1. В калориметр, содержащий 200 г воды при температуре 85 °С, опустили алюминиевую чайную ложку массой 14 г, имевшую температуру 20 °С. Пренебрегая потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра, определите, на сколько градусов охладится вода в калориметре после установления теплового равновесия. Ответ округлите до целого.
Дано: масса воды — $m_1=0,2$ кг; начальная температура воды — $t_1=85$ °С; масса алюминиевой ложки $m_2=0,014$ кг; начальная температура ложки — $t_2=20$ °С; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплоемкость алюминия — $c_2=920$ Дж/кг·°С. Найти: изменение температуры воды — $\Delta t$. Решение. Определим конечную температуру, установившуюся в калориметре — $t$. Поскольку потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает вода при охлаждении будет получать алюминиевая ложка при нагревании. Количество теплоты, которая отдает вода $Q_1=c_1m_1(t-t_1)$. Количество теплоты, которое получает ложка $Q_2=c_2m_2(t-t_2)$. Поскольку система тел теплоизолирована, то ее внутренняя энергия не изменяется, значит мы можем записать уравнение теплового баланса $Q_1+Q_2=0$, $c_1m_1(t-t_1)+c_2m_2(t-t_2)=0$. Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую температуру: вначале раскроем скобки, затем перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую, общие множители будем выносить за скобки $c_1m_1t-c_1m_1t_1+c_2m_2t-c_2m_2t_2=0$, $c_1m_1t+c_2m_2t=c_1m_1t_1+c_2m_2t_2$, $(c_1m_1+c_2m_2)t=c_1m_1t_1+c_2m_2t_2$, $t=\frac{c_1m_1t_1+c_2m_2t_2}{c_1m_1+c_2m_2}$, $t=\frac{4200 \cdot 0,2 \cdot 85+920 \cdot 0,014 \cdot 20}{4200 \cdot 0,2 +920 \cdot 0,014}\approx 84$ °С. Изменение температуры воды $\Delta t=t_1-t=85^\circ C-84^\circ C=1^\circ C$. Ответ: температура воды понизится на $1^\circ C$.
2. Какое количество теплоты необходимо для превращения 500 г льда, взятого при температуре 0°С, в воду, имеющую температуру 20°С? Потерями энергии на нагревание окружающего воздуха пренебречь.
Дано: масса льда — $m_1=0,5$ кг; начальная температура льда- $t_1=0$ °С; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплота плавления льда — $\lambda =330000$ Дж/кг; конечная температура воды — $t_1=20$ °С Найти: количество теплоты — $Q$. Решение. Лед находится при температуре плавления, поэтому при сообщении ему некоторой энергии, он сразу начнет плавиться. Количество теплоты, которое мы потратим на плавление льда определяется по формуле $Q_1=\lambda m$. После плавления, получившуюся воду нужно нагреть. Количество теплоты, которое будет потрачено на нагревание воды, вычисляется по формуле $Q=cm(t_2-t_1)$. Всего будет затрачено количество теплоты $Q=Q_1+Q_2$ $Q=\lambda m+cm(t_2-t_1)=m(\lambda +c(t_2-t_1))$, $Q=0,5 \cdot (330000 +4200 \cdot (20^\circ C-0^\circ C))=207000$ Дж $=207$ кДж Ответ: для превращения льда в воду с последующим нагреванием необходимо 207 кДж энергии.
3. Полезная мощность двигателей самолёта равна 2300 кВт. Каков КПД двигателей, если при средней скорости 250 км/ч они потребляют 288 кг керосина на 100 км пути?
Дано: мощность двигателей самолета — $N=23 \cdot 10^5$ Вт; средняя скорость движения самолета — $v=250$ км/ч; пройденный путь — $s=100$ км; масса керосина — $m=288$ кг; удельная теплота сгорания керосина — $q=46 \cdot 10^6$ Дж/кг. Найти: КПД двигателей самолета — $\eta $. Решение. КПД теплового двигателя — отношение работы полезной к величине количества теплоты, полученного двигателем от нагревателя. Полезная работа выражается через мощность двигателя $A_\pi =N \cdot t$. Количество теплоты, полученное от нагревателя — энергия, выделяющаяся при сгорании топлива. Таким образом КПД, выражается формулой $\eta =\frac{N \cdot t}{qm}$. Время движения найдем из скорости и пройденного пути $t=\frac{s}{v}\Rightarrow t=\frac{100}{250}=0,4$ ч $=1440$ с. $\eta =\frac{23 \cdot 10^5 \cdot 1440}{46 \cdot 10^6 \cdot 288}=0,25$, $\eta=25%$. Ответ: КПД двигателей 25%.
