1.2.1. Траектория. Путь. Перемещение. Решение задач

К8. Самолет пролетел на север 400 км, затем повернул на восток и пролетел еще 300 км. Найти путь и перемещение самолета за все время движения. Нарисовать траекторию движения самолета, считая, что его движение происходило в одной плоскости.

К9. Катер прошел из пункта А по озеру расстояние 5 км, затем повернул под углом 30° к направлению своего движения. После этого он двигался до тех пор, пока направление на пункт А не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какое расстояние до пункта А ему еще предстоит пройти?

К10. Вертолет, пролетев в горизонтальном направлении по прямой 400 км, повернул под углом 90⁰ и пролетел некоторое расстояние. Чему равно это расстояние, если в результате модуль перемещения вертолета оказался равным 500 км? Чему равен пройденный вертолетом путь?

К11. Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман на высоте 1 м. Найти путь и перемещение мяча.

К12. Длина минутной стрелки настенных часов 20 см. Найдите пройденный путь и модуль перемещения конца стрелки: а) за 15 мин; б) за 30 мин; в) за сутки.

К13. На рисунке 1 показаны перемещения пяти материальных точек. Найти проекции векторов перемещения на оси координат.

К14. На рисунке 2 показана траектория движения материальной точки из А в В. Найти координаты точки в начале и конце движения, проекции перемещения на оси координат, модуль перемещения.

К15. На рисунке 3 показана траектория ABCD движения материальной точки из А в D. Найти координаты точки в начале и конце движения, пройденный путь, перемещение, проекции перемещения на оси координат.

К16. Турист поднялся на холм, преодолев расстояние 30 м по прямой дороге, наклонённой под углом 30° к горизонту, а потом спустился на начальный уровень по прямому крутому склону, составляющему угол 45° с горизонтом. Найдите пройденный путешественником путь и модуль перемещения. Изобразите рисунок в координатных осях, найдите проекции перемещения тела на отдельных участках и на всем участке движения на выбранные координатные оси.

К17. Сани спустились под углом 45° к горизонту с горы длиной 100 м. Определите проекции перемещения саней по вертикальному и горизонтальному направлениям.

К18. В момент времени с тело находилось в точке пространства с координатами м и м. К моменту времени с тело переместилось в точку с координатами м и м. Найти время движения тела. Проекции перемещения на координатные оси и модуль перемещения тела.

К19. Тело переместилось из точки A с координатами м, м в точку с координатами м,  м. Сделайте чертеж, найдите перемещение тела и его проекции на оси координат. Тело переместилось из точки с координатами м, м в точку с координатами м,   м. Сделать чертеж, найти перемещение и его проекции на оси координат.

 

Пример. (Задачник по физике. 10 класс. Генденштейн Л.Э.) Длина минутной стрелки настенных часов 20 см. Найдите пройденный путь и модуль перемещения конца стрелки: а) за 15 мин; б) за 30 мин; в) за сутки.

Решение. Изобразим графически каждый случай, приняв, что в начале минутная стрелка указывала на 0 ч. 00 мин.

а)		Пройденный концом стрелки путь, будет равен длине дуги окружности радиусом 20 см, соответствующей центральному углу 900 или четверти длины дуги окружности: $l=\frac{2\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2}$ $l=\frac{3,14\cdot 20}{2}=31,4\, cm$. Вектор перемещения (на рисунке показан зеленым цветом) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами равными радиусу окружности, тогда  по теореме Пифагора: $s=\sqrt{R^{2}+R^{2}}=\sqrt{2}R$ $s\approx 1,41\cdot 20=28,2 \, cm$
б)		По рисунку видно (стрелка выделена синим цветом), что стрелка описывает путь равный половине длины дуги окружности, т.е.  $l=\pi R$ $l=3,14\cdot 20=62,8 \, cm$. Модуль вектора перемещения (выделен красным цветом), равен диаметру окружности, т.е. 40 см.
в)		Через 24 часа минутная стрелка будет находиться в том же самом месте, откуда начинала, движение. Значит, перемещение стрелки будет равно нулю. Стрелка совершает один полный оборот за 1 час, значит за сутки она совершит 24 полных оборота, т.е пройденный путь будет равен 24 длинам окружности, по которой движется конец стрелки: $l=48 \pi R$ $l=48 \cdot 3,14\cdot 20=3014,4 \, cm$.

