Движение под действием силы тяжести. Задачи части 1 на 2 балла и задачи с развернутым решением на 2 балла

Свободное падение тел

1. (Открытый банк заданий ФИПИ) Мальчик бросил мячик вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, как меняются по мере приближения к поверхности земли модуль ускорения мячика и его кинетическая энергия? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается
2) уменьшается
3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Модуль ускорения мячика Кинетическая энергия 
   

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения, т.е. движение тела — РАВНОУСКОРЕННОЕ. Это означает, что модуль ускорения мячика не изменяется. Понятно, что при падении вниз, скорость тела, а значит и его кинетическая энергия, увеличиваются. 

Ответ: 31

[свернуть]

2. (Материалы сайта РЕШУ ЕГЭ) Шарик свободно падает без начальной скорости сначала с высоты 20 м над землей, а затем  — с высоты 40 м над землёй. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Определите, как в результате этого изменятся следующие физические величины: путь, пройденный шариком за вторую секунду полёта; путь, пройденный шариком за последнюю секунду полета. Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1)  увеличится
2)  уменьшится
3)  не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Путь, пройденный шариком за вторую секунду полета Путь, пройденный шариком за последнюю секунду полета
   

Нажмите, чтобы увидеть решение

Для начала найдем время движения тел. При свободном падении без начальной скорости имеем

$s=\frac{gt^2}{2}\Rightarrow 2s=gt^2\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2s}{g}}$,

$t_1=\sqrt{\frac{2 \cdot 20}{10}}=2$ с,

$t_1=\sqrt{\frac{2 \cdot 40}{10}}\approx 2,82$ с.

Понятно, что оба тела, двигаясь из состояния покоя с одинаковым ускорением, будут проходить за одинаковые промежутки времени одинаковые пути, т.е. путь, пройденный шариком за вторую секунду полета, при движении с большей высоты не изменится. Покажем это на конкретных расчетах. Пусть $s_1$ — путь, пройденный телом за время $t_1=1$ с, $s_2$ — путь, пройденный телом за время $t_2=2$ с. Тогда путь пройденный за ВТОРУЮ секунду будет выражаться формулой

$s_{12}=s_2-s_1=\frac{gt_2^2}{2}-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{g}{2}\left( t_2^2-t_1^2 \right)$.

Как мы видим, это расстояние не зависит от первоначальной высоты, значит пути, пройденные шариком за вторую секунду полета в первом и во втором случаях будут одинаковыми.

Последняя секунда движения первого тела — это вторая секунда движения. Найдем путь, пройденный первым телом за последнюю (т.е. вторую) секунду движения, по формуле, полученной выше

$s_{12}=\frac{10}{2} \cdot \left( 2^2-1^2 \right)=15$ м.

Последняя секунда движения первого тела — это путь пройденный телом с момента времени $t_1=1,82$ с до момента времени $t_2=2,82$ с. Находим этот путь

$s=\frac{10}{2} \cdot \left( 2,82^2-1,82^2 \right)=23,2$ м.

Как мы видим путь, пройденный шариком за последнюю секунду полета, увеличился.

Ответ: 31

[свернуть]

3. (Открытый банк заданий ФИПИ) Определите скорость, с которой тело было брошено вертикально вниз, если за время падения тела на 15 м его скорость увеличилась в 2 раза. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Запишем формулу, выражающую связь перемещения тела его ускорением, а также начальной и конечной скоростью движения, учитывая что при отсутствии сопротивления воздуха, ускорение будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$

$v_{2x}^2-v_{1x}^2=2g_xs_x$

Учитывая знаки проекций векторов на координатную ось $x$, а также то, что $v_2=2v_1$, получим

$v_{2}^2-v_{1}^2=2gs$,

$(2v_{1})^2-v_{1}^2=2gs \Rightarrow 3v_1^2=2gs$,

$v_1=\sqrt{\frac{2gs}{3}}$,

$v_1=\sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{3}}=10$ м/с.

Ответ: 10 м/с.

[свернуть]

4. (Открытый банк заданий ФИПИ) Тело свободно падает с высоты 30 м. На какой высоте оно будет находиться через 2 с падения? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

При отсутствии сопротивления воздуха, ускорение будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.

Примем за начало координат положение тела у поверхности земли. Координатную ось направим по ходу движения тела — вниз. Тогда первоначально тело находится в точке с отрицательной координатой $x_0=-h_0$, где $h_0$ — начальная высота на которой находится тело. Учитывая знаки проекций векторов на координатную ось $x$, а также тот факт, что тело падает свободно ($v_0=0$), запишем уравнение координаты и найдем ее через 2 секунды движения

$x=-h_0+\frac{gt^2}{2}$,

$x=-30+\frac{10 \cdot 2^2}{2}=-10$ м.

Значит тело находится на высоте 10 м от поверхности земли через 2 с движения.

Ответ: 10 м.

[свернуть]

5. (М.Ю. Демидова. ЕГЭ-2017. Физика. 1000 задач с ответами и решениями) Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время $\tau =1$ с, а такой же последний  — за время $\frac{1}{2}\tau$. Найдите полное время падения тела $t$, если его начальная скорость равна нулю.

Нажмите, чтобы увидеть решение

При отсутствии сопротивления воздуха, ускорение будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.

Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тело начало движение, т.е. $x_0=0$.

Так как тело свободно падает, то $v_0=0$. Значит координата имеет вид 

$x=\frac{gt^2}{2}$.

