Задача. Два тела массами $m$ и $M$, связанные нитью, переброшенной через невесомый блок, расположены так, как показано на рисунке. Стол движется с ускорением $a_0$. Коэффициент трения между столом и телами равен $\mu$. Определите ускорение тел относительно стола, если известно, что тело $m$ движется вниз.
Решение. Рисунок, указанный в задаче, вводит в заблуждение. Груз может скользить вертикально вниз, только если он будет двигаться по боковой поверхности стола. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$m\vec{g}+\vec{T}+\vec{N}_1+\vec{F}_{mp1}=m\vec{a}_1$,
$M\vec{g}+\vec{N}_2+\vec{T}’+\vec{F}_{mp2}=M\vec{a}_2$,
где $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ — ускорения грузов относительно Земли соответственно. Представим что направление этих ускорений нам не важно, так как нам все равно нужно будет от этих ускорений перейти к другим, поэтому проекции этих ускорений на координатные оси находить не будем.
В проекциях на горизонтальную ось $x$
$N_1=ma_{1x}$. (1)
$T’-F_{mp2}=Ma_{2x}$. (2)
В проекциях на вертикальную ось $y$
$N_2-Mg=Ma_{2y}$.
Так как вдоль вертикальной оси тело массой $M$ не движется, то $a_{2y}=0$, а значит
$N_2-Mg=0$ (3)
$T-mg+F_{mp1}=ma_{1y}$. (4)
4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$. Из уравнения (3) следует что $N_2=Mg$. Согласно закону Амонтона-Кулона
$F_{mp2}=\mu N_2=\mu Mg$,
а для тела висящего на нити $F_{mp1}=\mu N_=\mu ma_{1x}$.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми относительно поверхности стола, т.е. тела относительно поверхности стола движутся с одинаковыми по модулю ускорениями $a’=a$. Кроме того, согласно закону сложения ускорений, ускорение тела относительно неподвижной системы отсчёта (СО связанной с Землей) равно геометрической сумме ускорения тела относительно подвижной системы отсчёта (у нас это $\vec{a}\,’$ и $\vec{a}$ грузов $M$ и $m$ относительно стола) и ускорения подвижной системы (СО связанной со столом) относительно неподвижной:
для тела массой $m$ получим $\vec{a}_1=\vec{a}_0+\vec{a}$;
для тела массой $M$ получим $\vec{a}_2=\vec{a}\,’+\vec{a}_0$.
В проекциях на координатные оси получим
$a_{1y}=-a$,
$a_{1x}=a_0$,
$a_{2x}=a’+a_0=a+a_0$.
6. Перепишем уравнения (2) и (4) с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$T-\mu Mg=M(a+a_0)$,
$T-mg+\mu ma_0=-ma$.
Нас не интересует модуль силы натяжения $T$, поэтому избавляемся от нее
$T-\mu Mg-T+mg-\mu ma_0=M(a+a_0)+ma$,
$mg-\mu Mg-\mu ma_0=Ma+Ma_0+ma$,
$mg-\mu Mg-\mu ma_0-Ma_0=Ma+ma$,
$(m-\mu M)g-(\mu m+M)a_0=(M+m)a$,
$a=\frac{(m-\mu M)g-(M+\mu m)a_0}{M+m}$.
Ответ: $a=\frac{(m-\mu M)g-(M+\mu m)a_0}{M+m}$.
Автор сайта благодарит замечательного учителя физики Ольгу Глебовну Нечаеву из города Дмитров Московской области за то, что Ольга Глебовна внесла неоценимый вклад в решение этой задачи, догадалась какой именно «сюрприз» спрятали составители задачи в ее тексте и решила ее. Без этого существенного момента, задача не решается правильно, так как она должна решаться по замыслу ее авторов. Спасибо, Ольга Глебовна!