.

Дано: путь, пройденный автомобилем — $s=300$ км; средняя скорость — $v=100$ км/ч; мощность двигателя — $N=46 \cdot 10^3$ Вт; удельная теплота сгорания бензина — $q=46 \cdot 10^6$ Дж/кг; КПД двигателя — $\eta =0,36$.

Найти: массу бензина, израсходованного двигателем — $m$.

Решение. КПД теплового двигателя — отношение работы полезной к величине количества теплоты, полученного двигателем от нагревателя. Полезная работа выражается через мощность двигателя

$A_\pi =N \cdot t$.

Количество теплоты, полученное от нагревателя — энергия, выделяющаяся при сгорании топлива. Таким образом КПД, выражается формулой

$\eta =\frac{N \cdot t}{qm}$.

Из последней формулы выражаем массу затраченного топлива

$m=\frac{Nt}{\eta q}$.

Время движения найдем из скорости и пройденного пути

$t=\frac{s}{v}\Rightarrow t=\frac{300}{100}=3$ ч $=10800$ с.

$m=\frac{46 \cdot 10^3 \cdot 10800}{0,36 \cdot 46 \cdot 10^6}=30$ кг.

Ответ: масса израсходованного бензина — 30 кг.

Дано: масса тела — $m=2$ кг; начальная скорость — $v_0=1$ м/с; сила, действующая на тело — $F = 10$ Н; путь, пройденный телом — $s=1,5$ м.

Найти: скорость тела — $v-?$

Решение. Так как сила действует в направлении движения, то скорость тела будет увеличиваться, проекция ускорения положительна. Запишем формулу перемещения при равноускоренном движении (без времени, оно нам не задано) и выразим оттуда скорость тела

$s=\frac{v^2-v^2_0}{2a}\Rightarrow v^2-v^2_0=2as\Rightarrow v^2=2as+v^2_0$,

$v=\sqrt{2as+v^2_0}$.

Осталось найти ускорение. Согласно второму закону Ньютона, ускорение прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела

$a=\frac{F}{m}$,

$a=\frac{10}{2}=5$ м/с².

Находим скорость

$v=\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 1,5+1^2}=4$ м/с.

Ответ: скорость тела станет равной 4 м/с.

Дано: массы шаров — $m_1=6$ кг и $m_2=4$ кг; количество теплоты, которое выделилось при ударе — $Q=19,2$ Дж; тела движутся с одинаковыми по модулю скоростями — $v_1=v_2=v$.

Найти: скорость тел до удара — $v-?$

Решение. При взаимодействии тел (неупругий удар) справедлив закон сохранения импульса. С учетом того, что тела будут двигаться вместе, закон сохранения импульса в векторной форме будет иметь вид

$m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{v}_3$.

После взаимодействия шары продолжат двигаться в сторону, в которую двигался шар с большим импульсом, поскольку скорости шаров одинаковы, а масса первого больше, то шары будут двигаться в сторону движения первого шара. С учетом знаков проекций векторов (с учетом направлений векторов) перепишем уравнение из векторного вида в модулях 

$m_1v_1-m_2v_2=(m_1+m_2)v_3$.

Выразим скорость, с которой будут двигаться шары, через первоначальную скорость их движения

$v_3=\frac{m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1v-m_2v}{m_1+m_2}=v \cdot \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$,

$v_3=v \cdot \frac{6-4}{6+4}=0,2v$.

Количество теплоты, которое выделяется при ударе равно изменению кинетической энергии системы тел в результате удара. До удара кинетическая энергия системы тел была равна сумме кинетических энергий тел

$E_1=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{m_1v^2}{2}+\frac{m_2v^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$,

$E_2=\frac{(m_1+m_2)v_3^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)(0,2v)^2}{2}$.

Составим уравнение, воспользовавшись условием $Q=E_1-E_2$ и найдем искомую скорость

$Q=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)(0,2v)^2}{2}$

$Q=\frac{(m_1+m_2)(v^2-0,04v^2)}{2}$

$Q=\frac{(m_1+m_2)0,96v^2}{2}$

$Q=0,48(m_1+m_2)v^2$

$v=\sqrt{\frac{Q}{0,48(m_1+m_2)}}$

$v=\sqrt{\frac{19,2}{0,48(6+4)}}=2$ м/с.

