Задача. Четыре бруска одинаковой массы $m$ связаны нитями и соединены с грузом такой же массы нитью, перекинутой через блок. Блок невесомый. Коэффициент
трения между брусками и столом $\mu$. Найти: ускорение грузов; силы натяжения всех нитей; значения $\mu$, при которых грузы находятся в покое.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Заметим что на каждый груз, лежащий на столе, в вертикальном направлении действуют только две силы — тяжести и реакции опоры. Понятное дело, что во всех случаях сила тяжести компенсируется силой реакции, а значит во всех случаях (ввиду равенства масс тел) сила реакции будет одинаковой (по этой причине мы не стали применять индексы при обозначении сил реакции на рисунке и сразу показали, что это одинаковые векторы). Отсюда, кстати, следует, что модули сил трения , действующие на тела, будут одинаковыми (поэтому на рисунке мы их также показали одинаковыми векторами). Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$m\vec{g}+\vec{T}+\vec{T}_1+\vec{N}+\vec{F}_{mp2}=m\vec{a}_1$,
$m\vec{g}+\vec{T}’_1+\vec{T}_2+\vec{N}+\vec{F}_{mp}=m\vec{a}_1$,
$m\vec{g}+\vec{T}’_2+\vec{T}_3+\vec{N}+\vec{F}_{mp}=m\vec{a}_1$,
$m\vec{g}+\vec{T}’_3+\vec{N}+\vec{F}_{mp}=m\vec{a}_1$,
$m_3\vec{g}+\vec{T}_2=0$.
В проекциях на горизонтальную ось $x$
$T-T_1-F_{mp}=ma_1$. (1)
$T’_1-T_2-F_{mp}=ma_1$, (2)
$T’_2-T_3-F_{mp}=ma_1$ (3)
$T’_3-F_{mp}=ma_1$ (4)
В проекциях на вертикальную ось $y$ для всех грузов, находящихся на поверхности
$N-mg=0$. (5)
И для тела движущегося вниз
$T’-mg=-ma_2$. (6)
4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$. Также понятно, что виду невесомости нити, связывающей грузы $T_1=T’_1$, $T_2=T’_2$, $T_3=T’_3$. Из уравнения (5)
$N=mg$.
Согласно закону Амонтона-Кулона
$F_{mp}=\mu N=\mu mg$.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми, т.е. все тела будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a_1=a_2=a$.
6. Перепишем уравнения (1), (2), (3), (4) и (6), с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$T-T_1-\mu mg =ma$,
$T_1-T_2-\mu mg=ma$,
$T_2-T_3-\mu mg=ma$,
$T_3-\mu mg=ma$,
$T-mg=-ma$.
Складываем все уравнения, предварительно домножив последнее уравнение на минус единицу
$T-T_1-\mu mg+T_1-T_2-\mu mg+T_2-T_3-$
$-\mu mg+T_3-\mu mg-T+mg=ma+ma+ma+ma+ma$,
$mg-4\mu mg=5ma$,
$g-4\mu g=5a$,
$a=\frac{g(1-4\mu)}{5}$.
Теперь последовательно находим все силы натяжения
$T=mg-ma=mg-\frac{mg(1-4\mu)}{5}=\frac{5mg-mg+4\mu mg}{5}=\frac{4mg(1+\mu )}{5}$,
$T_3=\mu mg+ma=mg-ma=\mu mg+\frac{mg(1-4\mu)}{5}=\frac{5\mu mg+mg-4\mu mg}{5}=\frac{mg(1+\mu )}{5}$,
$T_2=T_3+\mu mg+ma=\frac{mg(1+\mu )}{5}+\mu mg+\frac{mg(1-4\mu)}{5}=$
$=\frac{mg+\mu mg+5\mu mg+mg-4\mu mg}{5}=\frac{2mg(1+\mu )}{5}$,
$T_1=T_2+\mu mg+ma=\frac{2mg(1+\mu )}{5}+\mu mg+\frac{mg(1-4\mu)}{5}=$,
$=\frac{2mg+2\mu mg+5\mu mg+mg-4\mu mg}{5}=\frac{3mg(1+\mu )}{5}$.
Для того чтобы система тел была неподвижной необходимо, чтобы сила трения покоя не превосходила максимальную силу трения покоя, которая, мы считаем, равна силе трения скольжения
$F_{mp} \leq \mu N$.
Вернемся к нашей системе уравнений и перепишем ее с учетом того, что на тела действует сила трения покоя (значит ее нельзя заменять на формулу полученную из закона Амонтона-Кулона) и $a=0$
$T-T_1-F_{mp} =0$,
$T_1-T_2-F_{mp} =0$,
$T_2-T_3-F_{mp} =0$,
$T_3-F_{mp} =0$,
$T-mg =0$.
Опять складываем все уравнения, предварительно домножив последнее уравнение на минус единицу
$T-T_1-F_{mp}+T_1-T_2-F_{mp}+T_2-T_3-F_{mp}+T_3-F_{mp}-T+mg =0$,
$mg-4F_{mp}=0$,
$F_{mp}=\frac{mg}{4}$.
Теперь возвращаемся к неравенству, помня, что $N=mg$
$\frac{mg}{4} \leq \mu mg$,
$\frac{1}{4}=0,25 \leq \mu$.
Ответ: $a=\frac{g(1-4\mu)}{5}$, $T=\frac{4mg(1+\mu )}{5}$, $T_1=\frac{3mg(1+\mu )}{5}$, $T_2=\frac{2mg(1+\mu )}{5}$, $T_3=\frac{mg(1+\mu )}{5}$, $0,25 \leq \mu$.