5.9.2. Решение расчетных задач (механика — продолжение)

1. Конькобежец массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении предмет массой 1 кг со скоростью 24 м/с и откатывается на 40 см. Найдите коэффициент трения коньков о лёд.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано:  масса конькобежца — $m_1=60$ кг; масса предмета — $m_2=1$ кг; скорость предмета — $v_2=24$ м/с; расстояние, пройденное конькобежцем — $s=0,4$ м.

Найти: коэффициент трения коньков о лёд — $\mu $.

Решение. В результате броска конькобежец и предмет приобретают импульсы, направленные в противоположные стороны. До броска суммарный импульс системы «конькобежец-предмет» был равен нулю, значит, согласно закону сохранения импульса

$m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=0 $.

Или, в проекциях на горизонтальную ось

$m_1v_1-m_2v_2=0$.

Найдем $v_1$ — начальную скорость с которой конькобежец начинает движение при скольжении

$m_1v_1=m_2v_2$,

$v_1=\frac{m_2v_2}{m_1} $,

$v_1=\frac{1 \cdot 24}{60}= 0,4$ м/с.

Конечная скорость конькобежца равна нулю (он остановился). Из формулы перемещения при прямолинейном равноускоренном движении, с учетом знаков проекций векторов (конькобежец тормозит, проекция ускорения отрицательна), найдем ускорение конькобежца

$s_x=\frac{v_{kx}^2-v_{1x}^2}{2a_x}\Rightarrow s=\frac{-v_1^2}{-2a}=\frac{v_1^2}{2a}$,

$a=\frac{v_1^2}{2s}$,

$a=\frac{0,4^2}{2 \cdot 0,4}=0,2$ м/с2.

Это ускорение конькобежцу будет сообщать горизонтально направленная сила (или силы). Согласно второму закону Ньютона, 

$F=m_1a$.

В горизонтальном направлении на тело действует сила трения (она и сообщает телу ускорение). В вертикальном направлении на тело действуют две силы: тяжести и реакции опоры. Эти силы компенсируют друг друга $N=m_1g$. Тогда для для силы трения получаем

$F=\mu N = \mu m_1g$,

$\mu m_1g= m_1a$,

$ \mu =\frac{a}{g}$,

$ \mu =\frac{0,2}{10}=0,02$.

Ответ: коэффициент трения коньков об лед 0,02.

[свернуть]

2. Электрическая лампа мощностью 40 Вт светит 10 ч. Для обеспечения работы лампы через плотину гидроэлектростанции (ГЭС) должно пройти 8 т воды. КПД ГЭС равен 90%. Какова высота плотины?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано:  мощность лампочки — $P=40$ Вт; время работы лампочки — $t=36000$ с; масса воды, прошедшей через плотину — $m=8000$ кг; КПД ГЭС — $\eta =0,9$.

Найти: высоту плотины — $h$.

Решение. КПД — отношение полезной работы к затраченной. Полезная работа — работа электрического тока в лампе. Найдем ее через мощность лампы. Затраченная работа — работа силы тяжести при падении воды с плотины электростанции вниз. Запишем формулу КПД

$\eta = \frac{P \cdot t }{mgh} $.

Выразим отсюда высоту с которой падает вода

$h=\frac{P \cdot t}{\eta mg}$,

$h=\frac{40 \cdot 36000}{0,9 \cdot 8000 \cdot 10}=20$ м.

Ответ: высота плотины ГЭС равна 20 м. 

[свернуть]

3. При равномерном прямолинейном движении по горизонтальной поверхности автомобиль массой 1,2 т переместился на расстояние 800 м. При этом силой тяги была совершена работа 960 кДж. Чему равен коэффициент трения?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса автомобиля — $m=1200$ кг; путь, пройденный автомобилем — $s=800$ м; работа силы тяги — $A=960000$ Дж.

Найти: коэффициент трения — $\mu $.

Решение. Так как тело равномерно движется, то сила тяги будет равна по модулю силе трения

$F=F_{\tau \rho }=\mu N$.

В вертикальном направлении действуют две компенсирующие друг друга силы: тяжести и реакции опоры 

$N=mg$.

Работа силы тяги — произведение модуля силы тяги на путь $A=F \cdot s$. Подставляем в это уравнение все полученные ранее результаты

$A= \mu N \cdot s$,

$A= \mu mg \cdot s $,

$\mu =\frac{A}{mgs}$,

$\mu =\frac{960000}{1200 \cdot 10 \cdot 800}=0,1$.

Ответ: коэффициент трения 0,1.

[свернуть]

4. Пуля, движущаяся со скоростью 800 м/с, пробила доску толщиной 2,5 см и  на выходе из доски имела скорость 200 м/с. Определите массу пули, если средняя сила сопротивления, воздействующая на пулю в доске, равна 108 кН.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: скорость пули в момент попадания в доску — $v_1=800$ м/с; скорость пули при вылете из доски — $v_2=200$ м/с; толщина доски — $h=2,5 \cdot 10^{-2}$ м; сила сопротивления при движении пули в доске — $F=108 \cdot 10^3$ Н.