Ответ: скорости шаров равны 2 м/с.

Дано: масса бруска — $m=0,1$ кг; ускорение бруска — $a=2$ м/с²; коэффициент трения — $\mu =0,1$.

Найти: найти силу с которой тянут брусок — $F-?$

Решение. В вертикальном направлении на тело действуют две силы, которые компенсируют друг друга: сила тяжести и реакции опоры

$N=mg$.

В горизонтальном направление на тело действуют две противоположно направленные силы: трения и сила с которой тянут брусок. Поскольку брусок должен двигаться с ускорением, то согласно второму закону Ньютона, должно выполняться условие

$F-F_{\tau p}=ma$.

Найдем модуль силы трения

$F_{\tau p}=\mu N=\mu mg$.

Подставим в уравнение и найдем искомую силу 

$F=ma+\mu mg=m(a+\mu g)$,

$F=0,1 \cdot (2+0,1 \cdot 10)=0,3$ Н.

Ответ: для того, чтобы тянуть брусок с ускорением, необходимо приложить силу 0,3 Н.

Дано: плотность воды — $\rho _1=1000$ ; плотность спирта — $\rho _2=800$ ; плотность ртути — $\rho =13600$ ; высота столбика воды — $h_1=0,8$ м; высота столбика спирта — $h_2=0,15$ м

Найти: высоту столбика ртути — $h-?$

Решение. Для равновесия жидкости в сообщающихся сосудах необходимо равенство давлений в правом и левом коленях сосуда. Иначе говоря, столбик спирта не может компенсировать давление воды в другом колене сосуда, поэтому ему «помогает» ртуть, создавая давление, компенсирующее недостающее давление спирта, т.е. выполняется равенство: давление воды ($p_1$) равно сумме давлений спирта ($p_2$) и ртути ($p$)

$p_1=p_2+p$,

$\rho _1 g h_1 = \rho _2 g h_2+\rho gh$.

Сокращаем общий множитель $g$ и находим неизвестную величину (все что с неизвестной в одну сторону, все что известно в другую)

$\rho _1 h_1 — \rho _2 h_2=\rho h$,

$h=\frac{\rho _1 h_1 — \rho _2 h_2}{\rho}$,

$h=\frac{1000 \cdot 0,8 — 800 \cdot 0,15}{13600}=0,05$ м $=5$ см.

Ответ: разность уровней ртути в сосудах будет составлять 5 см.

Дано: масса автомобиля — $m=1000$ кг; начальная скорость — $v_0=20$ м/с; конечная скорость — $v=0$; пройденный путь — $s=50$ м.

Найти: силу сопротивления движению — $F-?$

Решение. Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа силы сопротивления будет равна изменению кинетической энергии. Кинетическая энергия в начале торможения 

$E_1=\frac{mv^2}{2}$.

Кинетическая энергия в конце пути $E_2=0$.

Работа силы сопротивления

$A=-Fs$.

Теорема об изменении кинетической энергии

$A=E_2-E_1$,

$-Fs=0-\frac{mv^2}{2}$,

$F=\frac{mv^2}{2s}$,

$F=\frac{1000 \cdot 20^2}{2 \cdot 50}=4000$ Н.

Ответ: сила сопротивления движению равна 4000 Н.

Дано: начальная скорость — $v_0=10$ м/с; скорость тела на вершине горки — $v=4$ м/с; 

Найти: высоту горки — $h-?$

Решение. Поскольку трением можно пренебречь, то при движении тележки будет выполняться закон сохранения механической энергии: при движении тележки, ее полная механическая энергия изменяться не будет.

Полная механическая энергия в начале горки равна его кинетической энергии, потенциальная энергия равна нулю

$E_1=\frac{mv_0^2}{2}$.

Полная механическая энергия на вершине горки равна сумме его кинетической энергии и потенциальной энергии

$E_1=\frac{mv^2}{2}+mgh$.

Так как энергия сохраняется, то $E_1=E_2$. Составим уравнение

$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mgh$.

Сокращаем общий множитель — массу тела $m$

$\frac{v_0^2}{2}=\frac{v^2}{2}+gh$.

