Задача. Из реактивной установки общей массой $m_1=500$ кг, которая покоится на гладкой горизонтальной поверхности, в горизонтальном направлении выбрасываются последовательно две порции вещества со скоростью $v=100$ м/с относительно установки. Масса каждой порции $m_2=25$ кг. Какой станет скорость установки после выброса первой порции? второй порции? Сравните скорость установки после выброса второй порции со скоростью установки, которая была бы получена, если бы две порции были выброшены одновременно с той же скоростью $v=100$ м/с.
Решение. Трение, которое могло бы действовать в горизонтальном направлении отсутствует, значит можно записать ЗСИ в проекциях на горизонтальное направление. Пусть, после выброса вещества, установка приобретает скорость $\overrightarrow{u}_1$ относительно земли. Скорость $\overrightarrow{v}$ порции вещества — это скорость в системе отсчета, связанной с установкой. Так как вещество и установка движутся в противоположные стороны, то модуль этой скорости будет равен $v=u_1+v_1$, где $v_1$ — скорость порции относительно земли. Отсюда $v_1=v-u_1$. Теперь можем перейти к написанию ЗСИ.
$(m_1-m_2)\overrightarrow{u}_1+m_2\overrightarrow{v}_1=0$.
Понятно, что сумма двух векторных величин равна нулю, если они равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому
$(m_1-m_2)u_1=m_2v_1$,
$(m_1-m_2)u_1=m_2(v-u_1)$,
$m_1u_1-m_2u_1=m_2v-m_2u_1$,
$m_1u_1=m_2v$,
$u_1=\frac{m_2v}{m_1}$,
$u_1=\frac{25 \cdot 100}{500}=5$ м/с.
Теперь ответим на второй вопрос. Пусть в системе отсчета, связанной с землей, после выброса вещества, установка приобретает скорость $\overrightarrow{u}_2$, а вещество скорость $\overrightarrow{v}_2$. Так как вещество и установка движутся в противоположные стороны, то модуль скорости вещества относительно установки будет равен $v=u_2+v_2$, откуда $v_2=v-u_2$. Очевидно, что установки продолжает двигаться в прежнем направлении, а вещество выбрасывается против этого направления, поэтому ЗСИ в модулях будет иметь вид
$(m_1-m_2)u_1=(m_1-2m_2)u_2-m_2v_2$,
$(m_1-m_2)u_1=(m_1-2m_2)u_2-m_2(v-u_2)$,
$(m_1-m_2)u_1=m_1u_2-2m_2u_2-m_2v+m_2u_2$,
$(m_1-m_2)u_1+m_2v=m_1u_2-m_2u_2$,
$(m_1-m_2)u_1+m_2v=(m_1-m_2)u_2$,
$u_2=\frac{(m_1-m_2)u_1+m_2v}{m_1-m_2}$,
$u_2=\frac{(500-25)\cdot 5+25 \cdot 100}{500-25}\approx 10,26$ м/с.
Если порции выброшены одновременно, то это равносильно выбросу одной порции вдвое больше массы, поэтому
$u_1=\frac{2m_2v}{m_1}$,
$u_1=\frac{2 \cdot 25 \cdot 100}{500}=10$ м/с.
Таким образом $u_2>u_3$.
Ответ: 5 м/с; 10,26 м/с; 10 м/с; $u_2>u_3$.