Найти: массу пули — $m$.

Решение. Согласно теореме об изменении потенциальной энергии, работа силы сопротивление будет равна изменению кинетической энергии пули

$A=E_{k2}-E_{k1}$,

$A=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$,

$A=\frac{m(v_2^2-v_1^2)}{2}$.

Отсюда находим массу тела

$m=\frac{2A}{v_2^2-v_1^2}$.

Работа силы сопротивления равна $A=-Fs$

$m=-\frac{2Fs}{v_2^2-v_1^2}=\frac{2Fs}{v_1^2-v_2^2}$.

Путь, пройденный пулей в доске равен толщине доски $s=h$, поэтому

$m=\frac{2 \cdot 108 \cdot 10^3 \cdot 2,5 \cdot 10^{-2}}{800^2-200^2}=0,009$ кг $=9$ г.

Ответ: масса пули 9 г.

[свернуть]

5. Самолёт совершает «мёртвую петлю». Чему равен радиус петли, если лётчик в верхней точке петли оказывается в состоянии невесомости при скорости 100  м/с?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: вес летчика в верхней точке — $P=0$; скорость летчика — $v=100$ м/с.

Найти: радиус петли — $R$.

Решение. При равномерном движении по окружности возникает ускорение называемое центростремительным. Вес тела вычисляется по формуле

$\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$.

Согласно условию задачи вес летчика в верхней точке равен нулю, это возможно тогда, когда $m(\vec{g}=\vec{a})$. Отсюда следует, что модуль центростремительного ускорения в верхней точке будет равен $g$. Модуль центростремительного ускорения вычисляется по формуле

$a=\frac{v^2}{R}$.

Отсюда находим радиус окружности

$R=\frac{v^2}{a}=\frac{v^2}{g}$,

$R=\frac{100^2}{10}=1000$ м $=1$ км.

Ответ: радиус «мёртвой петли» 1 км.

[свернуть]

6. Металлический шар упал с высоты h = 26 м на свинцовую пластину массой m= 1 кг и остановился. При этом пластина нагрелась на 3,2 °С. Чему равна масса шара, если на нагревание пластины пошло 80% выделившегося при ударе количества теплоты? Начальная скорость шара равна нулю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: высота, с которой падает шар — $h=26$ м; масса пластины — m= 1 кг; изменение температуры пластины — $\Delta t=3,2$ °С; часть выделившегося количества теплоты, которая пошла на нагревание пластины — $\eta =0,8$; начальная скорость шара — $v_0=0$; удельная теплоемкость свинца — $c=140$ Дж/кг·°С.

Найти: массу шара — $m_1$.

Решение. Количество теплоты, которое выделится при ударе шара о плиту равно разности полной механической энергии в начале и конце движения

$Q=E_1-E_2$.

В начале движения шар находится на некоторой высоте, поэтому обладает потенциальной энергией. Он падает без начальной скорости, поэтому в начале движения у него нет кинетической энергии. Полная механическая энергия в начале движения равна его потенциальной энергии

$E_1=m_1gh$

После того как шар упал и остановился, он не будет обладать ни потенциальной, ни кинетической энергией, значит его полная механическая энергия равна нулю

$E_2=0$.

Количество теплоты, которое выделится при ударе $Q=m_2gh$. Известно, что 80% от этого количества теплоты идет на нагревание пластины

$Q_1=\eta Q= \eta m_1gh$,

где $Q_1$ — количество теплоты, которое получает пластина

$Q_1=cm_2 \Delta t$.

Составляем уравнение и находим из него искомую массу

$cm_2 \Delta t=\eta m_1gh$,

$m_1 = \frac{cm_2 \Delta t}{\eta gh} $,

$m_1 = \frac{140 \cdot 1 \cdot 3,2}{0,8 \cdot 10 \cdot 26} =2$ кг.

Ответ: масса шара 2 кг.

[свернуть]

7. Подъёмный кран поднимает за 10 с равноускоренно груз массой 1140 кг из состояния покоя на высоту 10 м. Электродвигатель крана питается от сети напряжением 380 В и в конце подъёма имеет КПД, равный 60%. Определите силу тока в обмотке электродвигателя.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: время подъема — $t=10$ с; масса груза — $m=1140$ кг; начальная скорость груза — $v_0=0$; высота, на которую подняли груз — $h=10$ м; напряжение на электродвигателе — $U=380$ В; КПД двигателя — $\eta =0,6$.

Найти: силу тока в обмотке — $I$.

Решение. КПД электродвигателя — отношение полезной работы к работе затраченной. Полезная работа — работа, которую совершает электрический двигатель по подъему груза или работа силы тяги

 

Затраченная работа — работа электрического тока в электродвигателе

$A_2=UIt$.

