Задача. Тело массой 2 кг движется вдоль оси $Ox$. Его координата с течением времени меняется по закону $x=4-3t+12t^2$. Определите изменение кинетической энергии тела от начала второй до конца третьей секунды.
Решение. Кинетическая энергия тела находится во формуле
$E_k=\frac{mv^2}{2}$.
Чтобы найти изменение кинетической энергии, необходимо найти скорость тела в заданные моменты времени. Это можно сделать двумя способами.
I способ. Физический смысл производной заключается в том, что производная от координаты, есть скорость тела. Найдем производную от координаты
$v_x=x'(t)=(4-3t+12t^2)’=-3+24t$.
Скорость тела в момент времени $t_1=1$ с (вторая секунда начинается, когда заканчивается первая секунда) равна $v_x=-3+24 \cdot 1 =21$ м/с. Скорость тела в момент времени $t_2=3$ с равна $v_x=-3+24 \cdot 3 =69$ м/с.
II способ (для тех кто еще не изучил производную). При равноускоренном движении зависимость координаты от времени задается уравнением $x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}$. Сравнив коэффициентом в этом и заданном уравнении можно прийти к выводу, что $x_0=4$ м, $v_{0x}=-3$ м/с, $\frac{a_x}{2}=12\Rightarrow a_x=24$ м/с2. Уравнение скорости при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид $v_x=v_{0x}+a_xt$, находим скорость тела в в моменты времени $t_1=1$ с и $t_2=3$ с
$v_{1x}=-3+24 \cdot 1 =21$ м/с,
$v_{2x}=-3+24 \cdot 3 =69$ м/с.
Находим изменение кинетической энергии тела
$\Delta E_k=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}=\frac{m(v_2^2-v_1^2)}{2}$,
$\Delta E_k=\frac{2 \cdot (69^2-21^2)}{2}=4320$ Дж.
Ответ: 4320 Дж.