4. Электрический нагреватель за 20 мин доводит до кипения 2,2 кг воды, начальная температура которой 10 °С. Сила тока в нагревателе 7 А, КПД нагревателя равен 45%. Чему равно напряжение в электрической сети?
Дано: время нагревания воды — $\tau =1200$ с; масса воды — $m=2,2$ кг; начальная температура воды — $t_1=10$ °С; конечная температура воды — $t_2=100$ °С; удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг·°С; сила тока в нагревателе — $I=7$ А; КПД нагревателя — $\eta =0,45$. Найти: напряжение в сети — $U$. Решение. КПД нагревателя — отношение работы полезной к работе затраченной. Полезная работа, совершаемая нагревателем, всегда выражается через количество теплоты, которое необходимо, чтобы нагреть (расплавить, выпарить) тело с помощью нагревателя. В нашем случае необходимо только нагреть воду. количество теплоты, необходимое для нагревания воды $Q=cm(t_2-t_1)$. Затраченная работа — работа электрического тока $A=UI \tau$. Тогда, КПД нагревателя $\eta =\frac{cm(t_2-t_1)}{UI \tau}$. Отсюда находим напряжение $\eta UI \tau = cm(t_2-t_1)$, $U= \frac{cm(t_2-t_1)}{\eta I \tau}$, $U= \frac{4200 \cdot 2,2 \cdot (100-10)}{0,45 \cdot 7 \cdot 1200}=220$ В. Ответ: напряжение в сети равно 220 В.
5. В воду, взятую при температуре 20 °С, добавили 1 л воды при температуре 100 °С. Температура смеси оказалась равной 40 °С. Чему равна масса холодной воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Дано: объем горячей воды — $V=1 \cdot 10^{-3}$ м3; начальная температура холодной воды — $t_2=20$ °С; начальная температура горячей воды — $t_1=100$ °С; конечная температура смеси — $t=40$ °С; плотность воды — $\rho =10^3$ кг/м3. Найти: массу холодной воды — $m_2$. Решение. Поскольку потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает горячая вода при охлаждении будет получать холодная вода при нагревании. Количество теплоты, которая отдает горячая вода $Q_1=cm_1(t-t_1)$. Количество теплоты, которое получает холодная вода $Q_2=cm_2(t-t_2)$. Поскольку система тел теплоизолирована, то ее внутренняя энергия не изменяется, значит мы можем записать уравнение теплового баланса $Q_1+Q_2=0$, $cm_1(t-t_1)+cm_2(t-t_2)=0$. Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую температуру: сокращаем общий множитель — удельную теплоемкость воды, затем перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую $m_1(t-t_1)+m_2(t-t_2)=0$, $m_2(t-t_2)=-m_1(t-t_1)$, $m_2=\frac{m_1(t_1-t)}{t-t_2}$. Массу горячей воды найдем через плотность $m_1=\rho V$. Окончательно получаем $m_2=\frac{\rho V(t_1-t)}{t-t_2}$, $m_2=\frac{10^3 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \cdot (100 -40)}{40-20}=3$ кг. Ответ: масса холодной воды 3 кг.
6. Какое количество теплоты выделится при конденсации 2 кг водяного пара, взятого при температуре 100 ºС, и последующего охлаждения воды до 40 ºС при нормальном атмосферном давлении?
Дано: масса пара — $m=2$ кг; температура пара — $t_1=100$ °С; удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплота парообразования воды — $L =2300000$ Дж/кг; конечная температура воды — $t_2=40$ °С Найти: количество теплоты — $Q$. Решение. При конденсации пара выделяется количество теплоты $Q_1=-L m$. После конденсации, получившаяся вода будет охлаждаться. Количество теплоты, которое выделяется при охлаждении воды, вычисляется по формуле $Q=cm(t_2-t_1)$. Всего будет затрачено количество теплоты $Q=Q_1+Q_2$ $Q=-L m+cm(t_2-t_1)=m( c(t_2-t_1)-L)$, $Q=2 \cdot (4200 \cdot (40^\circ C-100^\circ C)-2300000 )=-5104000$ Дж $=-5104$ кДж. Заметим, что знак минус перед значением количества теплоты указывает на то, что энергия выделяется. Ответ: при конденсации пара с последующим охлаждением получившейся воды выделяется 5104 кДж энергии.
