Задача. С какой минимальной угловой скоростью надо вращать ведро в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода? Расстояние от поверхности воды до центра вращения равно $R$.
Решение. Вода не выливается из ведра, если она оказывает некоторое давление на его дно. То есть пограничным условием здесь является состояние невесомости, т.е. когда вода перестанет давить на дно ведра. При равномерном движении ведра с водой по окружности, возникает центростремительное ускорение (см. рис.).
Из формулы веса тела $\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$, с учетом проекций векторов на координатную ось $y$ получим
$-P=m(g-a))$,
$P=m(a-g).
Получается, что вода не будет выливаться из ведра, если минимальный модуль ускорения $a=g$, т.к. при этом условии $P=0$. Из формулы центростремительного ускорения найдем угловую скорость
$a=\omega^2R$,
$g=\omega^2R$,
$\omega^2=\frac{g}{R}$,
$\omega=\sqrt{\frac{g}{R}}$.
Ответ: угловая скорость должна удовлетворять условию $\omega=\sqrt{\frac{g}{R}}$.