Задача. На абсолютно гладком горизонтальном столе лежат $n$ одинаковых грузов массой $m$ каждый, связанных последовательно нитями. Такой же$(n+1)$-й груз с помощью перекинутой через невесомый блок нити свешивается вниз. Определить натяжение нити между любым $k$-м и $(k+1)$-м грузами. Определить силу давления на ось блока.
Решение. Рассмотрим движение системы тел: груза массой массой $m$ свешивающегося вниз; первые $k$ грузов массой $km$, рассматривая их как одно целое; последние $n-k$ грузов массой $(n-k)m$, также , рассматривая их как одно целое. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$(n-k)m\vec{g}+\vec{T}+\vec{T}_1+\vec{N}_1=(n-k)m\vec{a}_1$,
$km\vec{g}+\vec{T}’_1=km\vec{a}_1$,
$m\vec{g}+\vec{T}’=m\vec{a}_2$.
В проекциях на горизонтальную ось $x$
$T-T_1=(n-k)ma_1$. (1)
$T’_1=kma_1$. (2)
В проекциях на вертикальную ось $y$ для тела движущегося вниз
$T’-mg=-ma_2$. (3)
4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$. Также понятно, что виду невесомости нити, связывающей грузы $T_1=T’_1$. Других сил, модули которых выражались бы известными формулами нет.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми, т.е. все тела будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a_1=a_2=a$.
6. Перепишем все уравнения с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$T-T_1=(n-k)ma$.
$T_1=kma$,
$T-mg=-ma$.
Нас интересует модуль силы натяжения $T_1$. Мы получили систему уравнений с тремя неизвестными: $a$, $T$, $T_1$. Найдем вначале ускорение тел системы, а затем уже все что нам требуется (это будет самый простой путь в плане математических преобразований). Складываем все уравнения, предварительно домножив последнее уравнение на минус единицу
$T-T_1+T_1-T+mg=(n-k)ma+kma+ma$,
$mg=(n-k+k+1)ma$,
$a=\frac{g}{n+1}$.
Теперь находим интересующую нас силу натяжения
$T_1=kma=\frac{mgk}{n+1}$.
Теперь рассмотрим вопрос силы давления блока на ось. Так как сам блок невесом, то давление блока на ось обусловлено действием (давлением) нити на блок. По третьему закону Ньютона эта сила равна силе реакции, действующей со стороны оси на сам блок $\vec{P}=-\vec{N},\: P=N$. На блок действуют три силы (см. рис.).
Так как масса блока равна нулю (блок невесом), то $\vec{T}+\vec{N}+\vec{T}’_1=0$ или $\vec{T}+\vec{T}’_1=-\vec{N}$. Векторы $\vec{T}$ и $\vec{T}’_1$ расположены под прямым углом. Их сумма — диагональ прямоугольника (а в нашем случае получится квадрата, т.к. $T=T’$), длина которой может быть найдена по теореме Пифагора
$N=\sqrt{T^2+T’^2}=\sqrt{T^2+T^2}=\sqrt{2T^2}=T\sqrt{2}$.
Таким образом, задача сводится к нахождению силы натяжения нити $T$. Поскольку значение силы натяжения $T_1$ и ускорения нам уже известны, то мы легко найдем оставшуюся силу натяжения, например, так
$T=mg-ma=mg-\frac{mg}{n+1}=mg\left(1-\frac{1}{n+1} \right)=\frac{mgn}{n+1}$.
Таким образом, интересующая нас сила давления
$P=N=T\sqrt{2}=\frac{mgn\sqrt{2}}{n+1}$.
Ответ: $T_1=\frac{mgk}{n+1}$, $P=\frac{mgn\sqrt{2}}{n+1}$.