7. Какое количество теплоты необходимо, чтобы нагреть 1 л воды от 20 ºС до 100 ºС? Вода нагревается в алюминиевой кастрюле массой 200 г. Тепловыми потерями пренебречь.
Дано: объем воды — $V=1 \cdot 10^{-3}$ м3; начальная температура воды и кастрюли — $t_1=20$ °С; конечная температура воды и кастрюли — $t_2=100$ °С; плотность воды — $\rho =10^3$ кг/м3; масса алюминиевой кастрюли — $m_2=0,2$ кг; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплоемкость алюминия — $c_2=920$ Дж/кг·°С. Найти: количество теплоты — $Q$. Решение. Количество теплоты, которая получает вода при нагревании $Q_1=c_1m_1(t_2-t_1)$. Количество теплоты, которое получает кастрюля $Q_2=c_2m_2(t_2-t_1)$. Всего будет затрачено количество теплоты $Q=Q_1+Q_2$ $Q=c_1m_1(t_2-t_1)+c_2m_2(t_2-t_1)=(c_1m_1+c_2m_2)(t_2-t_1)$. Массу воды найдем через плотность $m_1=\rho V$. Окончательно получаем $Q=(c_1 \rho V+c_2m_2)(t_2-t_1)$, $Q=(4200 \cdot 10^3 \cdot 1 \cdot 10^{-3}+920 \cdot 0,2)(100 -20)=350720$ Дж. Ответ: для нагревания потребуется 350720 Дж энергии.
8. Какова начальная температура воды массой 1 кг, если при нагревании до 41,5 оС понадобилось сжечь 4,2 г спирта? Считать, что вся энергия, выделившаяся при сгорании спирта, пошла на нагревание воды.
Дано: масса воды — $m_1=2$ кг; конечная температура воды — $t_2=41,5$ °С; удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг·°С; масса спирта — $m_2=4,2 \cdot 10^{-3}$ кг; удельная теплота сгорания спирта — $q=29 \cdot 10^6$ Дж/кг. Найти: начальную температуру воды — $t_1$. Решение. Количество теплоты, которая получает вода при нагревании $Q_1=cm_1(t_2-t_1)$. Количество теплоты, которое выделяется при сгорании спирта $Q_2=qm_2$. Поскольку вся энергия, выделившаяся при сгорании спирта, пошла на нагревание воды, то $Q_1=Q_2$ $cm_1(t_2-t_1)=qm_2$. Выразим отсюда искомую температуру $t_2-t_1=\frac{qm_2}{cm_1}$, $t_1=t_2-\frac{qm_2}{cm_1}$, $t_1=41,5-\frac{29 \cdot 10^6 \cdot 4,2 \cdot 10^{-3}}{4200 \cdot 2}=27$ °С. Ответ: начальная температура воды 27 °С.
9. Электроплитка имеет две спирали. Если в сеть включена первая спираль, то вода в кастрюле закипает через 10 мин, если спирали включены в ту же сеть последовательно, то — через 30 мин. Через какое время закипит та же масса воды, если в эту сеть включена только вторая спираль? Начальные температуры воды одинаковы. Сопротивления спиралей не зависят от условий работы.