Дорешать

Ответ: 

[свернуть]

8. Объём шара, заполненного гелием, равен 50 м3. Плотность гелия равна 0,18 кг/м3, а плотность воздуха – 1,29 кг/м3. Определите максимальную массу груза, который может поднять этот шар. Массой оболочки шара пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: объем шара — $V=50$ м3; плотность гелия — $\rho_1 = 0,18$ кг/м3; плотность воздуха – $\rho = 1,29$ кг/м3.

Найти: массу груза, который может поднять шар — $m$.

Решение. Воздушный шар поднимает груз, если выполнено условие

$F_A \geq (m+m_1)g$,

где $m_1$ — масса гелия в шаре. Масса груза будет максимальной при выполнении условия

$F_A = (m+m_1)g$.

Массу гелия можно найти через плотность 

$m_1= \rho_1 V$.

Сила Архимеда $F_A=\rho gV$. Подставляем все полученные результаты в уравнение 

$\rho gV = (m+\rho_1 V)g$.

Сокращаем общий множитель $g$ и находим массу груза

$\rho V = m+\rho_1 V$,

$m=\rho V  — \rho_1 V = V( \rho — \rho_1)$,

$m = 50 \cdot ( 1,29 — 0,18)= 55,5$ кг.

Ответ: максимальная масса груза, который может поднять шар 55,5 кг.

[свернуть]

9. Снаряд, движущийся горизонтально, разорвался на два равных осколка по 1 кг каждый. Один осколок продолжил двигаться относительно Земли в прежнем направлении со скоростью 800 м/с, а другой полетел назад со скоростью 400 м/с. Какую скорость имел снаряд в момент разрыва?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: массы осколков — $m=1$ кг; скорость первого осколка — $v_1=800$ м/с; скорость второго осколка — $v_2=400$ м/с.

Найти: скорость снаряда в момент взрыва — $v$.

Решение. Применим закон сохранения импульса для описания движения снаряда, учитывая, что его масса до взрыва равна $2m$

$2m\vec{v}=m\vec{v}_1+m\vec{v}_2$.

Сокращаем общий множитель — $m$

$2\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$.

С учетом знаков проекций последнее уравнение перепишется в виде

$2v=v_1-v_2$.

Находим скорость снаряда в момент взрыва

$v=\frac{v_1-v_2}{2}$,

$v=\frac{800-400}{2}=200$ м/с.

Ответ: скорость снаряда в момент взрыва 200 м/с.

[свернуть]

10. Брусок массой 1,8 кг движется со скоростью 2 м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу бруску летит пуля массой 9 г, которая пробивает брусок насквозь и вылетает из него со скоростью 500 м/с. При этом брусок останавливается. Чему равна начальная скорость пули?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано:  масса бруска — $m_1=1,8$ кг; скорость бруска — $v_1=2$ м/с; масса пули — $m_2=9 \cdot 10^{-3}$ кг; скорость пули при вылете из бруска — $v_2=500$ м/с.

Найти: скорость пули до попадания в брусок — $v$.

Решение. Применим закон сохранения импульса для описания движения тел

$m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}=m_2\vec{v}_2$.

С учетом знаков проекций последнее уравнение перепишется в виде

$-m_1v_1+m_2v=m_2v_2$.

Из этого уравнения находим первоначальную скорость пули

$m_2v=m_1v_1+m_2v_2$,

$v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_2}$,

$v=\frac{1,8 \cdot 2+ 9 \cdot 10^{-3} \cdot 500}{9 \cdot 10^{-3}} =900$ м/с.

Ответ: скорость пули до попадания в брусок 900 м/с.

[свернуть]

11. С высоты 2 м вертикально вниз бросают мяч со скоростью 6,3 м/с. Абсолютно упруго отразившись от горизонтальной поверхности, мяч поднимается вверх. Чему равна максимальная высота подъёма мяча над горизонтальной поверхностью? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: начальная высота с которой бросили мяч — $h_1=2$ м; начальная скорость с которой бросили мяч — $v_0=6,3$ м/с.

Найти: высоту на которую поднимется мяч — $h_2$.

Решение. Поскольку при движении мяча сопротивлением воздуха можно пренебречь и мяч отразился упруго, то полная механическая энергия в процессе движения мяча не изменяется

Полная механическая энергия в момент броска

$E_1=mgh_1+\frac{mv_0^2}{2}$.

Полная механическая энергия в конце движения

$E_2=mgh_2$.

Приравниваем $E_1$ и $E_2$

$mgh_1+\frac{mv_0^2}{2}=mgh_2$,

$gh_1+\frac{v_0^2}{2}=gh_2$,

$h_2=h_1+\frac{v_0^2}{2g}$,

$h_2=2+\frac{6,3^2}{2 \cdot 10}\approx 4$ м.

Ответ: высота на которую поднимется мяч 4 м.

