[latexpage]Сразу оговоримся, что в данном пункте мы будем рассматривать случаи, когда между телами при их движении действуют только потенциальные силы, т.е. силы тяготения и упругости. В обобщенном виде алгоритм решения задач на закон сохранения (изменения) энергии выглядит следующим образом:
-
Выбрать инерциальную систему отсчета.
-
Выбрать два или более таких состояний тел системы, чтобы в число их параметров входили как известные, так и искомые величины.
-
Выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии.
-
Определить, какие силы действуют на тела системы — потенциальные или непотенциальные.
-
Если на тела системы действуют только потенциальные силы, написать, закон сохранения механической энергии виде: $\Delta E=0$.
Если на тела системы действуют только непотенциальные силы, написать, закон сохранения механической энергии виде: $\Delta E=A$ -
Раскрыть значения энергии в каждом состоянии и, подставив их в уравнение закона сохранения энергии
-
Записать дополнительные уравнения: уравнение закона сохранения импульса или кинематические уравнения или уравнения динамики движения. Выразить их в скалярном виде.
-
Решить уравнение относительно искомой величины.
Пример. Начальная скорость снаряда, выпущенного из пушки вертикально вверх, равна $v_0=200$ м/с. В точке максимального подъема снаряд разорвался на два одинаковых осколка. Первый упал на землю вблизи точки выстрела, имея скорость в 2 раза больше начальной. Какую скорость имел второй осколок при падении на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Будем рассматривать движения тел в системе отсчета, связанной с Землей. Рассмотрим вначале движение снаряда и определим высоту на которую поднимается снаряд. Для этого рассмотрим два состояния снаряда — в момент выстрела (состояние 1), так как нам известна начальная скорость движения и наивысшей точки подъема снаряда (состояние 2), так как нам необходимо найти высоту. За нулевой уровень энергии примем поверхность Земли.
Так как влиянием силы сопротивления воздух можно пренебречь, то на тело в процессе движения действует только потенциальная сила — сила тяжести, а значит можем применить закон сохранения энергии. Учитывая, что массы осколков равны, т.е. $m_1=m_2=m$, а масса всего снаряда $2m$, последовательно получаем
$\Delta E=0$,
$E_2-E_1=0$,
$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=\frac{2mv_0^2}{2}$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=2mgH$,
$2mgH-\frac{2mv_0^2}{2}=0$,
$gH=\frac{v_0^2}{2}$
$H=\frac{v_0^2}{2g}$.
Так как при разрыве снаряда силы, которые разрывают его намного больше внешней силы — силы тяжести, то можно считать, что импульс системы сохраняется. При этом в верхней точке траектории скорость снаряда рана нулю, а, значит, и после взрыва суммарный импульс осколков также будет равен нулю, т.е.
$m_1\overrightarrow{v}_{01}+m_2\overrightarrow{v}_{02}=0$,
где $\overrightarrow{v}_{01}$ — скорость осколка, полетевшего вниз, а $\overrightarrow{v}_{02}$ — скорость осколка, полетевшего вверх. Из последнего уравнения, заключаем что
$m_1\overrightarrow{v}_{01}=-m_2\overrightarrow{v}_{02}$,
$\overrightarrow{v}_{01}=-\overrightarrow{v}_{02} \Rightarrow v_{01}=v_{02}$.
Рассмотрим теперь движение осколка, который движется вниз. Известно, что $v_1=2v_{01}$, где $v_1$ — скорость первого осколка в момент падения на Землю. Выполним чертеж и запишем законы сохранения энергии для первого и второго осколков.
Для первого осколка
$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=mgH+\frac{mv_{01}^2}{2}$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{mv_{1}^2}{2}$,
$mgH+\frac{mv_{01}^2}{2}=\frac{mv_{1}^2}{2}$.
Для второго осколка
$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=mgH+\frac{mv_{02}^2}{2}$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{mv_{2}^2}{2}$,
$mgH+\frac{mv_{02}^2}{2}=\frac{mv_{2}^2}{2}$.
Видно, что левые части полученных уравнений равны, т.к. $v_{01}=v_{02}$
$mgH+\frac{mv_{02}^2}{2}=mgH+\frac{mv_{01}^2}{2}$,
а это значит, что
$\frac{mv_{1}^2}{2}=\frac{mv_{2}^2}{2} \Rightarrow v_1=v_2$.
Найдем эти скорости из уравнения закона сохранения энергии для первого осколка
$gH+\frac{v_{01}^2}{2}=\frac{v_{1}^2}{2}$,
$gH+\frac{v_{01}^2}{2}=\frac{4v_{01}^2}{2}$,
$gH=\frac{3v_{01}^2}{2}$,
$\frac{v_0^2}{2}=\frac{3v_{01}^2}{2} \Rightarrow v_{01}=\frac{v_0}{\sqrt{3}}$,
$v_1=v_2=\frac{2v_0}{\sqrt{3}}$,
$v_2=\frac{2 \cdot 200}{\sqrt{3}} \approx 231$ м/с.
Пример. Два небольших тела, отношение масс которых равно 3, одновременно начинают соскальзывать внутрь гладкой полусферы радиусом $R$ (см. рисунок). Происходит абсолютно неупругий удар. Определить максимальную высоту подъема тел после удара.
Решение. Систему отсчета свяжем непосредственно с полусферой. Определим скорости с которыми тела будут двигаться к моменту времени, когда тела окажутся внизу и произойдет удар. Для этого, для каждого тела, рассмотрим два состояния — в момент начала движения (состояние 1), так как нам известна высота на которой находится тело и в нижней части полусферы (состояние 2), так как нам необходимо найти скорость в этой точке. За нулевой уровень касательную к нижней точке полусферы.