Дано: время за которое закипает вода, если включена первая спираль — $\tau _1=10$ мин; время за которое закипает вода, если включены обе спирали — $\tau =30$ мин. Найти: время за которое закипит вода, если включена вторая спираль — $\tau _2$. Решение. Напряжение в сети одинаково при любом способе подключения одинаково, обозначим его $U$. Начальные температуры воды воды одинаковы, поэтому для нагревания воды до кипения во всех случаях потребуется одинаковое количество теплоты, обозначим его $Q$. Если в сеть включить первую спираль, то мощность тока в спирали будет равна $P_1=\frac{U^2}{R_1}$. Количество теплоты, необходимое для нагревания воды можно найти через мощность $Q=P_1\tau _1=\frac{U^2}{R_1} \cdot \tau_1$. Отсюда найдем сопротивление первого проводника $R_1=\frac{U^2}{Q} \cdot \tau_1$. Аналогично для второй спирали, если воду нагревают включив в сеть только ее $R_2=\frac{U^2}{Q} \cdot \tau_2$. Если включить обе спирали последовательно, то общее сопротивление цепи будет равно сумме сопротивлений. С одной стороны при сопротивлении $R=R_1+R_2$, аналогично полученным ранее выражениям будем иметь $R=\frac{U^2}{Q} \cdot \tau$. С другой стороны, если подставить все полученные выражения в уравнение $R=R_1+R_2$, то получим $\frac{U^2}{Q} \cdot \tau=\frac{U^2}{Q} \cdot \tau_1+\frac{U^2}{Q} \cdot \tau_2$. После сокращения общих множителей, получим равенство, из которого найдем искомое время $\tau=\tau_1+\tau_2 \Rightarrow \tau_2 = \tau — \tau_1$, $ \tau_2 = 30 — 10 =20$ мин. Ответ: время за которое вторая спираль вскипятит воду равно 20 минут.
10. Имеется два электрических нагревателя одинаковой мощности — по 400 Вт. Сколько времени потребуется для нагревания 1 л воды на 40 ºС, если нагреватели будут включены в электросеть последовательно? Потерями энергии пренебречь.
Дано: объем воды — $V=1 \cdot 10^{-3}$ м3; изменение температуры воды — $\Delta t=40$ °С; плотность воды — $\rho =10^3$ кг/м3; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; номинальные мощности нагревателей — $P_1=P_2=P, P=400$ Вт. Найти: время за которое нагреется вода — $\tau$. Решение. Допустим напряжение электросети, в которую включают нагреватели равно $U$. Поскольку мощности нагревателей при одинаковом напряжении на них одинаковы, то сопротивления нагревателей одинаковы $P_1=P_2 \Rightarrow \frac{U^2}{R_1}=\frac{U^2}{R_2}\Rightarrow R_1=R_2=R$. При последовательном соединении нагревателей, напряжение на каждом из них будет в два раза меньше, чем при отдельном включении. Действительно, при последовательном соединении сила тока одинакова, значит $I_1=I_2 \Rightarrow \frac{U_1}{R_1}=\frac{U_2}{R_2} \Rightarrow \frac{U_1}{R}=\frac{U_2}{R} \Rightarrow U_1=U_2$, $U_1+U_2=U \Rightarrow U_1+U_1=U \Rightarrow 2U_1=U \Rightarrow U_1=U_2=\frac{U}{2}$. Как изменится мощность при уменьшении напряжения на нагревателе? Рассмотрим на примере первого нагревателя. Мощность первого нагревателя при включении его в сеть напряжением вдвое меньшим $P_{11}=\frac{\left( \frac{U}{2} \right)^2}{R}=\frac{1}{4} \cdot \frac{U^2}{R}=\frac{1}{4} \cdot P_1$. Видно, что мощность уменьшилась в четыре раза, т.е. $P_{11}=100$ Вт. Поскольку нагреватели одинаковые, то мощность второго также уменьшится в 4 раза и станет равна $P_{22}=100$ Вт. Общая мощность двух соединенных нагревателей будет равна $P_o=P_{11}+P_{22}$, $P_o=200$ Вт. Найдем время нагрева $\tau =\frac{Q}{P_o}=\frac{cm \Delta t}{P_o}$, Массу воды найдем через плотность $m_1=\rho V$. Окончательно получаем $\tau =\frac{Q}{P_o}=\frac{c \rho V \Delta t}{P_o}$, $\tau =\frac{4200 \cdot 10^3 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \cdot 40}{200}=840$ с $=14$ мин. Ответ: вода нагреется за 14 минут.
11. В алюминиевый калориметр массой 50 г налито 120 г воды и опущена спираль сопротивлением 2 Ом, подключённая к источнику напряжением 5 В. На сколько градусов нагреется калориметр с водой за 11 мин, если потери энергии в окружающую среду составляют 20%?
Дано: масса воды — $m_1=0,12$ кг; масса алюминиевого калориметра $m_2=0,05$ кг; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплоемкость алюминия — $c_2=920$ Дж/кг·°С; сопротивление спирали — $R=2$ Ом; напряжение — $U=5$ В; время нагрева — $\tau =660$ с; доля потерянной энергии — $\eta =0,2$. Найти: изменение температуры калориметра с водой- $\Delta t$. Решение. Количество теплоты, затраченное на нагревание воды $Q_1=c_1m_1 \Delta t$. Количество теплоты, которое получает калориметр $Q_2=c_2m_2 \Delta t$. Количество теплоты, которое выделится при прохождении электрического тока по спирали $Q=A=UI \tau = \frac{U^2}{R}\tau $. Так как тепловые потери составляют 20%, то на нагревание калориметра с водой пойдет 80% от количества теплоты, выделившегося при прохождении тока по спирали $Q_1+Q_2=(1-\eta )Q$, $c_1m_1 \Delta t+c_2m_2 \Delta t= \frac{(1-\eta )U^2 \tau}{R} $, $\Delta t (c_1m_1 +c_2m_2)=\frac{(1-\eta )U^2 \tau}{R}$, $\Delta t =\frac{(1-\eta )U^2 \tau}{(c_1m_1 +c_2m_2) R}$, $\Delta t =\frac{(1- 0,2 ) \cdot 5^2 \cdot 660}{(4200 \cdot 0,12 +920 \cdot 0,05) \cdot 2}=12$ ºС. Ответ: температура калориметра с водой увеличится на 12 ºС.
12. При кристаллизации расплавленного олова, взятого при температуре плавления, и последующего его охлаждения до 32 ºС выделилось количество теплоты 315 кДж. Чему равна масса олова?
Дано: начальная температура льда- $t_1=232$ °С; удельная теплоемкость олова — $c_1=230$ Дж/кг·°С; удельная теплота плавления олова — $\lambda =59000$ Дж/кг; конечная температура олова — $t_1=32$ °С; количество теплоты, которое выделяется при кристаллизации и последующем охлаждении — $Q=-315000$ Дж. Найти: массу олова — $m$. Решение. При кристаллизации олова выделится количество теплоты $Q_1=-\lambda m$. После кристаллизации, олово будет охлаждаться. Количество теплоты, которое будет выделяться при охлаждении, вычисляется по формуле $Q=cm(t_2-t_1)$. Всего выделится количество теплоты $Q=Q_1+Q_2$ $Q=-\lambda m+cm(t_2-t_1)=m( c(t_2-t_1)-\lambda)$, $m = \frac{Q}{c(t_2-t_1)-\lambda}$, $m = \frac{-315000}{230 \cdot(32-232)-59000}=3$ кг. Ответ: масса олова 3 кг.
13. Какое минимальное количество водяного пара при 100 °С нужно впустить в теплоизолированный сосуд, содержащий 2,3 кг льда при 0 °С, чтобы весь лёд растаял?
Дано: масса льда — $m_1=2,3$ кг; температура пара — $t_1=100$ °С; температура льда — $t_2=0$ °С; удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплота плавления льда — $\lambda =330000$ Дж/кг; удельная теплота парообразования — $2300000$ Дж/кг. Найти: массу пара — $m_2$. Решение. Поскольку потерями теплоты и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь, то данную систему тел можно рассматривать как теплоизолированную. Это означает, что все количество теплоты, которое отдает пар при конденсации и получившаяся вода при охлаждении будет получать лед при плавлении. Количество теплоты, которое выделяется при конденсации пара $Q_1=-Lm_2$. Количество теплоты, которая отдает вода $Q_2=cm_2(t_2-t_1)$. Количество теплоты, которое получает лед $Q_3= \lambda m_1$. Поскольку система тел теплоизолирована, то ее внутренняя энергия не изменяется, значит мы можем записать уравнение теплового баланса $Q_1+Q_2+Q_3=0$, $-Lm_2+cm_2(t_2-t_1)+\lambda m_1=0$. Преобразуем полученное уравнение и найдем из него искомую температуру: перенесем все выражения с неизвестной величиной в одну сторону, выражения с известными величинами в другую, общие множители будем выносить за скобки $\lambda m_1=Lm_2-cm_2(t_2-t_1)$, $\lambda m_1=m_2(L-c(t_2-t_1))$, $m_2=\frac{\lambda m_1}{L-c(t_2-t_1)}$, $m_2=\frac{330000 \cdot 2,3}{2300000-4200 \cdot (0-100)} \approx 0,28$ кг. Ответ: масса пара примерно равна 0,28 кг.