[свернуть]

12. Бетонную плиту объёмом 0,5 м3 равномерно подняли на некоторую высоту. Чему равна высота, на которую подняли плиту, если совершённая при этом работа равна 23 кДж? Плотность бетона 2000 кг/м3.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: объем плиты — $V=0,5$ м3; работа силы с которой действуют на плиту, чтобы поднять ее — $A=23000$ Дж; плотность бетона — $\rho =2300$ кг/м3.

Найти: высоту на которую подняли плиту — $h$.

Решение. Плиту поднимают равномерно, значит, сила, которую прикладывают к плите равна по модулю силе тяжести

$F=mg$.

Работа этой силы будет равна 

$A=Fs=mgh$.

Массу плиты найдем через плотность

$m= \rho V$.

Подставляем в формулу работы и выражаем высоту

$A= \rho V gh$

$h = \frac{A}{\rho gV }$,

$h = \frac{23000}{2300 \cdot 10 \cdot 0,5 } =2$ м.

Ответ: высота на которую подняли плиту 2 м.

[свернуть]

13. На тело, двигавшееся вдоль оси OX инерциальной системы отсчёта со скоростью 2 м/с, начала действовать постоянная сила 3 Н, направленная параллельно этой оси. Через 1 с скорость тела увеличилась до 5 м/с. Какова масса этого тела?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: начальная скорость — $v_0=2$ м/с; сила, действующая на тело — $F=3$ Н; время действия силы — $t=1$ с; конечная скорость — $v=5$ м/с.

Найти: массу тела — $m$.

Решение. Найдем ускорение с которым будет двигаться тело под действием силы $F$

$a=\frac{v-v_0}{t}$,

$a=\frac{5-2}{1}=3$ м/с2.

Из второго закона Ньютона найдем массу

$m=\frac{F}{a}$,

$m=\frac{3}{3}=1$ кг.

Ответ: масса тела 1 кг.

[свернуть]

14. С какой скоростью движется электровоз, если при этой скорости он развивает силу тяги, равную 336 кН? Сила тока в обмотке электродвигателя равна 1200 А, а напряжение сети 3000 В. КПД двигателя электровоза 84%.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: сила тяги, действующая на поезд — $F=336 \cdot 10^3$ Н; сила тока в обмотке электродвигателя — $I=1200$ А; напряжение в сети — $U=3000$ В; КПД двигателя электровоза — $\eta =0,84$.

Найти:  скорость движения электровоза — $v$.

Решение. КПД двигателя — отношение полезной мощности к затраченной. Полезная мощность — мощность, которую развивает сила тяги по перемещению поезда

$N=Fv$.

Затраченная мощность — мощность электрического тока в двигателе поезда

$P=UI$.

Составим формулу нахождения КПД и выразим оттуда скорость

$\eta =\frac{Fv}{UI}$,

$v =\frac{\eta UI}{F}$,

$v =\frac{0,84 \cdot 3000 \cdot 1200}{336 \cdot 10^3}=9$ м/с.

Ответ: скорость поезда 9 м/с.

[свернуть]

15. Тело массой 100 г движется в горизонтальном направлении со скоростью 5 м/с и догоняет тело массой 300 г, движущееся по той же прямой в том же направлении со скоростью 1 м/с. Определите скорость тел после удара, если они стали двигаться как единое целое.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса первого тела — $m_1=0,1$ кг; масса второго тела — $m_2=0,3$ кг; скорость первого тела до удара — $v_1=5$ м/с; скорость второго тела до удара — $v_2=1$ м/с.

Найти: скорость тел после удара — $v_3$.

Решение. При взаимодействии тел (неупругий удар) применим закон сохранения импульса. С учетом того, что тела будут двигаться вместе, закон сохранения импульса в векторной форме будет иметь вид

$m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{v}_3$.

После взаимодействия шары продолжат двигаться в прежнюю сторону, поэтому с учетом знаков проекций векторов (с учетом направлений векторов) уравнение будет выглядеть так

$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v_3$.

Находим скорость совместного движения тел

$v_3=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$,

$v_3=\frac{0,1 \cdot 5 + 0,3 \cdot 1}{0,1+0,3}=2$ м/с.

Ответ: скорость движения тел после удара 2 м/с.

[свернуть]

16. Небольшой деревянный (сосна) шарик падает в воду с высоты 1,2 м относительно поверхности воды. Определите глубину погружения шарика. Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: высота с которой падает шарик — $h=1,2$ м; плотность воды — $\rho =1000$ кг/м3; плотность сосны — $\rho_1 =400$ кг/м3.

Найти: глубину погружения шарика — $H$.

Решение. При падении шарика в воздухе, его потенциальная энергия переходит в кинетическую

$mgh=\frac{mv^2}{2}$,

$v^2=2gh$.

При движение тела в воде на него будут действовать сила Архимеда и тяжести. Поскольку плотность сосны меньше, чем плотность воды, то при полном погружении шарика, сила Архимеда по модулю будет больше, чем сила тяжести. Поэтому шарик будет тормозить. Согласно второму закону Ньютона

$F_A-mg=ma$.

Модуль силы Архимеда: $F_A= \rho gV$, где $V$ — объем шарика. Масса шарика: $m= \rho_1 V$. Подставим эти выражения в последнее уравнение

$\rho gV — \rho_1 V g= \rho_1 V a$,

сокращаем общий множитель $V$

$\rho g — \rho_1  g= \rho_1  a$.

Находим ускорение, разделив обе части уравнения на $\rho_1$

$a=\frac{\rho }{\rho_1}g-g=g\left(\frac{\rho }{\rho _1}-1 \right)$,

$a=10 \cdot \left(\frac{1000}{400}-1 \right)=15$ м/с2.

Путь, пройденный шариком при торможении до полной остановки ($v_k=0$)

$H=\frac{v^2-v_k^2}{2a}=\frac{v^2}{2a}=\frac{2gh}{2a}=\frac{gh}{a}$,

$H=\frac{10 \cdot 1,2}{15}=0,8$ м.

Ответ: шарик погрузится на глубину 0,8 м.

[свернуть]

17. Тело массой 1,5 кг лежит на горизонтальном столе. В некоторый момент на него начинает действовать сила, направленная вертикально вверх и равная по модулю 21 Н. Чему будет равен модуль скорости этого тела через 2 с после начала действия силы?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса тела — $m=1,5$ кг; сила, действующая на тело — $F=21$ Н; начальная скорость движения — $v_0=0$; время движения — $t=2$ с.

Найти: скорость тела — $v$.

Решение. На тело в процессе движения будут действовать две противоположно направленные силы: тяжести и сила с которой тянут тело вверх. Тело будет двигаться с ускорением, также направленным вверх. Согласно второму закону Ньютона

$F-mg=ma$.

Найдем ускорение с которым движется тело

$a=\frac{F}{m}-g$,

$a=\frac{21}{1,5}-10=4$.

Скорость тела при равноускоренном движении из состояния покоя

$v=at$,

$v=4 \cdot 2=8$ м/с.

Ответ: тело будет двигаться ос скоростью 8 м/с.

[свернуть]

18. На брусок массой 500 г, лежащий на шероховатом горизонтальном столе, начали действовать горизонтально направленной силой 1,5 Н, в результате чего брусок приобрёл ускорение 0,5 м/с2. Чему равен коэффициент трения бруска о стол?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса бруска — $m=0,5$ кг; ускорение бруска — $a=0,5$ м/с2; сила с которой тянут тело — $F=1,5$ Н.

Найти: коэффициент трения — $\mu$.

Решение. В вертикальном направлении на тело действуют две силы, которые компенсируют друг друга: сила тяжести и реакции опоры

$N=mg$.

В горизонтальном направление на тело действуют две противоположно направленные силы: трения и сила с которой тянут брусок. Поскольку брусок движется с ускорением, то согласно второму закону Ньютона, должно выполняться условие

$F-F_{\tau p}=ma$.

Найдем модуль силы трения

$F_{\tau p}=\mu N=\mu mg$.

Подставим в уравнение и найдем коэффициент трения

$F — \mu mg =ma$,

$F — ma =\mu mg$,

$\mu = \frac{F — ma}{mg}$,

$\mu = \frac{1,5 — 0,5 \cdot 0,5}{0,5 \cdot 10}=0,25$.

Ответ: коэффициент трения равен 0,25.

[свернуть]

19. Брусок массой 100 г, подвешенный на легкой нити, поднимают вертикально вверх с ускорением, равным по модулю 1 м/с2 и направленным вверх. Чему равен модуль силы натяжения нити?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса бруска — $m=0,1$ кг; ускорение бруска — $a=1$ м/с2.

Найти: силу натяжения нити — $T$.

Решение. В данном случае сила натяжения нити будет равна весу тела. Вес тела, движущегося с ускорением рассчитывается по формуле

$\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$.

Так как ускорение бруска направлено вверх, то 

$T= P=m(g+a)$,

$T=0,1 \cdot (10+1)=1,1$ Н.

Ответ: сила натяжения нити 1,1 Н.

[свернуть]

20. Троллейбус массой 11 т движется равномерно прямолинейно со скоростью 36 км/ч. Найдите потребляемое напряжение, если сила тока в обмотке электродвигателя составляет 40 А. Коэффициент трения равен 0,02. Тепловыми потерями в электродвигателе пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса троллейбуса — $m=11 \cdot 10^3$ кг; скорость троллейбуса — $v=10$ м/с; сила тока в обмотке двигателя — $I=40$ А; коэффициент трения — $\mu=0,02$.

Найти: потребляемое напряжение — $U$.

Решение. Мощность, которую развивает сила тяги по перемещению троллейбуса

$A_1=Fv$.