Все что известно переносим в одну сторону, приводим к общему знаменателю и находим высоту

$\frac{v_0^2}{2}-\frac{v^2}{2}=gh$,

$\frac{v_0^2-v^2}{2}=gh$,

$h=\frac{v_0^2-v^2}{2g}$,

$h=\frac{10^2-4^2}{2 \cdot 10}=4,2$ м.

Ответ: высота горки 4,2 м.

Дано: начальная скорость движения — $v_0=20$ м/с; конечная скорость — $v=0$; пройденный путь — $s=50$ м; сила сопротивления движению — $F=4000$ Н.

Найти: масса автомобиля — $m-?$

Решение. Работа силы сопротивления будет равна изменению кинетической энергии автомобиля, согласно теореме об изменении кинетической энергии

$A=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2}=-\frac{mv_0^2}{2}$

Также работа силы сопротивления есть величина равная

$A=-Fs$.

Знак минус указывает на то, что векторы силы и перемещения направлены противоположно. Приравниваем правые части и находим массу автомобиля

$-\frac{mv_0^2}{2}=-Fs$,

$m=\frac{2Fs}{v_0^2}$

$m=\frac{2 \cdot 4000 \cdot 50}{20^2}=1000$ кг.

Ответ: масса автомобиля 1000 кг.

Дано: площадь сечения проволоки — $s=2$ мм² $=2 \cdot 10^{-6}$ м²; напряжение на концах проводника — $U=24$ В; сила тока в проводнике — $I=4$ А; плотность железа — $\rho =7800$ кг/м³; удельное сопротивление железа — $\mu =0,1$ Ом мм²/м.

Найти: массу железной проволоки — $m-?$

Решение. Выразим массу проволоки через плотность и объем, учитывая, что объем может быть найден как $V=sl$

$m=\rho V=\rho sl$.

Длину проволоки можно узнать из формулы расчета сопротивления проводника

$R=\frac{\mu l}{s}\Rightarrow l=\frac{Rs}{\mu }$.

Сопротивление проводника можно узнать через напряжение и силу тока

$R=\frac{U}{I}$,

$R=\frac{24}{4}=6$ Ом.

Находим длину проводника и массу

$l=\frac{6 \cdot 2}{0,1 }=120$ м,

$m=7800 \cdot 2 \cdot 10^{-6} \cdot 120\approx 1,9$ кг.

Ответ: масса проволоки примерно 1,9 кг.

Дано: сопротивление проводника — $R=2,6$ Ом; индукция магнитного поля — $B=0,02$ Тл; напряжение на концах проводника — $U=5,2$ В; изменение натяжения нитей — $\Delta F=0,02$ Н.

Найти: длина проводника — $l-?$

Решение. Натяжение нитей уменьшается в следствии действия силы Ампера со стороны магнитного поля при пропускании тока через проводник. Сила Ампера «приподнимает» проводник, уменьшая натяжение нитей. Значит модуль силы Ампера и равен изменению натяжения нитей $F_A=\Delta F$.

Распишем формулу нахождения модуля силы Ампера и выразим из нее длину проводника

$F_A=IBl=\Delta F$,

$l=\frac{\Delta F}{IB}$.

Силу тока найдем по закону Ома

$I=\frac{U}{R}$,

$I=\frac{5,2}{2,6}=2$ А.

$l=\frac{0,02}{2 \cdot 0,02}=0,5$ м.

Ответ: длина проводника 0,5 м.

Дано: удельная теплоемкость стали (табличное значение, взятое из справочных сведений) — $c=500$ Дж/кг⋅ºС; часть энергии, расходуемой на нагревание молота — $\eta =0,5$; изменение температуры детали — $\Delta t=0,1$ ºС.

Найти: с какой высоты падает молот — $h-?$.

Решение. При работе молота происходит цепочка превращений энергии: потенциальная энергия молота → кинетическая энергия молота → внутренняя энергия молота и детали. На нагревание детали уходит $\eta =0,5$ энергии, выделяющейся при ударе, значит это количество теплоты можно найти как часть от той потенциальной энергии, которой обладал молот в момент начала движения

$cm\Delta t=\eta mgh$.

Сокращаем общий множитель — массу молота $m$ и находим высоту с которой падает молот

$c\Delta t=\eta gh$,

$h=\frac{c\Delta t}{\eta g}$,

$h=\frac{500 \cdot 0,1}{0,5 \cdot 10}=10$ м.

Ответ: молот падает с высоты 10 м.

Дано: масса клина — $M=0,9$ кг; высота клина — $h=0,18$ м; масса шайбы — $m=0,1$ кг.

Найти: скорость шайбы в момент ее перехода на горизонтальную поверхность — $v-?$

Решение. Для описания движения воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Начнем с закона сохранения импульса. До того как шайба стала соскальзывать с клина, он покоился, значит суммарный импульс системы был равен нулю. В момент, когда шайба съезжает с клина и у клина и у шайбы есть скорость, значит они обладают импульсами, сумма которых равна нулю

$m\vec{v}_1+M\vec{v}_2=0$,

$m\vec{v}_1=-M\vec{v}_2$.

Из последнего равенства следует, что импульсы, приобретаемые телами равны по модулю, т.е. $m_1v_1=m_2v_2$. Из этого уравнения следует, что скорость клина равна

$v_2=\frac{mv_1}{M}$.

Запишем теперь закон сохранения энергии: в отсутствии силы трения полная механическая энергия системы тел из меняться не будет. Полная механическая энергия в момент начала движения будет равна потенциальной энергии шайбы

$E_1=mgh$.

Полная механическая энергия в момент съезда шайбы с плоскости равна сумме кинетических энергий шайбы и клина

$E_2=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{Mv_2^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{M}{2} \cdot \left(\frac{mv_1}{M} \right)^2=$

$=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{M}{2} \cdot \frac{m^2v_1^2}{M^2}= \frac{mv_1^2}{2}\left(1+\frac{m}{M} \right)=$

$=\frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{M+m}{M}$.

Так как $E_1=E_2$, то получим равенство

$mgh=\frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{M+m}{M}$

Сокращаем общий множитель — массу шайбы $m$ и находим ее скорость у основания клина

$v_1=\sqrt{\frac{2Mgh}{M+m}}$,

$v_1=\sqrt{\frac{2 \cdot 0,9 \cdot 10 \cdot 0,18}{0,9+0,1}}= 1,8$ м/с.

Ответ: скорость шайбы в момент съезда с клина 1,8 м/с.

Дано: объем свинцового шарика — $V=10^{-8}$ м³; плотность свинца — $\rho =11300$ кг/м³; перемещение шарика — $s=6$ м; плотность воды — $\rho_1 =1000$ кг/м³.

Найти: количество теплоты, которое выделяется при движении шарика — $Q-?$

Решение. Шарик движется равномерно — это означает, что равнодействующая сил приложенных к телу равна нулю. На тело действует три силы: тяжести, Архимеда и сопротивления. Сила тяжести направлена вертикально вниз, сопротивления и Архимеда — вверх. Значит при движении шарика выполняются условия

$m\vec{g}+\vec{F}_A+\vec{F}_c=0$,

$mg=F_A+F_c$.

Количество теплоты, которое выделяется при движении шарика равно модулю работы силы сопротивления $Q=\left|A_c \right|=F_cs$. Найдем силу сопротивления 

$F_c=mg-F_A$,

$F_c=mg-F_A=\rho Vg-\rho _1gV = gV(\rho -\rho _1)$.

Находим количество теплоты, выделившееся при движении шарика

$Q=F_cs=gVs(\rho -\rho _1)$

$Q=10 \cdot 10^{-8} \cdot 6 \cdot (11300-1000)=6,18 \cdot 10^{-3}$ Дж $=6,18$ мДж.

Ответ: количество теплоты, выделившееся при движении шарика равно 6,18 мДж.

Дано: высота с которой шайба начинает движение — $h=0,5$ м.

Найти: радиус окружности — $R-?$

Решение. Поскольку трением можно пренебречь, то при описании движения шайбы можно использовать закон сохранения энергии. В начале пути полная механическая энергия шайбы равна ее потенциальной энергии

$E_1=mgh$.

В точке А полная механическая энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергии (шайба движется с некоторой скоростью, ведь она не должна остановиться и упасть по условию задачи)

$E_2=mgH+\frac{mv^2}{2}$.

Высота, на которую поднимается на высоту $H=2R$, поэтому

$E_2=2mgR+\frac{mv^2}{2}$.