14. Чему равен КПД электроплитки мощностью 660 Вт, если на ней за 35 мин нагрели 2 кг воды от 20 до 100 оС?
Дано: масса воды — $m=2$ кг; начальная температура воды — $t_1=20$ °С; конечная температура воды — $t_2=100$ °С; удельная теплоемкость воды — $c=4200$ Дж/кг·°С; мощность плитки — $P=660$ Вт; время работы плитки — $\tau =2100$ с. Найти: КПД плитки — $\eta $. Решение. КПД нагревателя — отношение работы полезной к работе затраченной. Полезная работа, совершаемая нагревателем, всегда выражается через количество теплоты, которое необходимо затратить, чтобы нагреть (расплавить, выпарить) тело с помощью нагревателя. В нашем случае необходимо только нагреть воду. количество теплоты, необходимое для нагревания воды $Q=cm(t_2-t_1)$. Затраченная работа — работа электрического тока $A=P \tau$. Тогда, КПД нагревателя $\eta =\frac{cm(t_2-t_1)}{P \tau}$. $\eta =\frac{4200 \cdot 2 \cdot (100-20)}{660 \cdot 2100} \approx 0,48$/ Таким образом, КПД плитки равен примерно 48%. Ответ: КПД плитки равен примерно 48%.
15. В электропечи мощностью 100 кВт полностью расплавили слиток стали за 2,3 часа. Какова масса слитка, если известно, что до начала плавления сталь необходимо было нагреть на 1500 °С? Потерями энергии пренебречь.
Дано: изменение температуры стали до начала плавления — $ \Delta t=1500$ °С; удельная теплоемкость стали — $c=500$ Дж/кг·°С; мощность печи — $P=10^5$ Вт; время работы печи — $\tau =8280$ с; удельная теплота плавления стали — $ \lambda =82000$ Дж/кг. Найти: массу стали — $m$. Решение. Поскольку потерями теплоты можно пренебречь, то будем считать, что все количество теплоты, которое выделяется при работе электропечи идет на нагревание и последующее плавление стали, т.е. $Q=P \tau$. Количество теплоты, которое необходимо затратить, чтобы нагреть сталь $Q_1=cm \Delta t$. Количество теплоты, которое получает сталь при плавлении $Q_2= \lambda m$. Поскольку $Q=Q_1+Q_2$, то получим $P \tau=cm \Delta t+\lambda m$, $P \tau=m (c \Delta t+\lambda )$, $m=\frac{P \tau}{c \Delta t+\lambda}$, $m=\frac{10^5 \cdot 8280}{500 \cdot 1500+82000}\approx 995$ кг. Ответ: масса стали примерно 995 кг.
16. Электроплитка включена в сеть напряжением 200 В. Вода массой 1 кг, имеющая начальную температуру 20 оС, налитая в алюминиевую кастрюлю массой 500 г, закипела на этой электроплитке через 93,2 с. Чему равно сопротивление спирали электроплитки? Потерями энергии на нагревание окружающего воздуха пренебречь.
Дано: масса воды — $m_1=1$ кг; масса алюминиевой кастрюли — $m_2=0,5$ кг; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; удельная теплоемкость алюминия — $c_2=920$ Дж/кг·°С; напряжение — $U=200$ В; время нагрева — $\tau =93,2$ с; начальная температура воды — $t_1=20$ °С; конечная температура воды — $t_2=100$ °С. Найти: сопротивление спирали — $R$. Решение. Количество теплоты, затраченное на нагревание воды $Q_1=c_1m_1 (t_2-t_1)$. Количество теплоты, которое получает калориметр $Q_2=c_2m_2 (t_2-t_1)$. Количество теплоты, которое выделится при прохождении электрического тока по спирали $Q=A=UI \tau = \frac{U^2}{R}\tau $. Тепловых потерь нет, значит $Q_1+Q_2=Q$, $c_1m_1(t_2-t_1) +c_2m_2(t_2-t_1) = \frac{U^2 \tau}{R} $, $(t_2-t_1) (c_1m_1 +c_2m_2)=\frac{U^2 \tau}{R}$, $R=\frac{U^2 \tau}{ (c_1m_1 +c_2m_2)(t_2-t_1)}$, $R=\frac{200^2 \cdot 93,2}{ (4200 \cdot 1 +920 \cdot 0,5)(100-20)}=10$ Ом. Ответ: сопротивление спирали электроплитки 10 Ом.
