Задача. Вес тела на полюсе планеты, имеющей форму шара, на 16% превышает вес на экваторе. Чему равен период обращения планеты, если её плотность 700 кг/м3?
Решение. Покажем на рисунке интересующие нас векторы (помним о том, что вектор ускорения свободного падения всегда направлен к центру планеты).
Для нахождения веса будем использовать общую формулу $\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$. Заметим, что тело, находящееся на полюсе планеты не движется относительно оси, так как оно на этой оси и расположено. Это означает, что вес этого тела на полюсе будет равен $P_1=mg$.
Тело, расположенное на экваторе движется относительно оси планеты равномерно по окружности. Поэтому его вес уменьшается из-за наличия центростремительного ускорения (это следует из формулы веса и одинакового направления всех векторов)
$P_2=m(g-a)$,
где $a$ — модуль центростремительного ускорения тела.
Согласно условию задачи, $P_1=1,16P_2$. Используя это соотношение, получим
$mg=1,16m(g-a)$,
$g=1,16(g-a)$,
$g=1,16g-1,16a$,
$1,16a=0,16g$.
При равномерном движении по окружности, модуль центростремительного ускорения может быть выражен следующим образом
$a=\omega^2R=\left(\frac{2\pi }{T} \right)^2 \cdot R=\frac{4\pi^2}{T^2} \cdot R$.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты
$g=G \cdot \frac{M}{R^2}$,
где $M$ — масса планеты, может быть выражена через ее плотность $M=\rho V$. Поскольку предполагается, что планета сферическая, то ее объем можно выразить формулой
$V=\frac{4}{3}\pi R^3$.
Теперь, с учетом всего написанного, ускорение свободного падения будет выражаться так
$g=G \cdot \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2}=\frac{4}{3}\pi G\rho R$.
Подставляем найденные выражения в связь центростремительного ускорения с ускорением свободного падения и находим период обращения
$1,16 \cdot \frac{4\pi^2}{T^2} \cdot R=0,16 \cdot \frac{4}{3}\pi G\rho R$б
$\frac{1,16\pi}{T^2} = \frac{0,16G\rho}{3}$,
$\frac{29\pi}{T^2} = \frac{4G\rho}{3}$,
$87\pi = 4G \rho T^2$,
$T^2 = \frac{87\pi}{4G \rho}$,
$T = \sqrt{\frac{87\pi}{4G \rho} }$,
$T = \sqrt{\frac{87 \cdot 3,14}{4 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7 \cdot 10^2} } \approx 38246$ с.
Ответ: примерно 38246 с.