1.4. Относительность движения. Закон сложения скоростей

Идея относительности движения — одна из основных в механике. В связи с этим возникает проблема: описание данного вида движения будет зависеть от выбора системы отсчета, т.е. в разных системах отсчета движение тела описывается разными уравнениями. Допустим, что при описании движения некоторого тела мы связали его с некоторой системой отсчета. Тогда возникает вопрос: как определить положение и скорость материальной точки в одной системе отсчета, связав его с положением и скоростью в другой, которая движется относительно первой, условно принимаемой за неподвижную? Впервые высказал идеи относительно решения этой проблемы еще Г. Галилей, которые нашли свое отражение в законе сложения скоростей. 

Закон сложения скоростей: скорость тела $\overrightarrow{v}$  в неподвижной системе отсчета К2 равна векторной сумме скорости тела $\overrightarrow{v_{1}}$ в подвижной системе отсчета К1 и скорости подвижной системы отсчета $\overrightarrow{v_{2}}$ относительно неподвижной системы К2

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$.

Поясним суть сказанного на конкретном примере.

Теплоход движется относительно берега со скоростью 30 км/ч. По палубе идет пассажир со скоростью 5 км/ч. Какова скорость пассажира относительно берега?

Пассажир, является телом, скорость $\overrightarrow{v}$ которого необходимо найти в неподвижной системе отсчета связанной с берегом (система отсчета К2 и связанная с ней система координат $xOy$). Скорость пассажира указана относительно теплохода, т.е. $v_{1}=5$ км/ч — скорость пассажира относительно теплохода (скорость в движущейся системе отсчета К1 и связанная с ней система координат ${x}’O{y}’$). Скорость теплохода (К1 относительно К2) $v_{2}=30$ км/ч. Рассмотрим все возможные варианты.

1. Пассажир идет по ходу движения теплохода.

Согласно закону сложения скоростей $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$. Переходя к проекциям на ось $Ox$, получим

$v=v_{2x}+v_{1x}=v_{2}+v_{1}$, $v=30+5=35$ км/ч.

2. Пассажир идет против хода движения теплохода.

Согласно закону сложения скоростей $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$. Переходя к проекциям на ось $Ox$, получим

$v=v_{2x}+v_{1x}=v_{2}-v_{1}$, $v=30-5=25$ км/ч.

3. Пассажир идет перпендикулярно направлению движения теплохода.

По-прежнему, согласно закону сложения скоростей $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$. Переходя к проекциям на оси, получим

$v_{x}=v_{2x}+v_{1x}=v_{2}$, 
$v_{y}=v_{2y}+v_{1y}=v_{1}$.
$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{x}^{2}}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$

$v=\sqrt{900+25}\approx 30,41$ км/ч.

Примечание. Заметим, что то же результат можно получить, если не находить проекции, а найти векторную сумму векторов $\overrightarrow{v_{1}}$ и $\overrightarrow{v_{2}}$ по правилу параллелограмма.

4. Пассажир идет под некоторым углом $\alpha$, например, под углом $\alpha=30^{\circ}$, к направлению движения теплохода. 

Согласно закону сложения скоростей $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{2}}+\overrightarrow{v_{1}}$. Переходя к проекциям на оси, получим

$v_{x}=v_{2x}+v_{1x}=v_{2}+v_1 cos \alpha$, 
$v_{y}=v_{2y}+v_{1y}=v_{1} sin \alpha$.
$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{x}^{2}}=\sqrt{(v_{2}+v_1 cos \alpha)^{2}+(v_{1} sin \alpha)^{2}}$

$v=\sqrt{\left(30+5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} + \left(5 \cdot 0,5 \right)^2} \approx 34,42$ км/ч.

Примечание. Если решать эту задачу через сложение векторов по правилу параллелограмма, то при нахождении модуля скорости $\vec{v}$ необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Примечание. Если при решении задачи возникла потребность знать направление вектора $\overrightarrow{v}$, то в необходимо построить векторную сумму векторов $\overrightarrow{v_{2}}$ и $\overrightarrow{v_{1}}$.

В общем случае решение задачи на закон сложение скоростей можно представить в виде алгоритма:

1. Определить скорость какого тела необходимо найти в задаче;
2.Сделать выбор неподвижной системы отсчета (К2) и подвижной системы отсчета (К1).
Важно!!! В условиях задачи скорости тел заданы обычно относительно неподвижной системы отсчета (например, дороги или берега)
3. Обозначить интересующие нас скорости $v_{1}, v_{2}, v$.
4. Выполнить чертеж, на котором показать координатные оси и обозначить все векторы скорости.
5. Записать закон сложения скоростей в векторном виде.
6. Записать уравнение в проекциях. Пользуясь чертежом, найти проекции, выразить их через модули.
7. Записать дополнительные уравнения, если требуется. Произвести необходимые преобразования и вычисления.