Пример. (3800 задач для школьников и поступающих в ВУЗы)

Пример. (Задачник по физике. 10 класс. Генденштейн Л.Э.) Турист поднялся на холм преодолев расстояние 30 м по прямой дороге, наклонённой под углом 30° к горизонту, а потом спустился на начальный уровень по прямому крутому склону, составляющему угол 45° с горизонтом. Найдите пройденный путешественником путь и модуль перемещения. Изобразите рисунок в координатных осях. 

Решение. Выполним необходимые построения, поместив начало координат в точку из которой началось движение.

Видно, что вектор перемещения представляет собой сумму векторов перемещения тела на отдельных участках $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{s_{1}}+\overrightarrow{s_{2}}$. Значит, проекция вектора перемещения на ось $Ox$ равна $s_{x}=s_{1x}+s_{2x}$, аналогично для проекции вектора перемещения на ось $Oy$: $s_{y}=s_{1y}+s_{2y}$ (Подробнее о том, как находить проекцию вектора). Заметим, что проекция вектора перемещения на ось $Oy$ равна нулю, значит, 

$s_{1}sin\alpha -s_{2}sin\beta =0$

$s_{2}=\frac{s_{1}sin\alpha }{sin\beta }$

$s_{2}=\frac{30\cdot 0,5 }{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{30\sqrt{2}}{2}$

Для проекции перемещения на ось $Ox$: $s=s_{1}cos\alpha +s_{2}cos\beta $

$s=30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{30\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{ \sqrt{2}}{2}\approx 41$м.

Пройденный путь, будет равен $l=s_{1}+s_{2}=30+\frac{30\sqrt{2}}{2}\approx 51,2 $ м.

Пример. (3800 задач для школьников и поступающих в ВУЗы) В момент времени $t_{1}=1$ с тело находилось в точке пространства с координатами $x_{1} = -2$ м и $y_{1}=2$ м. К моменту времени $t_{2}=3$ с тело переместилось в точку с координатами $x_{2} = 3$ м и $y_{2}=-3$ м. Найти время движения тела. Проекции перемещения на координатные оси и модуль перемещения тела.

Решение.  Время движения $\Delta t=t_{2}-t_{1}$, $\Delta t=2$ с. Изобразим начальное и конечное положение тела в системе координат, построим вектор перемещения и найдем его проекции.

Вектор перемещения $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{AB}$. Из рисунка видно, что проекции вектора перемещения равны: 

 $s_{x}= x_{2}-x_{1}, s_{x}=5$ м.

$s_{y}= y_{2}-y_{1}, s_{y}=-5$ м.

Модуль вектора перемещения найдем из следующих соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Тогда, по теореме Пифагора, имеем

$AB=s=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{s_{x}^{2}+s_{y}^{2}}$,

$s=\sqrt{5^2+(-5)^2}\approx 7$ м.

Задачи для самостоятельного решения.

1. (Сборник задач по физике. Степанова Г.Н.) Тело переместилось из точки A с координатами $x_{1} = -1$ м, $y_{1}=2$ м в точку с координатами $x_{1} = 5$ м, $y_{1}=3$ м. Сделайте чертеж, найдите перемещение тела и его проекции на оси координат.

2. (Сборник задач по физике. Степанова Г.Н.) Катер прошел из пункта А по озеру расстояние 5 км, затем повернул под углом 30° к направлению своего движения. После этого он двигался до тех пор, пока направление на пункт А не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какое расстояние до пункта А ему еще предстоит пройти?

3. (Сборник задач по физике 10-11 класс. Рымкевич А.П.) Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман на высоте 1 м. Найти путь и перемещение мяча.

4. (Задачи по физике для профильной школы. Гельфгат И.М., Кирик Л.А.) Вертолет, пролетев в горизонтальном направлении по прямой 400 км, повернул под углом 90⁰ и пролетел некоторое расстояние. Чему равно это расстояние, если в результате модуль перемещения вертолета оказался равным 500 км? Чему равен пройденный вертолетом путь?

5. (Задачи по физике для профильной школы. Гельфгат И.М., Кирик Л.А.) Сани спустились под углом 45⁰ к горизонту с горы длиной 100 м. Определите проекции перемещения саней по вертикальному и горизонтальному направлениям.

6. (Сборник задач по физике 10-11 класс. Рымкевич А.П.) На рисунке  показана траектория ABCD движения материальной точки из А в D. Найти координаты точки в начале и конце движения, пройденный путь, перемещение, проекции перемещения на оси координат.

7. Тело переместилось из точки с координатами х₁ = 0, у₁ = 2 м в точку с координатами х₂ = 4 м, у₂ = -1 м. Сделать чертеж, найти перемещение и его проекции на оси координат.