Поскольку троллейбус движется равномерно, то сила тяги будет по модулю равна силе трения $F=\mu mg$.

Мощность электрического тока в двигателе поезда

$A_2=UI$.

Поскольку тепловыми потерями можно пренебречь, то работа силы тяги будет равна работе электрического тока

$\mu mg v=UI$,

$U =\frac{\mu mg v}{I}$,

$U =\frac{0,02 \cdot 11 \cdot 10^3 \cdot 10 \cdot 10}{40} =550$ В.

Ответ: напряжение в обмотке двигателя 550 В.

[свернуть]

21. Поезд, двигаясь со скоростью 36 км/ч, начал торможение. Сила трения постоянна и равна 2·105 Н. За одну минуту поезд прошел путь 510 м. Чему равна масса поезда?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: начальная скорость поезда — $v_0=10$ м/с; модуль силы трения — $F=2 \cdot 10^5$ Н; время движения — $t=60$ с; пройденный путь — $s=510$ м.

Найти: массу поезда — $m$.

Решение. Из второго закона Ньютона

$m=\frac{F}{a}$.

Ускорение с которым движется поезд найдем из формулы перемещения. С учетом того, что поезд тормозит и поэтому проекция ускорения отрицательна, получим

$s=v_0t-\frac{at^2}{2}$,

$\frac{at^2}{2}=v_0t-s$,

$a=\frac{2}{t^2} \cdot (v_0t-s)= \frac{2(v_0t-s)}{t^2}$,

$a= \frac{2(10 \cdot 60 -510)}{60^2}=0,05$ м/с2,

$m=\frac{2 \cdot 10^5}{0,05}=4 \cdot 10^6$ кг $=4000$ т.

Ответ: масса поезда 4000 т.

[свернуть]

22. К пружине лабораторного динамометра ученик подвесил металлический цилиндр объемом 20 см3. Какими будут показания динамометра при полном погружении цилиндра в воду, если известно, что в воздухе показания динамометра составляли 1,6 Н?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: объем тела — $V=20 \cdot 10^{-6}$ м3; вес тела в воздухе — $P_1=1,6$ Н; плотность воды — $\rho =10^3$ кг/м3.

Найти: вес цилиндра в воде — $P_2$.

Решение. Вес цилиндра в воде уменьшится в результате действия на него силы Архимеда

$P_2=P_1-F_A$.

Модуль силы Архимеда $F_A=\rho gV$. Находим вес цилиндра

$P_2=P_1-\rho gV$,

$P_2=1,6 -10^3 \cdot 10 \cdot 20 \cdot 10^{-6}=1,4$ Н.

Ответ: вес цилиндра в воде (показания динамометра) 1,4 Н.

[свернуть]

23. Какую силу необходимо приложить к свободному концу верёвки, чтобы с помощью неподвижного блока равномерно поднять груз массой 10 кг, если коэффициент полезного действия этого механизма равен 80%?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: масса груза — $m=10$ кг; КПД блока — $\eta =0,8$.

Найти: силу, которую нужно приложить, чтобы поднять груз — $F$.

Решение. КПД механизма — отношение полезной работы к работе затраченной. Полезная работа — работа по поднятию груза на высоту $h$. Она будет равна модулю работы силы тяжести, действующей на груз

$A_1=mgh$.

Затраченная работа — работа, которую совершает сила, приложенная к свободному концу веревки, с помощью которой мы поднимаем груз. Неподвижный блок не дает выигрыша в силе, а значит и проигрыша в расстоянии. Это означает, что если груз поднимется на высоту $h$, то свободный конец веревки также поднимется на высоту $h$. Значит, затраченная работа

$A_2=F \cdot h$.

Подставляем работы в формулу КПД, выполняем преобразования и выражаем искомую силу

$\eta =\frac{mgh}{F \cdot h}=\frac{mg}{F}$,

$F =\frac{mg}{ \eta}$,

$F =\frac{10 \cdot 10}{ 0,8}=125$ Н.

Ответ: чтобы поднять груз нужно приложить силу 125 Н.

[свернуть]

24. Брусок высотой h = 12 см плавает в жидкости, погрузившись в неё наполовину. На какую глубину погрузится в ту же жидкость брусок таких же размеров, но изготовленный из материала вдвое меньшей плотности?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: высоты кубиков — $h=12$ см; плотность первого бруска в два раза больше плотности второго бруска — $\rho _1=2\rho _2$; глубина погружения первого кубика — $h_1=0,5h=6$ см.

Найти: глубину погружения второго кубика — $h_2$.

Решение. Установим зависимость глубины погружения бруска в воду от плотности вещества бруска. Так как брусок плавает на поверхности воды, то выполняются равенства

$mg=F_A$,

$mg=\rho gV$,

где $\rho$ — плотность воды, а $V_1$ — объем погруженной части бруска в жидкость. Объем погруженной части бруска можно выразить через площадь основания бруска и глубину погружения: $V=Sh_1$, а массу бруска через его плотность и объем $m=\rho_1 V= \rho_1 Sh$. Подставляем полученные результаты в уравнение плавания тела

$\rho_1 Sh g=\rho g Sh_1$.