17. Нагретый камень массой 5 кг, охлаждаясь в воде массой 2 кг на 4 °С, нагревает её на 1 °С. Чему равна удельная теплоёмкость камня? Тепловыми потерями можно пренебречь.
Дано: масса воды — $m_1=2$ кг; масса камня — $m_2=5$ кг; удельная теплоемкость воды — $c_1=4200$ Дж/кг·°С; изменение температуры воды — $\Delta t_1=1$ °С; изменение температуры камня — $\Delta t_2=4$ °С. Найти: удельную теплоемкость камня — $c_2$. Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении воды $Q_1=-c_1m_1 \Delta t_1$. Количество теплоты, которое получает камень $Q_2=c_2m_2 \Delta t_2$. Поскольку потерями тепла можно пренебречь, то ее внутренняя энергия не изменяется, значит мы можем записать уравнение теплового баланса $Q_1+Q_2=0$, $-c_1m_1 \Delta t_1+c_2m_2 \Delta t_2=0$, $c_2m_2 \Delta t_2=c_1m_1 \Delta t_1$, $c_2=\frac{c_1m_1 \Delta t_1}{m_2 \Delta t_2}$, $c_2=\frac{4200 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4} =420$ Дж/кг·°С. Ответ: удельная теплоемкость камня 420 Дж/кг·°С.
18. Какова масса медного шарика, прогретого в кипящей воде, если при помещении его в лёд, имеющий температуру 0 оС, образовалось 12 г воды? Считать, что вся энергия, выделяющаяся при охлаждении шарика, расходуется на плавление льда.
Дано: масса растаявшего льда — $m_1=0,012$ кг; удельная теплоемкость меди — $c=400$ Дж/кг·°С; начальная температура шарика — $t_1=100$ °С; конечная температура шарика — $t_2=0$ °С; удельная теплота плавления льда — $ \lambda =330000$ Дж/кг . Найти: массу медного шарика — $m_2$. Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении шарика $Q_1=cm_2 (t_2-t_1)$. Количество теплоты, которое получает лед при плавлении $Q_2= \lambda m_1$. Поскольку вся энергия, выделяющаяся при охлаждении шарика, расходуется на плавление льда, то можно записать уравнение теплового баланса $Q_1+Q_2=0$, $c_1m_2 (t_2-t_1)+ \lambda m_1=0$, $ c_1m_1 (t_2-t_1)=-\lambda m_2$, $m_1=-\frac{\lambda m_2}{c_1 (t_2-t_1)} = \frac{\lambda m_2}{c_1 (t_1-t_2)}$, $m_1= \frac{330000 \cdot 0,012}{400 \cdot (100-0)}= 0,099$ кг $=99$ г. Ответ: масса медного шарика 99 г.
19. В стакан, содержащий лёд при температуре 0 °С, налили 100 г воды, имеющей температуру 33 °С. Какова масса льда, если весь лёд растаял и в стакане установилась температура 0 °С? Теплообменом с окружающим воздухом пренебречь.
Дано: масса воды — $m_1=0,1$ кг; удельная теплоемкость воды- $c=4200$ Дж/кг·°С; начальная температура воды — $t_1=33$ °С; конечная температура воды — $t_2=0$ °С; удельная теплота плавления льда — $ \lambda =330000$ Дж/кг . Найти: массу льда — $m_2$. Решение. Количество теплоты, отданное при охлаждении воды $Q_1=cm_2 (t_2-t_1)$. Количество теплоты, которое получает лед при плавлении $Q_2= \lambda m_1$. Поскольку теплообменом можно пренебречь, то можно записать уравнение теплового баланса $Q_1+Q_2=0$, $c_1m_2 (t_2-t_1)+ \lambda m_1=0$, $ \lambda m_2 = -c_1m_1 (t_2-t_1)$, $m_2 = -\frac{c_1m_1 (t_2-t_1)}{\lambda}= \frac{c_1m_1 (t_1-t_2)}{\lambda}$, $m_2 = \frac{4200 \cdot 0,1 \cdot (33-0)}{330000} = 0,042$ кг $=42$ г. Ответ: масса растаявшего льда 42 г.