Задача. В цилиндрический сосуд с водой опустили кусок льда, в котором находится кусок стекла. При этом лед стал плавать, целиком погрузившись в воду, а уровень воды в сосуде увеличился на $\Delta h=11$ мм. Насколько понизится уровень воды в сосуде после таяния льда? Плотность стекла 2000 кг/м3.
Решение. После того как лед растает, в воде останется кусок стекла, он будет вытеснять такой же объем, как и будучи заключенным в лед. Поэтому изменение уровня воды будет обусловлено тем, что объем воды, образовавшейся изо льда, будет меньше объема льда. Кусок льда со стеклом плавает в воде, поэтому сила Архимеда равна силе тяжести
$(m_1+m_2)\, g=F_{A}$,
где $m_1$ — масса льда, $m_2$ — масса куска стекла.
Силы Архимеда, действующая на этот кусок льда
$F_{A}=\rho \, g \,(V_1+V_2)$,
где $V_1$ — объем льда, а $V_2$ — объем куска стекла. Перепишем условие плавания льда
$(m_1+m_2)\, g=\rho \, g \,(V_1+V_2)$,
$m_1+m_2=\rho \,(V_1+V_2)$.
Задача не содержит достаточных условий, чтобы решите ее через прямые вычисления, поэтому придется сравнивать. Например, последнее уравнение позволяет сравнить объемы льда и стекла
$\rho_1V_1+\rho_2V_2=\rho V_1+\rho V_2$,
$\rho_2V_2-\rho V_2=\rho V_1-\rho_1V_1$,
$(\rho_2-\rho)\, V_2=(\rho-\rho_1)\,V_1$,
$\frac{V_2}{V_1}=\frac{1000-900}{2000-1000}=0,1\Rightarrow V_2=0,1V_1$.
При погружении льда в воду, он вытесняет объем и, можно сказать, лед и стекло по отдельности вытесняют объемы воды равные их объемам
$V_1+V_2=V$,
$S \cdot \Delta h_1+S \cdot \Delta h_2=S \cdot \Delta h$,
$\Delta h_1+\Delta h_2=\Delta h$.
Причем, из равенства $V_2=0,1V_1\Rightarrow S \cdot \Delta h_2=0,1S \cdot \Delta h_1$ следует, что $\Delta h_2=0,1 \Delta h_1$. Изменение уровня воды в в сосуде в результате того, что в него поместили кусок льда
$\Delta h_1+0,1 \Delta h_1=\Delta h$,
$1,1 \Delta h_1=\Delta h\Rightarrow \Delta h_1=\frac{\Delta h}{1,1}$,
$\Delta h_1=\frac{11}{1,1}=10$ мм.
Как уже говорилось выше, изменение уровня воды произойдет благодаря тому, что объем воды, образовавшейся изо льда, будет меньше объема льда. Сравним эти изменения, воспользовавшись тем, что масса образовавшейся воды равна массе льда
$m=m_1$,
$\rho V’=\rho_1 V_1$,
$\rho S \cdot \Delta h’=\rho_1 S \cdot \Delta h_1$,
$\Delta h’=\frac{\rho_1 \cdot \Delta h_1}{\rho}$,
$\Delta h’=\frac{900 \cdot 10}{1000}=9$.
Искомое понижение уровня воды в сосуде $\Delta H=\Delta h_1-\Delta h’$, $\Delta H=10-9=1$ мм.
Ответ: 1 мм.