Задачи по динамике. Задача Д285

Задача. Два тела массами $m$ и $M$, связанные нитью, переброшенной через невесомый блок, расположены так, как показано на рисунке. Стол движется с ускорением $a_0$. Коэффициент трения между столом и телами равен $\mu$. Определите ускорение тел относительно стола, если известно, что тело $m$ движется вниз.

Решение. Рисунок, указанный в задаче, вводит в заблуждение. Груз может скользить вертикально вниз, только если он будет двигаться по боковой поверхности стола. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.

1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.


3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела

$m\vec{g}+\vec{T}+\vec{N}_1+\vec{F}_{mp1}=m\vec{a}_1$,

$M\vec{g}+\vec{N}_2+\vec{T}’+\vec{F}_{mp2}=M\vec{a}_2$,

где $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ — ускорения грузов относительно Земли соответственно. Представим что направление этих ускорений нам не важно, так как нам все равно нужно будет от этих ускорений перейти к другим, поэтому проекции этих ускорений на координатные оси находить не будем.

В проекциях на горизонтальную ось $x$ 

$N_1=ma_{1x}$.                                                          (1)

$T’-F_{mp2}=Ma_{2x}$.                                                          (2)

В проекциях на вертикальную ось $y$

$N_2-Mg=Ma_{2y}$.

Так как вдоль вертикальной оси тело массой $M$ не  движется, то $a_{2y}=0$, а значит

$N_2-Mg=0$                                                                              (3)

$T-mg+F_{mp1}=ma_{1y}$.                                                                (4)

4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$. Из уравнения (3) следует что $N_2=Mg$. Согласно закону Амонтона-Кулона

$F_{mp2}=\mu N_2=\mu Mg$,

а для тела висящего на нити $F_{mp1}=\mu N_=\mu ma_{1x}$.

5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми относительно поверхности стола, т.е. тела относительно поверхности стола движутся с одинаковыми по модулю ускорениями $a’=a$. Кроме того, согласно закону сложения ускорений, ускорение тела относительно неподвижной системы отсчёта (СО связанной с Землей) равно геометрической сумме ускорения тела относительно подвижной системы отсчёта (у нас это $\vec{a}\,’$ и $\vec{a}$ грузов $M$ и $m$ относительно стола) и ускорения подвижной системы (СО связанной со столом) относительно неподвижной:

для тела массой $m$ получим $\vec{a}_1=\vec{a}_0+\vec{a}$;

для тела массой $M$ получим $\vec{a}_2=\vec{a}\,’+\vec{a}_0$.

В проекциях на координатные оси получим

$a_{1y}=-a$,

$a_{1x}=a_0$,

$a_{2x}=a’+a_0=a+a_0$.


6. Перепишем уравнения (2) и (4) с учетом сказанного в пунктах 4 и 5

$T-\mu Mg=M(a+a_0)$,

$T-mg+\mu ma_0=-ma$.

Нас не интересует модуль силы натяжения $T$, поэтому избавляемся от нее

$T-\mu Mg-T+mg-\mu ma_0=M(a+a_0)+ma$,

$mg-\mu Mg-\mu ma_0=Ma+Ma_0+ma$,

$mg-\mu Mg-\mu ma_0-Ma_0=Ma+ma$,

$(m-\mu M)g-(\mu m+M)a_0=(M+m)a$,

$a=\frac{(m-\mu M)g-(M+\mu m)a_0}{M+m}$.

Ответ: $a=\frac{(m-\mu M)g-(M+\mu m)a_0}{M+m}$.

Автор сайта благодарит замечательного учителя физики Ольгу Глебовну Нечаеву из города Дмитров Московской области за то, что Ольга Глебовна внесла неоценимый вклад в решение этой задачи, догадалась какой именно «сюрприз» спрятали составители задачи в ее тексте и решила ее. Без этого существенного момента, задача не решается правильно, так как она должна решаться по замыслу ее авторов. Спасибо, Ольга Глебовна!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *