Задачи по динамике. Задача Д291

ЗадачаНаходящийся на гладкой наклонной плоскости брусок массой 300 г соединён с грузом массой 200 г нитью, перекинутой через блок (см. рис.). Наклонная плоскость составляет угол 30° с горизонтом. Как направлено и чему равно ускорение груза?

Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.

1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.

2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Тело, находящееся на плоскости имеет большую массу, поэтому логично предположить, что он соскальзывает вниз. Будем решать задачу исходя из этого предположения.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для общего случая не делая различия в направлении силы трения

$m\vec{g}+\vec{N}+\vec{T}=m\vec{a}_1$,

$M\vec{g}+\vec{T}’=M \vec{a}_2$.

В проекциях на вертикальную ось $y$ для тела, находящегося подвешенного к нити

$T’-Mg =Ma_2$.                                                                       (1)

В проекциях на горизонтальную ось $x$

$mg\, sin\, \alpha -T=ma_1$.                                                              (2)

В проекциях на вертикальную ось $y$ для тела, находящегося на наклонной плоскости, записывать второй закон Ньютона бессмысленно, т.к. силы трения нет и модуль силы реакции нам не пригодится.

4. Так как массой блока можно пренебречь (иное не описано в задаче), то значит мы не будем учитывать его момент инерции и соответствующий момент силы. Будем считать нить невесомой, т.е. масса нити пренебрежимо мала, значит её вклад в натяжение нити мы учитывать не будем. Всё это приводит к тому, что $T’=T$.

5. Нить нерастяжима. Значит тела за одно и то же время будут проходить одинаковые пути, а значит, если тела будут двигаться, то их скорости будут одинаковыми, т.е. тела будут двигаться с одинаковыми по модулю ускорениями $a_1=a_2=a$.


6. Перепишем уравнения (1) и (2), с учетом сказанного в пунктах 4 и 5

$T-Mg =Ma$,

$mg\, sin\, \alpha -T=ma$.

Выразим из первого уравнения модуль силы натяжения, подставим во второе и найдем модуль ускорения

$T=Mg+Ma$,

$mg\, sin\, \alpha -Mg-Ma=ma$,

$mg\, sin\, \alpha -Mg=ma+Ma$,

$g(m\, sin\, \alpha -M)=(m+M)a$,

$a=\frac{g(m\, sin\, \alpha -M)}{m+M}$,

$a=\frac{10 \cdot (0,3 \cdot 0,5 -0,2)}{0,3+0,2}=-1$ м/с2.

Почему же получился отрицательный результат? Дело в том что мы изначально ошиблись в своем предположении о том, что тело, находящееся на наклонной плоскости движется вниз. Получается что оно поднимается вверх. Что от этого изменится? Поменяются знаки проекций ускорений в уравнениях второго закона Ньютона, конечный вид формулы для нахождения ускорения поменяется, но модуль ускорения будет тем же, т.е. $a=1$ м/с2! Мы предлагаем читателю провести все соответствующие выкладки самостоятельно и проверить истинность последнего утверждения. В следующей задаче Д292 мы покажем как действовать, если направление ускорения не известно и как решать задачу не делая никаких предположений о характере движения.

Ответ: 1 м/с2, вниз.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *