Задача. Вес тела на полюсе планеты в $n$ раз больше, чем на экваторе. Средняя плотность планеты $\rho$. Чему равен период $T$ вращения планеты вокруг собственной оси?
Решение. Покажем на рисунке интересующие нас векторы (помним о том, что вектор ускорения свободного падения всегда направлен к центру планеты).
Для нахождения веса будем использовать общую формулу $\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$. Заметим, что тело, находящееся на полюсе планеты не движется относительно оси, так как оно на этой оси и расположено. Это означает, что вес этого тела на полюсе будет равен $P_2=mg$.
Тело, расположенное на экваторе движется относительно оси планеты равномерно по окружности. Поэтому его вес уменьшается из-за наличия центростремительного ускорения (это следует из формулы веса и одинакового направления всех векторов)
$P_1=m(g-a)$,
где $a$ — модуль центростремительного ускорения тела.
Находим искомое отношение
$\frac{P_1}{P_2}=\frac{m(g-a)}{mg}=\frac{g-a}{g}=1-\frac{a}{g}$.
При равномерном движении по окружности, модуль центростремительного ускорения может быть выражен следующим образом
$a=\omega^2R=\left(\frac{2\pi }{T} \right)^2 \cdot R=\frac{4\pi^2 R}{T^2}$.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты
$g=G \cdot \frac{M}{R^2}$.
Находим отношение
$\frac{P_1}{P_2}=1-\frac{a}{g}=1-\frac{4\pi^2 R}{T^2}: \frac{GM}{R^2}=1-\frac{4\pi^2 R^3}{GMT^2}$.
Массу планеты можно выразить через ее плотность и объем
$M= \rho V= \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
Тогда последнее отношение, с учетом того что $P_2=nP_1$, получим
$\frac{P_1}{nP_1}=1-\frac{4\pi^2 R^3}{GT^2 \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}=1-\frac{3\pi }{\rho GT^2}$,
$\frac{3\pi}{\rho GT^2} =1-\frac{1}{n}$,
$\frac{3\pi}{\rho GT^2} =\frac{n-1}{n}$,
$3\pi n=\rho GT^2 (n-1)$,
$T^2=\frac{3\pi n}{\rho G (n-1)}$,
$T=\sqrt{\frac{3\pi n}{\rho G (n-1)}}$.