По условию, за время $\tau$ и $\frac{1}{2}\tau$ тело проходит одинаковые пути, найдем их

$x_1=h=\frac{10\cdot 1^2}{2}=5$ м.

Поскольку нам известно время движения на последнем участке, то найдем время, через которое тело откажется в точке с координатой $x_2$, обозначим его через $t$, а время движения на втором участке $t_2=\frac{1}{2}\tau=0,5$ с, тогда

$x_2=\frac{gt^2}{2}$,

$x_3=\frac{g(t+t_2)^2}{2}$,

$h=x_3-x_2=\frac{g(t+t_2)^2}{2}-\frac{gt^2}{2}$,

$h=\frac{gt^2}{2}-\frac{g(t^2+2t t_2 +t_2 ^2)}{2}=\frac{gt^2}{2}-\frac{gt^2}{2}-\frac{2gtt_2}{2}-\frac{gt_2^2}{2}$,

$h=gtt_2+\frac{gt_2^2}{2}$,

$gtt_2=h-\frac{gt_2^2}{2}$,

$t=\frac{h}{gt_2}-\frac{t_2}{2}$,

$t=\frac{5}{10 \cdot 0,5}-\frac{0,5}{2}=0,75$ с.

Итого, общее время движения $t_o=t+t_2=0,75+0,5=1,25$ с.

Ответ: 1,25 с.

[свернуть]

6. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) Парашютист, спускающийся равномерно со скоростью 5 м/с, в момент, когда он находился на высоте 100 м над поверхностью земли, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью 10 м/с относительно себя. Какой промежуток времени разделяет моменты приземления тела и парашютиста?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Парашютист движется относительно поверхности земли равномерно. Расстояние в 100 м он преодолеет за время

$t_1=\frac{h}{v_1}$, $t_1=\frac{100}{5}=20$ с.

При отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вниз будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,

где $v_{0x}$ — скорость тела относительно поверхности земли, а $x_0=0$. Найдем начальную скорость тела относительно поверхности земли.

Нам задана скорость тела относительно парашютиста. Будем считать систему отсчета, связанной с парашютистом неподвижной. Движущуюся систему отсчета свяжем с землей. Скорость земли относительно парашютиста равна скорости парашютиста относительно земли $v=5$ м/с. Тогда скорость тела относительно парашютиста будет равна сумме скорости тела относительно земли и скорости земли относительно парашютиста $\vec{v}_2=\vec{v}_0+\vec{v}$. С учетом знаков проекций (см. рисунок), получим $v_2=v_0-v\Rightarrow v_0=v_2+v$, $v_0=10+5=15$ м/с.

Когда тело находится на поверхности земли, его координата равна первоначальной высоте на которой находится тело

$h=v_{0}t+\frac{gt^2}{2}$.

Решим это уравнение относительно неизвестной $t$. Но вначале преобразуем его: перенесем $h$ в правую сторону и домножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей

$gt^2+2v_{0}t-2h=0$,

$a=g$, $b=2v_0$, $c=-2h$,

$D=b^2-4ac=(2v_0)^2-4 \cdot g \cdot (-2h)=4v_0^2+8gh$.

Квадратное уравнение имеет два корня, один из них будет отрицательный, мы его не берем. Время движения будет равно

$t=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$,

$t=\frac{-2v_0+\sqrt{4v_0^2+8gh}}{2g}$,

$t=\frac{-2 \cdot 15+\sqrt{4 \cdot 15^2+8 \cdot 10 \cdot 100}}{2 \cdot 10}\approx 3,22$ с.

Разница во времени падения тел составит $\Delta t=t_1-t$, $\Delta t=20-3,22=16,78$ с.

Ответ: 16,78 с.

[свернуть]

7. (ЕГЭ-2022 по физике. Досрочная волна) На неизвестной планете, лишённой атмосферы, космонавт уронил предмет, четыре последовательных положения которого через каждую секунду показаны на рисунке. Покажите, что движение предмета равноускоренное, и определите проекцию вектора ускорения, с которым падает предмет, на  направление оси y.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Предположим, что тело действительно движется равноускоренно. Формула координаты тела при равноускоренном движении имеет вид

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2}$,

судя по рисунку $y_0=0$, а из условия задачи следует, что $v_0=0$. Тогда уравнение координаты примет вид

$y=\frac{a_yt^2}{2} \Rightarrow a_y=\frac{2y}{t^2}$.

Найдем проекцию ускорения тела, пользуясь тем, что в момент времени $t_1=1$ с $x_1=6$ м; в момент времени $t_2=2$ с $x_2=24$ м; в момент времени $t_3=3$ с $x_3=54$ м. Имеем

$a_{1y}=\frac{2 \cdot 6}{1^2}=12$ м/с2.

$a_{2y}=\frac{2 \cdot 24}{2^2}=12$ м/с2,

$a_{3y}=\frac{2 \cdot 54}{3^2}=12$ м/с2.

Таким образом, в любые промежутки времени ускорение оставалось неизменным, следовательно, движение на планете было равноускоренным с ускорением $a=12$ м/с2.

Ответ: 12 м/с2.

[свернуть]

Движение тела, брошенного вертикально вверх

8. (ЕГЭ-2023 по физике. Основная волна) Шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$. Установите соответствие между графиками и величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. Сопротивлением воздуха пренебречь.

ГРАФИКИ  ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

1)  Проекция скорости шарика $v_x$

2)  Проекция ускорения шарика $a_x$

3)  Кинетическая энергия шарика

4)  Потенциальная энергия шарика

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам.

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$.

С учетом знаков проекций векторов (см. рисунок), уравнение проекции скорости шарика будет иметь вид $v_x=v_0-gt$, а протекция ускорения шарика $a_x=-g$. Первая зависимость — линейная, график которой представляет собой прямую, наклоненную вниз от некоторого начального значения (график А). Графиком второй зависимости также является прямая, но поскольку значение ускорения постоянно, то этот график будет представлять собой прямую, идущую параллельно оси времени. Здесь такого графика нет. Очевидно, что график Б является графиком потенциальной энергии, поскольку он начинается из нуля. А в начальный момент времени тело обладало кинетической энергией, т.е. она не была равна нулю.

Ответ: 14

[свернуть]

9. (Открытый банк заданий ФИПИ) Шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$. Установите соответствие между графиками и величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. Сопротивлением воздуха пренебречь.

ГРАФИКИ  ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

1)  Проекция скорости камня $v_y$

2)  Кинетическая энергия камня

3)  Проекция ускорения камня $a_y$

4)  Энергия взаимодействия камня с Землей

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Предлагаем читателям выполнить это задание самостоятельно. Для этого необходимо повторить все рассуждения, описанные в решении задания 8.

Ответ: 32

[свернуть]

10. (М.Ю. Демидова. ЕГЭ-2017. Физика. 1000 задач с ответами и решениями) Камень, брошенный почти вертикально вверх со скоростью 10 м/с, упал на землю через 3 с после броска. С какой высоты был брошен камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$.

Уравнение координаты при движении тела в общем виде имеет вид: $y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$. Пусть начальная координата тела — первоначальная высота $h$, с которой было брошено тело. Тогда, с учетом знаков проекций векторов начальной скорости и ускорения на координатную ось $Oy$, уравнение координаты перепишется в виде

$y=h+v_{0}t-\frac{gt^2}{2}$.

В момент падения на землю координата тела будет равна нулю. Подставим это значение в уравнение и найдем искомую высоту

$h+v_{0}t-\frac{gt^2}{2}=0\Rightarrow h=\frac{gt^2}{2}-v_{0}t$,

$h=\frac{10 \cdot 3^2}{2}-10 \cdot 3=15$ м.

Ответ: 15 м.

[свернуть]

11. (Материалы сайта РЕШУ ЕГЭ) Два маленьких тела бросают вертикально вверх из одной точки через промежуток времени $\Delta t=3$ с со скоростями $v_0=20$ м/с и $v_1=10$ м/с. На какой высоте $H$ тела столкнутся? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Рассмотрим вначале движение первого тела в первые три секунды полета и определим высоту, на которой будет находиться тело, а также выясним чему будет равна скорость тела и куда она будет направлена. Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось направим вверх, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.)

Уравнение координаты при движении тела в общем виде имеет вид: $y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$. С учетом знаков проекций векторов начальной скорости и ускорения на координатную ось $Oy$, уравнение координаты перепишется в виде

$y=v_{0}t-\frac{gt^2}{2}$.

Тогда искомая высота равна

$h=20 \cdot 3-\frac{10 \cdot 3^2}{2}=15$ м.

С учетом знаков проекций векторов (см. рисунок), уравнение проекции скорости шарика будет иметь вид $v_x=v_0-gt$. Тогда ее значение будет равно $v_x=20-10 \cdot 10=-10$ м/с. Это выражение означает, что к моменту броска второго тела, первое тело будет падать вниз со скоростью 10 м/с. Рассмотрим теперь совместное движение тел

Начальная координата первого тела будет равна высоте, на которой оно находится. Начальная координата второго тела — равна нулю. С учетом знаков проекций векторов (см. рис.), координаты тел будут иметь вид

$y_1=h-vt-\frac{gt^2}{2}$,

$y_2=v_1t-\frac{gt^2}{2}$.

В момент встречи координаты тел будут одинаковы $y_1=y_2$

$h-vt-\frac{gt^2}{2}=v_1t-\frac{gt^2}{2}$,

$h=v_1t+vt$,

$t=\frac{h}{v_1+v}$,

$t=\frac{15}{10+10}=0,75$ с.

Находим высоту $H$, на которой встретятся тела. Для этого достаточно подставить найденное время в любое из уравнений координат

$H=15-10 \cdot 0,75-\frac{10 \cdot 0,75^2}{2}\approx 4,7$ м.

Ответ: примерно 4,7 м.

[свернуть]

12. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) С аэростата, опускающегося со скоростью 5 м/с, бросают вертикально вверх тело со скоростью 10 м/с относительно земли. Через какое время тело поравняется с аэростатом? 

Нажмите, чтобы увидеть решение

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось направим вверх, начало координат поместим на ту высоту, откуда бросают тело вверх (см. рис.), это позволит избежать нам наличия начальной координаты в уравнениях

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Уравнение его координаты будет иметь вид

$y_1=v_1t-\frac{gt^2}{2}$.

Второе тело движется равномерно вниз, уравнение его координаты будет иметь вид $y_2=-v_2t$. В тот момент времени, когда первое тело поравняется со вторым, их координаты будут одинаковыми. Приравняем координаты и найдем время, через которое тела встретились

$v_1t-\frac{gt^2}{2}=-v_2t$,

$v_1t+v_2t=\frac{gt^2}{2}$,

$v_1+v_2=\frac{gt}{2}$,

$t=\frac{2(v_1+v_2)}{g}$,

$t=\frac{2 \cdot (10+5)}{10} =3$ с.