При движении шарика на него будут действовать две силы: реакции и тяжести. Причем, если шарик отрывается, то в момент отрыва сила реакции на него перестает действовать и он начнет движение только под действием силы тяжести. Можно сказать, что в момент отрыва будет выполняться равенство

$mg=ma_c\Rightarrow a_c=g$,

$\frac{v^2}{R}=g$,

$v^2=gR$.

Вернемся к закону сохранения энергии и найдем из него квадрат скорости, т.к. $E_1=E_2$, то 

$mgh=2mgR+\frac{mv^2}{2}$.

Сокращаем массу

$gh=2gR+\frac{v^2}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2

$2gh=4gR+v^2$.

Переносим выражение $4gR$ в одну сторону и выносим общий множитель $2g$ за скобки

$v^2=2g(h-2R)$. 

Составляем уравнение, приравниваем правые части для выражений квадрата скорости

$gR=2g(h-2R)$.

Сокращаем $g$ и находим радиус

$R=2(h-2R)$,

$R=2h — 4R$,

$5R=2h \Rightarrow R=\frac{2h}{5}=0,2$ м.

Ответ: радиус окружности 0,2 м.

Дано: массы шаров — $m_1=6$ кг и $m_2=4$ кг; тела движутся с одинаковыми по модулю скоростями — $v_1=v_2=2$ м/с.

Найти: количество теплоты выделяющееся при ударе — $Q-?$

Решение. При взаимодействии тел (неупругий удар) справедлив закон сохранения импульса. С учетом того, что тела будут двигаться вместе, закон сохранения импульса в векторной форме будет иметь вид

$m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{v}_3$.

После взаимодействия шары продолжат двигаться в сторону, в которую двигался шар с большим импульсом, поскольку скорости шаров одинаковы, а масса первого больше, то шары будут двигаться в сторону движения первого шара. С учетом знаков проекций векторов (с учетом направлений векторов) перепишем уравнение из векторного вида в модулях 

$m_1v_1-m_2v_2=(m_1+m_2)v_3$.

Найдем скорость, с которой будут двигаться шары

$v_3=\frac{m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1v-m_2v}{m_1+m_2}=v \cdot \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$,

$v_3=2 \cdot \frac{6-4}{6+4}=0,4$ м/с.

Количество теплоты, которое выделяется при ударе равно изменению кинетической энергии системы тел в результате удара. До удара кинетическая энергия системы тел была равна сумме кинетических энергий тел

$E_1=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{m_1v^2}{2}+\frac{m_2v^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$,

$E_2=\frac{(m_1+m_2)v_3^2}{2}$.

Найдем количество теплоты, выделившееся при ударе

$Q=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}-\frac{(m_1+m_2)v_3^2}{2}$,

$Q=\frac{(6+4) \cdot 2^2}{2}-\frac{(6+4) \cdot 0,4^2}{2}=19,2$ Дж.

Ответ: количество теплоты, которое выделяется при ударе равно 19,2 Дж.

Дано: массы вагонов — $m_1=m_2=m=20000$ кг; скорость первого вагона — $v_1=2$ м/с; скорость второго вагона — $v_2=1$ м/с; путь пройденный вагонами — $s=25$ м.

Найти: ускорение вагонов после сцепки — $a-?$

Решение. С помощью закона сохранения импульса найдем скорость вагонов после сцепки. До взаимодействия суммарный импульс системы равен сумме импульсов вагонов, после взаимодействия вагоны движутся как единое целое

$m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{v}_3$.

После взаимодействия вагоны продолжат двигаться в сторону, в которую двигался вагон с большим импульсом, поскольку массы вагонов одинаковы, а скорость первого больше, то он обладает большим импульсом, значит вагоны будут двигаться в сторону движения первого вагона. С учетом знаков проекций векторов (учетом направлений векторов) перепишем уравнение из векторного вида в модулях 

$m_1v_1-m_2v_2=(m_1+m_2)v_3$,

$v_3=\frac{m_1v_1-m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{mv_1-mv_2}{m+m}=\frac{m(v_1-v_2)}{2m}=\frac{v_1-v_2}{2}$,

$v_3=\frac{2-1}{2}=0,5$ м/с

Для нахождения ускорения воспользуемся формулой перемещения при прямолинейном равноускоренном движении 

$s_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2a_x}$.