Сокращаем одинаковые множители и находим глубину погружения

$h_1=\frac{\rho_1 h}{\rho}$.

Для второго бруска будет получено аналогичное выражение

$h_2=\frac{\rho_2 h}{\rho}$

Найдем отношение глубины погружения первого бруска к глубине погружения второго бруска

$\frac{h_1}{h_2}=\frac{\rho_1 h}{\rho}:\frac{\rho_2 h}{\rho}=\frac{\rho_1 h}{\rho} \cdot \frac{\rho}{\rho_2 h}=\frac{\rho_1}{\rho_2}$,

$\frac{h_1}{h_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{2\rho _2}{\rho _2}=2$.

Последнее равенство показывает, что глубина погружения второго бруска в два раза меньше, чем первого, т.е. равна 3 см.

Ответ: глубина погружения второго бруска 3 см.

[свернуть]

25. Гиря падает на землю, ударяется о препятствие и нагревается от 30 °С до 100 °С. Чему была равна скорость гири перед ударом? Считать, что всё количество теплоты, выделяемое при ударе, поглощается гирей. Удельная теплоёмкость вещества, из которого изготовлена гиря, равна 140 Дж/кг⋅°С.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: начальная температура гири — $t_1=30$ °С; конечная температура гири — $t_2=100$ °С; удельная теплоемкость вещества гири — $c=140$ Дж/кг⋅°С.

Найти: скорость гири перед ударом — $v$.

Решение. Количество теплоты, которое выделяется при ударе гири, будет равно изменению полной механической энергии гири. Перед ударом гиря обладала кинетической энергией. После удара ее механическая энергия станет равной нулю (гиря остановилась). Поэтому изменение механической энергии будет равно ее кинетической энергии. Значит

$Q=\frac{mv^2}{2}$,

$cm(t_2-t_1)=\frac{mv^2}{2}$,

$c(t_2-t_1)=\frac{v^2}{2}$,

$2c(t_2-t_1)=v^2$,

$v=\sqrt{2c(t_2-t_1)}$,

$v=\sqrt{2 \cdot 140 \cdot (100-30)}=140$ м/с.

Ответ: скорость гири перед ударом 140 м/с.

[свернуть]

26. Стальной осколок, падая из состояния покоя с высоты 103 м, у поверхности Земли имел скорость 40 м/с. На сколько повысилась температура осколка, если считать, что изменение его внутренней энергии произошло в результате совершения работы сил сопротивления воздуха?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: начальная скорость поезда — $v_0=0$; высота с которой падает осколок — $h=103$ м; скорость осколка у поверхности Земли — $v=40$ м/с; удельная теплоемкость стали — $c=500$ Дж/кг⋅°С.

Найти: изменение температуры осколка — $\Delta t$.

Решение. Количество теплоты, которое получает осколок будет равно изменению механической энергии осколка

$Q=E_1-E_2$.

Полная механическая энергия в начальный момент времени

$E_1=mgh$.

Полная механическая энергия в момент падения на Землю

$E_2=\frac{mv^2}{2}$.

Количество теплоты, которое получает осколок $Q=cm\Delta t$. Подставляем все полученные выражения в уравнение и решаем его относительно неизвестной

$cm\Delta t=mgh-\frac{mv^2}{2}$,

$c\Delta t=gh-\frac{v^2}{2}$,

$c\Delta t=\frac{2gh-v^2}{2}$,

$\Delta t=\frac{2gh-v^2}{2c}$,

$\Delta t=\frac{2 \cdot 10 \cdot 103-40^2}{2 \cdot 500}=0,46$ °С.

Ответ: осколок нагрелся на 0,46 °С.

[свернуть]

27. Свинцовая пуля, подлетев к преграде со скоростью υ1=200  м/с, пробивает её и вылетает со скоростью υ2=100  м/с. При этом пуля нагревается на 75 ºС. Какая часть выделившегося количества теплоты пошла на нагревание пули?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: скорость пули при подлете к преграде — $v_1=200$ м/с; скорость пули после прохождения преграды — $v_2=100$ м/с; удельная теплоемкость свинца — $c=140$ Дж/кг⋅°С; изменение температуры пули — $\Delta t=75$ °С.

Найти: Какая часть выделившегося количества теплоты пошла на нагревание пули — $\frac{Q_1}{Q}$.

Решение. Количество теплоты, которое выделяется при прохождении пулей преграды будет равно изменению кинетической энергии пули

$Q=\frac{mv_1^2}{2}-\frac{mv_2^2}{2}=\frac{m(v_1^2-v_2^2)}{2}$.

