Задача. Определите среднюю плотность планеты, если период её вращения вокруг своей оси равен $3 \cdot 10^4$ с, а вес тела на экваторе составляет 97 % от веса этого же тела на полюсе.
Решение. Покажем на рисунке интересующие нас векторы (помним о том, что вектор ускорения свободного падения всегда направлен к центру планеты).
Для нахождения веса будем использовать общую формулу $\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a})$. Заметим, что тело, находящееся на полюсе планеты не движется относительно оси, так как оно на этой оси и расположено. Это означает, что вес этого тела на полюсе будет равен $P_1=mg$.
Тело, расположенное на экваторе движется относительно оси планеты равномерно по окружности. Поэтому его вес уменьшается из-за наличия центростремительного ускорения (это следует из формулы веса и одинакового направления всех векторов)
$P_2=m(g-a)$,
где $a$ — модуль центростремительного ускорения тела.
Согласно условию задачи, $P_2=0,97P_1$. Используя это соотношение, получим
$m(g-a)=0,97 mg$,
$g-a=0,97 g$,
$0,03g=a$.
При равномерном движении по окружности, модуль центростремительного ускорения может быть выражен следующим образом
$a=\omega^2R=\left(\frac{2\pi }{T} \right)^2 \cdot R=\frac{4\pi^2}{T^2} \cdot R$.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты
$g=G \cdot \frac{M}{R^2}$,
где $M$ — масса планеты, может быть выражена через ее плотность $M=\rho V$. Поскольку предполагается, что планета сферическая, то ее объем можно выразить формулой
$V=\frac{4}{3}\pi R^3$.
Теперь, с учетом всего написанного, ускорение свободного падения будет выражаться так
$g=G \cdot \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2}=\frac{4}{3}\pi G\rho R$.
Подставляем найденные выражения в связь центростремительного ускорения с ускорением свободного падения и находим период обращения
$0,03 \cdot \frac{4}{3}\pi G\rho R= \frac{4\pi^2}{T^2} \cdot R$,
$0,01 G\rho = \frac{\pi}{T^2}$,
$\rho = \frac{\pi}{0,01 G T^2}$,
$\rho = \frac{3,14}{0,01 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (3 \cdot 10^4)^2} \approx 5231$ кг/м3.
Ответ: примерно 5231 кг/м3.