Учитывая, что первоначальная высота на которой находятся грузы относительно выбранного нулевого уровня потенциальной энергии равна радиусу полусферы $H=R$, получим:
- для первого осколка
$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=m_1 gR$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{m_v_{1}^2}{2}$,
$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,
$m_1gR=\frac{m_1v_{1}^2}{2} \Rightarrow gR=\frac{v_{1}^2}{2}$.
- для второго осколка
$E_3=E_{\pi3}+E_{k3}=m_2gR$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{m_2v_{2}^2}{2}$,
$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_3$,
$m_2gR=\frac{m_2v_{2}^2}{2} \Rightarrow gR=\frac{v_{2}^2}{2}$.
Видно, что скорости, с которыми будут двигаться тела в нижней точке одинаковы по модулю, поскольку $gR=\frac{v_{1}^2}{2}=\frac{v_{2}^2}{2}$. Найдем эти скорости, например, найдем скорость первого тела
$v_1=\sqrt{2gR}=v_2$.
Определим скорости тел после неупругого соударения. Закон сохранения энергии применять нельзя, т.к. полная механическая механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется. Воспользуемся законом сохранения импульса, поскольку при ударе внешние силы — силы тяжести и реакции опоры компенсируют друг друга. Пусть $m_1=m$, а $m_2=3m$, т.к. по условию одно из тел имеет массу в три раза большую. Получается, что после удара тела будут двигаться в сторону движения тела с большим импульсом, т.е. в ту сторону куда движется второе тело, поскольку при одинаковых по модулю скоростях его импульс будет больше, т.к. его масса больше.
$m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2=(m_1+m_2)\overrightarrow{v}$,
$m_1v_{1x}+m_2v_{2x}=(m_1+m_2)v_x$,
$m_1v_1-m_2v_2=-(m_1+m_2)v$,
$v=\frac{m_2v_2-m_1v_1}{m_1+m_2}$,
$v=\frac{3m\sqrt{2gR}-m\sqrt{2gR}}{m+3m}=\frac{\sqrt{2gR}}{2}$.
Рассмотрим теперь движение грузов после столкновения. Здесь опять же применим закон сохранения энергии, поскольку движение будет происходить по гладкой поверхности полусферы, т.е. без трения
$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,
где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия тела после удара и в момент остановки соответственно (тело поднялось на высоту $H$, которую и нужно найти)
$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=(m_1+m_2)gH$,
$(m_1+m_2)gH=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$,
$gH=\frac{v^2}{2}$,
$v^2=\frac{2gR}{4}=\frac{gR}{2}$,
$gH=\frac{gR}{4} \Rightarrow H=\frac{R}{4}$.
Пример. Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару со скоростью 300 м/с. Она пробивает его и вылетает горизонтально со скоростью 200 м/с, после чего шар, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол 39°. Определить начальный угол отклонения шара? (Массу шара считать неизменной, диаметр шара — пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити). Принять $cos 39^{\circ}=\frac{7}{9}$.
Решение. Найдем первоначальную высоту, а для этого воспользуемся законом сохранения энергии
$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,
где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия шара после того как его отпустили и в момент прохождения положения равновесия соответственно. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение равновесия шара
$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=MgH$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=\frac{Mv^2}{2}$,
$\frac{Mv^2}{2}=MgH$,
$gH=\frac{v^2}{2} \Rightarrow H=\frac{v^2}{2g}$.
Найдем начальный угол отклонения
$\frac{l-H}{l}=cos\beta $,
$cos\beta=\frac{l-H}{l}=1-\frac{H}{l}=1-\frac{v^2}{2gl}$.
Теперь осталось найти скорость с которой шар будет проходить положение равновесия
Рассмотрим момент взаимодействия пули и шара. Систему состоящую из этих тел можно считать замкнутой, а значит можно применить закон сохранения импульса
$M\overrightarrow{v}+m\overrightarrow{u}_1=M\overrightarrow{v}_1+m\overrightarrow{v}_2$,
$Mv-mu_1=Mv_1-mu_2$,
$v=\frac{Mv_1+mu_1-mu_2}{M}=v_1+\frac{m(u_1-u_2)}{M}$.
Скорость шара можно найти из закона сохранения энергии
$\Delta E=0 \Rightarrow E_2=E_1$,
где $E_1$ и $E_2$ — полная механическая энергия шара после взаимодействия с пулей и в момент остановки соответственно
$E_1=E_{\pi1}+E_{k1}=\frac{Mv_1^2}{2}$,
$E_2=E_{\pi2}+E_{k2}=Mgh$,
$Mgh=\frac{Mv_1^2}{2}$,
$v_1=\sqrt{2gh}$.
Высоту $h$ найдем из тех же соображений что и ранее
$\frac{l-h}{l}=cos \alpha $,
$l-h=lcos\alpha $,
$h=l-lcos\alpha=l(1-cos\alpha) $,
$h=0,9\cdot \left ( 1-\frac{7}{9} \right )=0,2$ м.
Тогда, последовательно находим
$v_1=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,2}=2$ м/с,
$v=2+\frac{10^{-2}\cdot (300-200)}{1}=3$ м/с,
$cos\beta=1-\frac{3^2}{2\cdot 10\cdot 0,9}=\frac{1}{2}\Rightarrow \beta =60^{\circ}$.