Задача. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 54 км/ч по дороге, профиль которой показан на рисунке. Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках A, B, C, D, если $R= 200$ м, $\alpha= 30^{\circ}$. Какой должна быть скорость автомобиля, чтобы он не оказывал давление в точке D?
Решение. Покажем на рисунке интересующие нас векторы.
В точке А вертикальной составляющей (и вообще честно говоря никакого) ускорения нет, поэтому вес автомобиля в этой точке $P_1=mg$, $P_1=1000 \cdot 10=10000$ Н $=10$ кН.
В дальнейшем для нахождения ускорения будем использовать общую формулу $\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$, где $\vec{a}$ — центростремительное ускорение автомобиля при его криволинейном движении. Найдем его
$a=\frac{v^2}{R}$,
$a=\frac{15^2}{200}=1,125$ м/с2.
То есть модуль любого ускорения $a_2=a_3=a_4=a$.
С учетом обозначений и проекций векторов на координатную ось $y$ в точке В, получим
$P_2=m(g-(-a_2))=m(g+a_2)$,
$P_2=1000 \cdot (10+1,125)=11125$ Н.
С учетом обозначений и проекций векторов на координатную ось направленную вдоль радиуса по направлению вектора $\vec{P}_3$ в точке C, получим
$P_3 =m(g \, cos\, \alpha -(-a_3))=m(g \, cos\, \alpha+a_3)$,
$P_3 =1000 \cdot \left( 10 \cdot 0,5 \sqrt{3}+1,125 \right) \approx 9 785$ Н.
С учетом обозначений и проекций векторов на координатную ось $y$ в точке D, получим
$P_4=m(g-a_4)$,
$P_4=1000 \cdot (10-1,125)=8875$ Н.
В точке D вес тела будет равен нулю, если выполнится условие $g=a$. Из формулы центростремительного ускорения найдем линейную скорость автомобиля
$g=\frac{v^2}{R}$,
$gR=v^2$,
$\sqrt{gR}=\sqrt{v^2}$,
$v=\sqrt{gR}$,
$v=\sqrt{10 \cdot 200} \approx 44,72$ м/с.
Ответ: 10 кН; 11125 Н; примерно 9785 Н; 8875 Н; примерно 44,72 м/с.