Задача. С каким ускорением движется система, изображенная на рисунке, если $m=1$ кг и коэффициент трения $\mu=0,2$? Какова сила натяжения нити, связывающей тела I и II, и сила натяжения нити, связывающей тела II и III?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Понятно, что груз большей массы будет опускаться вниз, определяя направление движения других грузов.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для каждого тела
$m\vec{g}+\vec{T}_{21}=m\vec{a}_1$,
$m\vec{g}+\vec{N}+\vec{T}_{12}+\vec{T}_{32}+\vec{F}_{mp}=m\vec{a}_2$,
$2m\vec{g}+\vec{T}_{23}=2m\vec{a}_3$.
В проекциях на горизонтальную ось $x$
$T_{32}-F_{mp}-T_{12}=ma_2$. (1)
В проекциях на вертикальную ось $y$
$T_{21}-mg=ma_1$, (2)
$N-mg=0$, (3)
$T_{23}-2mg=-2ma_3$. (4)
4. Так как массой блока можно пренебречь, то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. По условию задачи масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T_{12}=T_{21}$ и $T_{23}=T_{32}$. Из уравнения (3) следует что $N=mg$. Согласно закону Амонтона-Кулона
$F_{mp}=\mu N=\mu mg$.
5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, их скорости будут одинаковыми относительно поверхности стола, т.е. тела относительно поверхности стола движутся с одинаковыми по модулю ускорениями $a_1=a_2=a_3=a$.
6. Перепишем уравнения (1), (3) и (4) с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$T_{23}-\mu mg-T_{12}=ma$,
$T_{12}-mg=ma$,
$T_{23}-2mg=-2ma$.
Найдем сначала модуль ускорения. Для этого складываем первые два уравнения и вычитаем из них третье
$T_{23}-\mu mg-T_{12}+T_{12}-mg-T_{23}+2mg=ma+ma+2ma$,
$mg-\mu mg=4ma$,
$g(1-\mu )=4a$,
$a=\frac{g(1-\mu )}{4}$,
$a=\frac{10 \cdot (1-0,2)}{4} =2$ м/с2.
Теперь можем найти и силы натяжения
$T_{12}=mg+ma=m(g+a)$,
$T_{12}=1 \cdot(10+2)=12$ Н,
$T_{23}=2mg-2ma=2m(g-a)$,
$T_{23}=2 \cdot 1 \cdot (10-2)=16$ Н.
Ответ: 2 м/с2, 12 Н, 16 Н.