Так как поезд тормозит, то $a_x<0$, конечная скорость равна нулю $v_x=0$, а начальная скорость — $v_3$. С учетом этих замечаний, последнее уравнение примет вид

$s=\frac{-v_{3}^2}{-2a}=\frac{v_{3}^2}{2a}$.

Отсюда найдем ускорение

$a=\frac{v_{3}^2}{2s}$,

$a=\frac{0,5^2}{2 \cdot 25}=0,005$ м/с².

Ответ: ускорение вагонов после сцепки 0,005 м/с².

Дано: массы брусков m₁ = 0,2 кг и m₂ = 0,3 кг; сила с которой тянут бруски — F = 6 Н; угол наклона силы к горизонту — $\alpha =60°$.

Найти: силу натяжения нити — $T-?$

Решение. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.

Силы натяжения $T_1$ и $T_2$ одинаковы по модулю: $T_1=T_2=T$. Силу тяги $\vec{F}$ можно, по правилу параллелограмма, разложить на две $\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2$. Для этих силы выполняется условие

$F_1=F_x = F cos\alpha $,

$F_2= F_y = F sin\alpha $.

Проекции сил натяжения на горизонтальную ось

$T_{1x}=T_1=T$,

$T_{2x}=-T_2=-T$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела, учитывая, что раз бруски связаны нитью, то они будут двигаться с одинаковым ускорением

$m_1\vec{g}+\vec{N}_1+\vec{T}_1=m_1\vec{a}$,

$m_2\vec{g}+\vec{N}_2+\vec{T}_2+\vec{F}=m_2\vec{a}$.

Перепишем уравнения в проекциях векторов на координатную ось $x$,

$m_1g_x+N_{1x}+T_1{x}=m_1a_x$,

$m_2g_x+N_{2x}+T_2{x}+F_x=m_2a_x$

Найдем проекции

$T=m_1a$,

$-T+F cos \alpha =m_2 a$.

Решим полученную систему уравнений. Вначале найдем ускорение тела. Складываем уравнения систему, получим

$F cos \alpha = m_1a + m_2 a$,

$F cos \alpha = (m_1 + m_2) a$,

$a=\frac{F cos \alpha}{m_1 + m_2}$,

$a=\frac{6 \cdot 0,5}{0,2 + 0,3}=6$ м/с².

Находим силу натяжения

$T=0,2 \cdot 6 = 1,2$ Н.

Ответ: сила натяжения нити равна 1,2 Н.

Дано: жесткость троса — $k=10^5$ Н/м; масса автомобиля — $m=1,5 \cdot 10^3$ кг; ускорение автомобиля — $a=2$ м/с²; удлинение троса — $\Delta l=9 \cdot 10^{-2}$ м.

Найти: коэффициент трения — $\mu$.

Решение. В вертикальном направлении на тело действуют две компенсирующие друг друга силы: тяжести и реакции опоры

$N=mg$.

В горизонтальном направлении — сила упругости со стороны троса и сила трения, препятствующая движению. Направление силы упругости совпадает с направлением ускорения, поэтому, согласно второму закону Ньютона

$F_y-F_{\tau \rho }=ma $.

Сила трения: $F_{\tau \rho }= \mu N= \mu mg$.

Сила упругости $F_y=k \Delta l$.

Подставим эти выражения во второй закон Ньютона и найдем коэффициент трения

$k \Delta l — \mu mg =ma$,

$k \Delta l —  ma=\mu mg$,

$\mu = \frac{k \Delta l — ma}{mg}$

$\mu = \frac{10^5 \cdot 9 \cdot 10^{-2} — 1,5 \cdot 10^3 \cdot 2}{1,5 \cdot 10^3 \cdot 10}=0,4$.

Ответ: коэффициент трения 0,4.

Дано: масса стержня — $m=2$ кг; удлинение пружин — $\Delta l_1  = \Delta l_2 = \Delta l =2 \cdot 10^{-2}$ м, жесткости пружин равны $k_1=k_2=k$.

Найти: жесткости пружин — $k$.

Решение. Стержень неподвижен, значит, согласно второму закону Ньютона

$m\vec{g}+\vec{F}_{y1}+\vec{F}_{y2}=0$,

$m\vec{g}= — (\vec{F}_{y1}+\vec{F}_{y2})$

Сила тяжести, действующая на стержень, компенсируется силами упругости, которые действуют на стержень со стороны пружин

$mg=F_{y1}+F_{y2}$.