Ответ: 3 с.

[свернуть]

13. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) Камень, брошенный вертикально вверх, дважды был на одной и той же высоте — спустя 0,8 и 1,6 с после начала движения. Чему равна эта высота?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось направим вверх, начало координат будем отсчитывать от места броска.

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. Уравнение его координаты будет иметь вид

$y=v_0t-\frac{gt^2}{2}$.

По условию тело дважды побывало на одной и той же высоте, то есть дважды его координата принимала одно и то же значение, в моменты времени $t_1=0,8$ с и $t_2=1,5$ с. Воспользуемся этим, чтобы найти начальную скорость броска

$y=v_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}$,

$y=v_0t_2-\frac{gt_2^2}{2}$,

$v_0t_1-\frac{gt_1^2}{2}=v_0t_2-\frac{gt_2^2}{2}$,

$v_0t_1-v_0t_2=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt_2^2}{2}$,

$v_0(t_1-t_2)=\frac{g(t_1^2-t_2^2)}{2}$,

$v_0(t_1-t_2)=\frac{g(t_1-t_2)(t_1+t_2)}{2}$,

$v_0=\frac{g(t_1+t_2)}{2}$,

$v_0=\frac{10 \cdot(0,8+1,6)}{2}=12$ м/с.

Теперь можем найти искомую высоту, для этого достаточно подставить все имеющиеся данные в любое из уравнений, написанных выше

$y=12 \cdot 0,8-\frac{10 \cdot 0,8^2}{2}=6,4$ м.

Ответ: 6,4 м.

[свернуть]

14. (Тренировочная работа СтатГРАД) Тело брошено вертикально вверх с поверхности Земли в момент времени t = 0. В таблице приведены результаты измерения модуля скорости тела в зависимости от времени. Выберите все верные утверждения на основании данных, приведённых в таблице.

Время, с 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Модуль скорости, м/с 4,0 3,0 2,0 1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

1) Тело поднялось на максимальную высоту, равную 0,8 м.
2) На высоте 0,8 м от поверхности Земли скорость тела была равна 3,0 м/с.
3) Начальная скорость тела была равна 4 м/с.
4) В момент времени t = 0,9 с тело находилось на высоте 0,45 м от поверхности Земли.
5) В момент времени t = 0,2 с тело находилось на высоте 0,45 м от поверхности Земли.

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного вертикально вверх, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$. 

С учетом знаков проекций векторов (см. рисунок), уравнение проекции скорости шарика будет иметь вид $v_x=v_{0x}+g_xt$. Найдем начальную скорость тела $v_0=v_x+gt$. Определимся со знаком проекции. Понятно, что до момента времени 0,5 с тело поднималось вверх, поскольку его скорость уменьшалась, пока не стала равной нулю. Пока тело поднимается вверх $v_x=v$. В момент времени $t=0,1$ с модуль скорости тела равен $v=4$ м/с. Значит, начальная скорость тела равна $v_0=4+10 \cdot 0,1=5$ м/с (утверждение 3 — не верно).

Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении находится по формуле

$s_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}\Rightarrow s=\frac{v_x^2-v_0^2}{-2g}$

$s_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}\Rightarrow s=\frac{(\pm v)^2-v_0^2}{-2g}=\frac{v_0^2-v^2}{2g}$.

Знак «±» в проекции скорости означает, что она может быть как положительной (когда тело движется вверх), так и отрицательной (когда тело движется вниз). Но, так как проекция скорости находится в квадратной степени, это не будет иметь решающего значения, поэтому мы его убрали и оставили просто модуль скорости.

В тот момент времени, когда тело достигло наибольшей высоты подъема, его скорость равна нулю. Значит наивысшая высота подъема равна

$H=\frac{5^2}{2 \cdot 10}=1,25$ м.

Значит, утверждение 1 — не верно. Найдем на какой высоте находится тело, имея скорость $v=3$ м/с

$h=\frac{5^2-3^2}{2 \cdot 10}=0,8$ м.

Утверждение 2 — верно. В момент времени $t=0,9$ с скорость тела равна $$v=4$ м/с. Находим высоту, на которой находится тело

$h=\frac{5^2-4^2}{2 \cdot 10}=0,45$ м.

Утверждение 4 — верно. Очевидно, что утверждение 5 не будет верным, т.к. тело находится на высоте 0,45 м, если его скорость равна 4 м/с, а в момент времени $t=0,2$ с скорость тела равна $v=3$ м/с.

Ответ: 24

[свернуть]

Движение тала, брошенного горизонтально

15. (Открытый банк заданий ФИПИ) Шарик, брошенный горизонтально с высоты $H$ с начальной скоростью $\vec{v}_0$, до падения на землю пролетел в горизонтальном направлении расстояние $L$ (см. рисунок). Что произойдёт с дальностью полёта и ускорением шарика, если в этой же постановке опыта уменьшить начальную скорость шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь. Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:

1) увеличится
2) уменьшится
3) не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Дальность полета шарика Ускорение шарика
   

Нажмите, чтобы увидеть решение

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.). Координата $x$ определяет дальность полета тела. В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного горизонтально, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$, значит оно в процессе движения меняться не будет.  

Координаты тела при равноускоренном движении имеют вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$.

В проекциях на координатные оси эти уравнения перепишутся в виде

$x=v_0t$,

$y=H-\frac{g t^2}{2}$.

