Задача. Три тела соединены перекинутой через блок нерастяжимой и невесомой нитью (см. рис.). Массы грузов $m_1=0,1$ кг, $m_2=0,3$ кг, $m_3=0,2$ кг. При каком минимальном значении коэффициента трения между телами 1 и 2 и горизонтальной поверхностью возможно скольжение тел?
Решение. При решении задачи будем полагаться на два ключевых момента:
а) Для того чтобы выполнилось условие «…возможно скольжение тел» достаточно чтобы тела двигались равномерно;
б) скольжение будет возможно тогда, когда модуль силы трения покоя достигнет своего наибольшего значения (тело вот-вот начнет движение, оно находится на грани соскальзывания), максимальный модуль силы трения покоя будет равен модулю силы трения скольжения.
При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$m_1\vec{g}+\vec{T}’+\vec{N}_1+\vec{F}_{mp2}=0$,
$m_2\vec{g}+\vec{T}+\vec{N}_2+\vec{T}_1+\vec{F}_{mp1}=0$,
$m_3\vec{g}+\vec{T}_2=0$.
В проекциях на горизонтальную ось $x$
$T’-F_{mp2}=0$. (1)
$T_1-T-F_{mp1}=0$. (2)
В проекциях на вертикальную ось $y$
$N_1-m_1g=0$. (3)
$N_2-m_2g=0$. (4)
$T_2-m_3g=0$. (5)
4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T_1=T_2$. Также понятно, что виду невесомости нити, связывающей грузы $T’=T$. Из уравнений (3) и (4)
$N_1=m_1g$,
$N_2=m_2g$.
Согласно закону Амонтона-Кулона
$F_{mp1}=\mu N_1=\mu m_1g$,
$F_{mp2}=\mu N_2=\mu m_2g$.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми, т.е. все тела будут двигаться равномерно (мы это уже учли в уравнениях второго закона Ньютона для тел).
6. Перепишем уравнения (1), (2) и (5), с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$T-\mu m_2g=0$,
$T_1-T-\mu m_1g=0$,
$T_1-m_3g=0$.
Складываем все три уравнения, предварительно домножив третье уравнение на минус единицу
$T-\mu m_2g+T_1-T-\mu m_1g-T_1+m_3g=0$,
$-\mu m_2g-\mu m_1g+m_3g=0$,
$m_3g=\mu m_2g+\mu m_1g$,
$m_3=\mu (m_2+m_1)$,
$\mu=\frac{m_3}{m_2+m_1}$,$\mu=\frac{0,2}{0,3+0,1}=0,5$.
Ответ: 0,5