Жесткости пружин одинаковы, растяжения тоже, значит $F_{y1}=F_{y2}=k \Delta l$. Вернемся к последнему равенству и подставим в него этот результат

$mg=2 k \Delta l$.

Находим жесткость

$k=\frac{mg}{2 \Delta l}$,

$k=\frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2 \cdot 10^{-2}}=500$ Н/м.

Ответ: жесткости пружин 500 Н/м. 

Дано: пройденный путь — $s=142000$ м; сила сопротивления — $F_c=0,03P$; объем израсходованного бензина — $V=15 \cdot 10^{-3}$ м³; плотность бензина — $\rho =710$ кг/м3; удельная теплота сгорания бензина $q=46 \cdot 10^6$ Дж/кг; КПД двигателя — $\eta =0,2$.

Найти: массу автомобиля $m$.

Решение. КПД теплового двигателя — отношение полезной работы ($A$) к количеству теплоты, полученному от нагревателя ($Q$)

$\eta =\frac{A}{Q}$.

Количество теплоты, полученное от нагревателя — энергия, которая выделяется при сгорании топлива

$Q=qm=q\rho V$.

Полезная работа — работа силы тяги, развиваемой двигателем. По условию задачи, автомобиль движется равномерно, значит сила тяги по модулю равна силе сопротивления, действующей на автомобиль при движении

$F=F_c=0,03P$.

Вес тела при движении по горизонтальной поверхности равен силе тяжести $P=mg$, значит

$F=0,03mg$.

Работа силы тяги (полезная работа)

$A=Fs=0,03 mgs$.

Подставим все полученные результаты в формулу КПД и выразим оттуда массу автомобиля

$\eta =\frac{0,03 mgs}{q\rho V}$,

$m =\frac{\eta q\rho V}{0,03 gs}$,

$m =\frac{0,2 \cdot 46 \cdot 10^6 \cdot 710 \cdot 15 \cdot 10^{-3}}{0,03 \cdot 10 \cdot 142000} =2300$ кг.

Ответ: масса автомобиля 2300 кг.

Дано: масса первого шара — $m_1=5$ кг; потеря кинетической энергии — $\eta =0,5$.

Найти: массу второго шара — $m_2$.

Решение. Запишем закон сохранения импульса

$m_1 \vec{v}= (m_1+m_2)\vec{v}_1$,

где $v$ — скорость первого тела до соударения, а $v_1$ — скорость с которой движутся тела вместе после соударения. Так как скорости направлены одинаково, то закон сохранения импульса в модулях будет иметь вид

$m_1 v= (m_1+m_2)v_1$.

Согласно условию, при ударе теряется 50% кинетической энергии, значит кинетическая энергия шаров после удара ($E_2$) будет составлять 50% от первоначальной кинетической энергии первого шара ($E_1$)

$E_2 = \eta E_1$,

$E_1=\frac{m_1v^2}{2}$,

$E_2=\frac{(m_1+m_2) v_1^2}{2}$,

$ \frac{(m_1+m_2) v_1^2}{2} = \eta \frac{m_1v^2}{2}$,

$(m_1+m_2) v_1^2 = \eta m_1v^2$.

Выразим скорость шаров после столкновения из закона сохранения импульса и подставим в полученное выражение из закона сохранения энергии

$v_1=\frac{m_1 v}{m_1+m_2}$,

$(m_1+m_2) \left(\frac{m_1 v}{m_1+m_2} \right)^2 = \eta m_1v^2$,

$(m_1+m_2) \cdot \frac{m_1^2 v^2} {\left(m_1+m_2 \right)^2} = \eta m_1v^2$.

Сокращаем множитель $m_1+m_2$, а также множитель $mv^2$  в правой и левой части

$ \frac{m_1} {m_1+m_2 } = \eta$,

$m_1 = \eta (m_1+m_2)$,

$m_1 = \eta m_1+ \eta m_2$,

$m_1 — \eta m_1 = \eta m_2$,

$m_1(1 — \eta) = \eta m_2$,

$m_2 = \frac{m_1(1 — \eta)}{\eta}$,

$m_2 = \frac{5 \cdot (1 — 0,5)}{0,5}=5$ кг.

Ответ: масса второго шара равна 0,5 кг.