Поскольку высота, с которой было брошено тело, не меняется, то не изменится и время падения. Такой вывод можно сделать проанализировав уравнение координаты $y$, которая не зависит от начальной скорости движения. Уравнение $x=v_0t$ показывает нам, что при уменьшении начальной скорости броска и неизменном времени падения, дальность полета тела — уменьшится.

Ответ: 23

[свернуть]

16. (Тренировочная работа СтатГРАД) В момент времени t = 0 тело (материальная точка) брошено горизонтально. В таблице приведены результаты измерения координат тела $x$ и $y$ в зависимости от времени наблюдения. Выберите все верные утверждения на основании данных, приведённых в таблице.

1) Модуль начальной скорости тела равен 5 м/с.
2) Дальность полета тела составляет 80 м.
3) Скорость тела в момент времени 2,0 с примерно равна 21 м/с.
4) При увеличении начальной скорости броска в 2 раза, дальность полета будет составлять 40 м.
5) В момент времени 2,0 с тело находится на высоте равной половине от первоначальной.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.). Координата $x$ определяет дальность полета тела. Координата $y$ — высоту, на которой находится тело. Судя по таблице, дальность полета тела составляет 20 м, т.е. утверждение 2 — не верно. Начальная высота, на которой находится тело, равна 80 м. Через 2 с движения координата $y$ (высота на которой будет находиться тело) будет равна 60 м, т.е. утверждение 5 также не верно. В отсутствии сопротивления воздуха, ускорение тела, брошенного горизонтально, будет равно ускорению свободного падения $a_x=g_x$.  

Координаты тела при равноускоренном движении имеют вид

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$.

В проекциях на координатные оси эти уравнения перепишутся в виде

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Найдем начальную скорость. Время падения тела — $t=4$ с, т.к в этот момент времени $y=0$, что соответствует моменту падения тела на землю. Тогда, из формулы координаты $x$ имеем

$v_0=\frac{x}{t}\Rightarrow v_0=\frac{20}{4}=5$ м/с.

Утверждение 1 — верно. Рассмотрим вопрос о том, как изменится дальность полета при изменении скорости броска. Из формулы координаты $y$ видно, что время падения тела не зависит от начальной скорости, а определяется только высотой, на которой изначально находится тело (в этом нетрудно убедиться, если вывести формулу времени падения тела). Тогда из формулы координаты $x=v_0t$ следует, что при неизменном времени падения и увеличении начальной скорости тела в 2 раза, дальность полета также увеличится в 2 раза и составит 40 м. Значит, утверждение 4 — верно.

Модуль скорости найдем через ее проекции на координатные оси $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

$v_x=v_{0x}+g_xt\Rightarrow v_x=v_0$, $ v_x=5$ м/с,

$v_y=v_{0y}+g_yt\Rightarrow v_y=-gt$, $v_y=-10 \cdot 2=-20$ м/с,

$v=\sqrt{5^2+(-20)^2}\approx 21$ м/с.

Утверждение 3 — верно.

Ответ: 134

[свернуть]

17. (ЕГЭ-2023 по физике. Досрочная волна) Дом стоит на краю поля. С балкона с высоты 5 м мальчик бросил камешек в горизонтальном направлении. Начальная скорость камешка 7 м/с. На какой высоте будет находиться камешек через 2 с после броска?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Особенности введения системы отсчета и рисунок смотри в предыдущей задаче. Координаты тела имеют вид

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Найдем высоту, на которой будет находиться тело через 2 секунды полета

$y=5-\frac{10 \cdot 2^2}{2}=-15$ м.

Но может ли быть у тела отрицательная координата? Мы связывали начало координат с поверхностью земли, поэтому ниже начала координат тело упасть не может. Это означает, что к моменту времени $t=2$ с тело уже упало на поверхность земли и не движется, т.е. его высота относительно поверхности земли в указанный момент времени равна нулю.

Ответ: 0 м, тело будет находиться на поверхности земли.

[свернуть]

18. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) С самолета, летящего горизонтально на высоте 500 м с постоянной скоростью 180 км/ч, сбросили груз. На какой высоте скорость груза будет составлять угол 60° с горизонтом?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.). Координаты тела имеют вид

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Для того чтобы найти высоту, нужно узнать время через которое скорость груза будет составлять угол 30° с горизонтом. При криволинейном движении скорость тела направлена по касательной. Как видно из построений на рисунке, угол наклона скорости к горизонту можно найти через тангенс этого угла

$tg \alpha =\frac{\left|v_y \right|}{\left| v_x \right|}=\frac{\left|v_{0y}+g_yt \right|}{\left|v_{0x}+g_xt \right|}=\frac{gt}{v_0}$,

$gt=v_0 tg \alpha \Rightarrow t=\frac{v_0 tg \alpha}{g}$.

Подставим это время в координату $y$ и вычислим ее

$y=h-\frac{g }{2} \cdot \frac{v_0^2 tg^2 \alpha }{g^2} =h- \frac{v_0^2 tg^2 \alpha }{2g}$,

$y= 500 — \frac{50^2 \cdot \left(\sqrt{3} \right)^2}{2 \cdot 10} =125$ м.

Ответ: 125 м.

[свернуть]

19. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты брошено тело?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Особенности введения системы отсчета и рисунок смотри в задаче 16. Координаты тела имеют вид

$x=v_0t$,

$y=h-\frac{g t^2}{2}$.

