Задача. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Средняя плотность вещества планеты ρ = 3000 кг/м3. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси.
Решение. Покажем на рисунке интересующие нас векторы (помним о том, что вектор ускорения свободного падения всегда направлен к центру планеты).
Вес тела, находящегося на полюсе планеты $P_1=mg$. Вес тела на экваторе уменьшается за счет суточного вращения планеты вокруг оси и с учетом центростремительного ускорения будет равен $P_2=m(g-a)$. Согласно условию задачи $P_1=2P_2$, а значит
$mg=2m(g-a)\Rightarrow a=\frac{g}{2}$.
Центростремительное ускорение связано с периодом обращения следующим образом
$a=\omega ^2R=\left ( \frac{2\pi }{T} \right )^2R$.
Приравняем последние два равенства и, используя известные нам соотношения для ускорения свободного падения, а также массы и плотности найдем период
$\frac{g}{2}=\left ( \frac{2\pi }{T} \right )^2R$,
$\frac{GM}{2R^2}= \frac{4\pi^2 }{T^2} R$,
$T^2=\frac{8\pi^2R^3}{GM}=\frac{8\pi^2R^3}{G\rho V}=\frac{8\pi^2R^3}{G\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{6\pi }{G\rho }$,
$T=\sqrt{\frac{6\pi }{G\rho }}$,
$T=\sqrt{\frac{6\cdot 3,14 }{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 3\cdot 10^3 }}\approx 9703$ с.
Примечание. При решении задачи было учтено, что объем сферы (шара) можно найти по формуле $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.
Ответ: $\approx 9703$ с.