Количество теплоты, которое получает пуля $Q_1=cm\Delta t$. Находим отношение

$\frac{Q_1}{Q}=cm\Delta t:\frac{m(v_1^2-v_2^2)}{2}=\frac{2c\Delta t}{v_1^2-v_2^2}$,

$\frac{Q_1}{Q}=\frac{2 \cdot 140 \cdot 75}{200^2-100^2}=0,7$.

Ответ: на нагревание пули пошло 70% количества теплоты, выделившегося при движении пули.

[свернуть]

28. Два одинаковых медных шара получили одинаковую энергию, в результате чего первый шар нагрелся на 8 °С, оставаясь неподвижным, а второй, не нагреваясь, приобрёл некоторую скорость. Какова эта скорость?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: массы шаров одинаковы — $m_1=m_2=m$; удельная теплоемкость меди — $c=400$ Дж/кг⋅°С; изменение температуры первого шара — $\Delta t=8$ °С.

Найти: скорость второго шара — $v$.

Решение. Энергия, полученная первым шаром, пошла на его нагревание. А энергия, полученная вторым — на изменение его кинетической энергии. На основании этого можем записать

$cm\Delta t=\frac{mv^2}{2}$,

$c\Delta t=\frac{v^2}{2}$,

$2c\Delta t=v^2$,

$v=\sqrt{2c\Delta t}$,

$v=\sqrt{2 \cdot 400 \cdot 8}=80$ м/с.

Ответ: второй шар приобретет скорость 80 м/с.

[свернуть]

29. Какая часть энергии падающей воды идёт на её нагревание, если температура воды у основания водопада превышает температуру воды у его вершины на 0,2 °С? Высота водопада составляет 100 м.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг⋅°С; изменение температуры воды — $\Delta t=0,2$ °С; высота водопада — $h=100$ м.

Найти: какая часть энергии падающей воды идёт на её нагревание — $\frac{Q}{E}$.

Решение. Количество теплоты, которое получает вода

$Q=cm\Delta t$.

Энергия, которой обладает вода на вершине — потенциальная

$E=mgh$.

Находим отношение

$\frac{Q}{E}=\frac{cm\Delta t}{mgh}=\frac{c\Delta t}{gh}=\frac{4200 \cdot 0,2}{100 \cdot 10}=0,84$

Ответ: на нагревание воды идет 84% от энергии падающей воды.

[свернуть]

30. На полу равноускоренно движущегося вверх лифта стоит ящик. Лифт поднимается из состояния покоя на высоту 25 м за 5 с. Чему равна масса ящика, если сила давления ящика на пол лифта 600 Н?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: начальная скорость движения — $v_0=0$; пройденный лифтом путь — $s=25$ м; время движения — $t=5$ с; вес ящика — $P=600$ Н.

Найти: массу ящика — $m$.

Решение. Вес тела, движущегося с ускорением рассчитывается по формуле

$\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$.

Так как ускорение лифта направлено вверх, то 

$P=m(g+a)$.

Отсюда найдем массу ящика

$m=\frac{P}{g+a}$.

Ускорение лифта найдем из формулы перемещения тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости

$s=\frac{at^2}{2}\Rightarrow a=\frac{2s}{t^2}$,

$a=\frac{2 \cdot 25}{5^2}=2$ м/с2,

$m=\frac{600}{10+2}=50$ кг.

Ответ: масса ящика 50 кг.

[свернуть]

31. Определите глубину, на которой находится косяк рыбы, обнаруженный эхолокатором, если промежуток времени между принятыми звуковыми сигналами, отражёнными от косяка и от дна моря равен 2,5 с, а глубина моря 2000 м. Скорость распространения звука в воде принять равной 1500 м/с.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Дано: промежуток времени между отраженными сигналами — $\Delta t=2,5$ с; глубина моря — $h_0=2000$ м; скорость звука в воде — $v=1500$ м/с.

Найти: глубину, на которой находится косяк рыбы — $h$.

Решение. Расстояние, которое проходит звук от момента возникновения и до момента, когда он будет принят после отражения, равен удвоенной глубине, поэтому время прохождения звуком расстояния до дна и обратно равно

$t_0=\frac{2h_0}{v}$.

Значит время, за которое звук достигнет косяка и вернется обратно равно

$t=t_0-\Delta t=\frac{2h_0}{v}-\Delta t=\frac{2h_0-v\Delta t}{v}$.

Искомое расстояние — расстояние, которое пройдет звуком за время $\frac{t}{2}$

$h=v \cdot \frac{t}{2}$

$h=v \cdot \frac{t}{2}=v\cdot \frac{2h_0-v\Delta t}{2v}=\frac{2h_0-v\Delta t}{2}$,

$h=\frac{2 \cdot 2000 — 1500 \cdot 2,5}{2}  =125$ м.

Ответ: косяк рыбы находится на глубине 125 м.

[свернуть]

Продолжить решение расчетных задач по тепловым явлениям