Поскольку высота равна дальности полета, то при падении на землю $x=h$, выразим отсюда время движения и подставим его в координату $y$, учитывая что она в момент падения будет равна нулю

$t=\frac{h}{v_0} \Rightarrow h-\frac{gh^2}{2v_0^2}=0$,

$1-\frac{gh}{2v_0^2}=0$,

$\frac{gh}{2v_0^2}=1 \Rightarrow h=\frac{2v_0^2}{g}$,

$\frac{gh}{2v_0^2}=1 \Rightarrow h=\frac{2 \cdot 10^2}{10}=20$ м.

Ответ: 20 м.

[свернуть]

20. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) Самолет летит горизонтально с постоянной скоростью 100 м/с на высоте 500 м. С самолета нужно сбросить груз на корабль, движущийся встречным курсом со скоростью 10 м/с. На каком расстоянии от корабля по горизонтали летчик должен сбросить груз?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Систему отсчета свяжем с землей, координатную ось $y$ направим вверх, координатную ось $x$ направим вдоль поверхности земли, за начало координат примем уровень соответствующий поверхности земли (см. рис.).

Запишем уравнения движения для груза, брошенного с самолета и корабля соответственно, учитывая, что начальной координатой $x_0$ второго тела будет искомое расстояние $l$

$x_1= v_0t$,

$y_1=h-\frac{gt^2}{2}$,

$x_2=l-vt$, $y_2=0$.

Время встречи найдем из условия, что груз должен упасть с определенной высоты, используем координату $y$ движения груза — в момент падения она будет равна нулю

$h-\frac{gt^2}{2}=0\Rightarrow 2h=gt^2$,

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$,

$t=\sqrt{\frac{2 \cdot 500}{10}}=10$ с.

В момент, когда груз упадет на корабль, координаты груза и корабля будут равны 

$v_0t=l-vt \Rightarrow l=t(v_0+v)$,

$l=10 \cdot (100+10)=1100$ м.

Ответ: 1100 м.

[свернуть]

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

21. (Открытый банк заданий ФИПИ) Мячик бросают с начальной скоростью $\vec{v}_0$ под углом α к горизонту с балкона высотой h (см. рисунок). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение мячика в процессе полёта, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия мячика отсчитывается от уровня y = 0.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ГРАФИКИ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
1) координата $x$ мячика

2) проекция импульса мячика на ось $x$

3) проекция импульса мячика на ось $y$

4) потенциальная энергия мячика

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Распишем какой вид будет иметь каждая зависимость.

1) Координата $x$ мячика: $x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}\Rightarrow x=v_0 cos\alpha \cdot t$. Эта зависимость — линейная. График берет свое начало в начале координат и поднимается вверх (координата все время возрастает, пока тело не упадет на землю). Такой зависимости в представленных вариантах — нет.

2) Проекция импульса мячика на ось $x$: $p_x=mv_x=m(v_{0x}+g_xt)=mv_0 cos\alpha =const$. Зависимость является величиной постоянной при заданных значениях массы, начальной скорости и угла бросания. Эта величина не зависит от времени. Такую зависимость выражает график А.

3) Проекция импульса мячика на ось $y$: $p_y=mv_y=m(v_{0y}+g_yt)=mv_0 sin\alpha -mgt$. Вид зависимости — линейная. Поскольку коэффициент при независимой переменной $t$ — отрицательный, то график этой зависимости будет представлять собой прямую, наклоненную вниз (график Б).

4) Потенциальная энергия мячика: $E=mgh=mgy=mg\left(y_0+v_{0y}t+\frac{g_yt^2}{2} \right)=mg\left(h+v_0 sin\alpha \cdot t-\frac{gt^2}{2} \right)$. Зависимость — квадратичная, т.к. независимая переменная $t$ во второй степени. График квадратичной зависимости — парабола. Такого графика здесь нет.

Итого: А-2, Б-3.

Ответ: 23

[свернуть]

22. (ЕГЭ-2019. Досрочная волна) Мячик бросают с начальной скоростью $\vec{v}_0$ под углом α к горизонту с балкона высотой h (см. рисунок). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение мячика в процессе полёта, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия мячика отсчитывается от уровня y = 0.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ГРАФИКИ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
1) проекция импульса мячика на ось $y$

2) кинетическая энергия мячика

3) проекция импульса мячика на ось $x$

4) потенциальная энергия мячика

Нажмите, чтобы увидеть решение

Первая зависимость — зависимость проекции импульса мячика на ось $x$ (см. предыдущее задание). Вторая зависимость — потенциальной энергии мячика от времени (см. предыдущее задание). Напомним, что эта зависимость выражается формулой

$E=mg\left(h+v_0 sin\alpha \cdot t-\frac{gt^2}{2} \right)$.

Ветви этой параболы направлены вниз (что и показано на рисунке Б), т.к. коэффициент при $t^2$ отрицательный. Кроме того, в начальный момент времени ($t=0$) $E_0\neq 0$, $E_0=mgh$.

Итого: А-3, Б-4.

Ответ: 34

[свернуть]

23. (Открытый банк заданий ФИПИ) Шарик, брошенный с поверхности Земли под углом 20° к горизонту с начальной скоростью $\vec{v}_0$, поднялся на максимальную высоту H и пролетел в горизонтальном направлении расстояние L. Что произойдёт с дальностью полёта шарика и временем его полёта, если шарик бросить с той же по величине начальной скоростью под углом 30° к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь. Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:

1) увеличится
2) уменьшится
3) не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Дальность полёта шарика Время полёта шарика
   

Нажмите, чтобы увидеть решение

Получим формулы для нахождения дальности и времени полета шарика.

Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем время полета. В момент падения тела на землю $y=0$, используем это

$v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}=0$,

домножим это выражение на 2 и разделим на $t$, а затем выразим оттуда время движения

$2v_0 sin \alpha — g t=0$,

$2v_0 sin \alpha = g t$,

$t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$.

Так как $sin 30 ^{\circ} > sin 20 ^{\circ}$, то время полета увеличится. Теперь найдем дальность полета тела, как координату $x$

$l=x=v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_0 sin \alpha }{g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}=\frac{v_0^2 sin 2\alpha}{g}$.

Так как $sin 60 ^{\circ} > sin 40 ^{\circ}$, то дальность полета тела также увеличится.

Ответ: 11

[свернуть]

24. (Материалы сайта РЕШУ ЕГЭ) Тело брошено под углом 60° к горизонту с плоской горизонтальной поверхности с начальной скоростью 20 м/с. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. На каком минимальном расстоянии от точки бросания (по горизонтали) модуль проекции скорости тела на вертикальную ось будет составлять 25% от модуля проекции скорости тела на горизонтальную ось? Ответ приведите в метрах, округлив до целого числа. 

Нажмите, чтобы увидеть решение

При криволинейном движении скорость тела направлена по касательной (см. рисунок). Очевидно, что условия равенства проекций будет выполняться дважды: когда тело поднимается вверх и когда тело опускается вниз. Нас интересует наименьшее расстояние по горизонтали. Значит, мы должны рассматривать случай, когда тело поднимается вверх. В этом случае обе проекции скорости будут положительные, тогда мы имеем равенства

$\left|v_y \right| = 0,25 \left|v_x \right|\Rightarrow v_y=0,25v_x$.

Найдем проекции скорости на координатные оси и составим уравнение, которое позволит нам найти время, через которое выполнится условие, описанное нами выше

$v_x=v_{0x}+g_xt=v_0 cos\alpha $,

$v_y=v_{0y}+g_yt=v_0 sin\alpha -gt$,

$v_0 sin\alpha -gt=v_0 cos\alpha$,

$v_0 sin\alpha -v_0 cos\alpha=gt$,

$t=\frac{v_0(sin \alpha — cos\alpha)}{g}$,

$t=\frac{20 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2})}{10}=(\sqrt{3}-1)$ с.

Напишем уравнения движения тела вдоль горизонтальной оси и найдем искомое расстояние

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$x=20 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3}-1)\approx 7,32$ м.

Ответ: примерно 7,32 м.

[свернуть]

25. (Материалы сайта РЕШУ ЕГЭ) Камень брошен вверх под углом к горизонту. Сопротивление воздуха пренебрежимо малó. Как меняются с набором высоты потенциальная энергия камня в поле тяжести и ускорение камня? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1)  увеличивается
2)  уменьшается
3)  не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Потенциальная энергия камня Ускорение камня
   

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения, т.е. ускорение тела меняться не будет. Потенциальная энергия зависит от высоты, если высота увеличивается, то потенциальная энергия также увеличивается.

Ответ: 13

[свернуть]

26. (ЕГЭ-2016. Досрочная волна)Из начала декартовой системы координат в момент времени t = 0 тело (материальная точка) брошено под углом к горизонту. В таблице приведены результаты измерения координат тела x и y в зависимости от времени наблюдения. Выберите все верные утверждения на основании данных, приведённых в таблице.

1)  В момент времени $t=0,4$ с скорость тела равна 3 м/с.
2)  Проекция скорости $v_y$ в момент времени $t=0,2$ с равна 2 м/с.
3)  Тело бросили со скоростью 6 м/с.
4)  Тело бросили под углом 45°.
5)  Тело поднялось на максимальную высоту, равную 1,2 м.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_{0x} t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем проекции начальной скорости на координатные оси, взяв, например, координаты тела в момент времени $t=0,8$ с

$v_{0x}=\frac{x}{t}$, $v_{0x}=\frac{2,4}{0,8}=3$ м/с,

$v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}=0\Rightarrow v_{0y}=\frac{gt}{2}$, $v_{0y}=\frac{10 \cdot 0,8}{2}=4$ м/с.

Тогда, модуль начальной скорости $v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}$, $v_0=\sqrt{3^2+4^2}=5$ м/с (утверждение 3 — неверно). Угол наклона найдем через его тангенс

$tg \alpha =\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\frac{4}{3}>1\Rightarrow \alpha >45^{\circ}$.

Утверждение 4 — неверно. Заметим также, что наивысшая высота подъема (координата $y$) равна 0,8 м, а значит утверждение 5 — неверно. Осталось два утверждения, истинность которых мы не проверили. Но в заданиях такого типа может быть минимум два верных утверждения. Получается, что утверждения 1 и 2 — верные. Докажем это. Модуль скорости может быть найден по формуле $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

$v_x=v_{0x}+g_xt=v_{0x}$, $v_x=3$ м/с,

$v_y=v_{0y}+g_yt=v_{0y} -gt$,

$v_y=4 -10 \cdot 0,4=0$,

$v=\sqrt{3^2+0^2}=3$ м/с.

В момент времени $t=0,2$ с проекция скорости $v_y$ равна: $v_y=4 -10 \cdot 0,2=2$ м/с.

Ответ: 12

[свернуть]

27. (ЕГЭ-2023. Досрочная волна) Камень бросают под углом к горизонту с горизонтальной площадки. Затем камень бросают во второй раз с той же площадки, сохранив неизменным угол между вектором начальной скорости и площадкой, но уменьшив начальную скорость. Как изменяются во втором случае по сравнению с первым время подъема камня и его ускорение? Сопротивлением воздуха пренебречь. Для каждой величины определите соответствующий характер её изменения:

1)  увеличивается
2)  уменьшается
3)  не изменяется

Запишите в таблицу нужные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Время подъема камня Ускорение камня
   

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения, т.е. ускорение тела меняться не будет. Найдем время подъема. В наивысшей точке траектории, скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю

$v_y=v_{0y}+g_y t = v_0 sin \alpha — gt=0$, 

отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$. Из полученной формулы видно, что при уменьшении начальной скорости, время подъема также уменьшится.

Ответ: 23

[свернуть]

28. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) Дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту со скоростью 10 м/с, равна высоте, на которую поднимается тело. Под каким углом к горизонту было брошено тело?

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем время подъема, а затем высоту подъема. В наивысшей точке траектории, скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю

$v_y=v_{0y}+g_y t = v_0 sin \alpha — gt=0$, 

отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$. Высота подъема — координата $y$

$H=y=v_0 sin \alpha \cdot \frac{v_0 sin \alpha }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_0 sin \alpha }{g} \right )^2}{2}=$

$=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{g}-\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}$.

Найдем время полета. В момент падения тела на землю $y=0$, используем это

$v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}=0$,

домножим это выражение на 2 и разделим на $t$, а затем выразим оттуда время движения

$2v_0 sin \alpha — g t=0$,

$2v_0 sin \alpha = g t$,

$t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$.

Теперь найдем дальность полета тела, как координату $x$

$l=x=v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_0 sin \alpha }{g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}$.

По условию, дальность полета равна высоте подъема. Составим уравнение и решим его

$\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}$.

Сокращаем общие множители и домножаем на 2 обе части уравнения

$sin\alpha =4cos\alpha$.

Синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно быть равны нулю, поэтому обе части полученного уравнения можно разделить, например, на косинус. Получим

$tg\alpha =4\Rightarrow \alpha =arctg 4$, $\alpha \approx 76^{\circ}$.

Ответ: $\alpha =arctg 4$ или $\alpha \approx 76^{\circ}$.

[свернуть]

29. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) Тело брошено со скоростью $v_0=20$ м/с под углом = 45° к горизонту. Определите перемещение тела за $t=1$ с движения. Под каким углом β к горизонту в этот момент времени будет находиться тело, если смотреть на него из точки бросания?

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тело — сила тяжести. Это означает, что тело будет двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Напишем уравнения движения

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha \cdot t$,

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$.

Видно, что $s=\sqrt{x^2+y^2}$. Найдем координаты тела и перемещение тела в момент времени $t=1$ с

$x=20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1=10\sqrt{2}$ м,

$y=20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1- \frac{10 \cdot 1^2}{2}=(10\sqrt{2}-5)$ м,

$s=\sqrt{(10\sqrt{2})^2+(10\sqrt{2}-5)^2}\approx 16,84$ м.

Очевидно, что угол β можно найти из соотношения

$tg\beta =\frac{y}{x}=\frac{10\sqrt{2}-5}{10\sqrt{2}}=1-\frac{5}{10\sqrt{2}}=1-\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,65$,

$\beta = arctg 0,65$ или $\beta \approx 33^{\circ}$.

Ответ: примерно 16,84 м; $\beta = arctg 0,65$ или примерно $33^{\circ}$.

[свернуть]

30. (Н.В. Турчина. Физика в задачах для поступающих в ВУЗы) Два мальчика стоят на расстоянии $l=4,8$ м друг от друга. Один мальчик бросает вертикально вверх спичечный коробок со скоростью $u=6$ м/с. Второй мальчик стреляет из рогатки камешком так, что камешек попадает в коробок, находящийся в верхней точке своей траектории. С какой скоростью камешек вылетел из рогатки?

Нажмите, чтобы увидеть решение

В отсутствии сопротивления воздуха, единственная сила, действующая на тела — сила тяжести. Это означает, что оба тела будут двигаться с ускорением равным ускорению свободного падения. Напишем уравнения движения тел

для тела брошенного под углом к горизонту:

$x_1=x_{01}+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_{0x} t$,

$y_1=y_{01}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}$;

для тела брошенного вертикально вверх:

$x_2=x_{02}+u_xt+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=l$,

$y_2=y_{02}+u_yt+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=u t- \frac{g t^2}{2}$.

Найдем время подъема. В наивысшей точке траектории, скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю

$v_y=v_{0y}+g_y t = v_{0y} — gt=0$, 

отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_{0y}}{g}$. В момент встречи, тела будут иметь одинаковые координаты. Приравняем их, получим уравнения из которых найдем проекции начальной скорости на координатные оси

$v_{0y} t- \frac{g t^2}{2}=u t- \frac{g t^2}{2}\Rightarrow v_{0y} t=ut$,

$v_{0y} =u=6$ м/с.

$v_{0x} t=l\Rightarrow v_{0x}=\frac{l}{t}=l:\frac{v_{0y}}{g}=\frac{gl}{v_{0y}}$,

$v_{0x}=\frac{10 \cdot 4,8}{6} =8$ м/с.

Находим модуль начальной скорости $v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}$, $v_0=\sqrt{8^2+6^2}=10$ м/с.

Ответ: 10 м/с.

[свернуть]