7.4. Первый закон термодинамики

[latexpage]В конце ΧIX века, после накопления необходимого объема экспериментальных данных стало очевидно, что механическая энергия не пропадает бесследно. Например, при столкновениях тел, они нагреваются. Тело, которое движется под действием силы трения, также нагревается. На основании подобных наблюдений был сформулирован общий закон сохранения энергии: энергия в природе ниоткуда не берется и никуда не исчезает, ее количество  неизменно, она лишь меняет свой вид. Закон сохранения природы проявляется во всех явлениях природы, неизвестно еще ни одного случая, когда он не выполнялся. Применительно к тепловым явлениям закон сохранения энергии называется первым законом термодинамики и имеет вид: изменение внутренней энергии системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданной системе

$\Delta U=Q+{A}’$.

Однако, при решении задач, используется несколько другая формулировка. Учитывая, что работа внешних сил и работа газа связаны соотношением ${A}’=-A$, получим

$\Delta U=Q-A$,

$Q=\Delta U+A$, 

т.е. количество теплоты, переданной системе, идёт на изменение её внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами. Рассмотрим характер протекания изопроцессов с точки зрения термодинамики. При этом будем считать газ идеальным.

Изотермический процесс. При изотермическом процессе внутренняя энергия газа не изменяется ($\Delta U=0$), тогда 

$Q=A$,

т.е. всё переданное газу количество теплоты идёт на совершение работы. При этом если газ получает тепло ($Q > 0$), то он совершает положительную работу ($A > 0$). Если же, наоборот, газ отдаёт тепло окружающей среде ($Q < 0$), то и $A< 0$. Работа же внешних сил над газом в последнем случае положительна, а в первом отрицательна.

Изохорный процесс. Так как объем газа не изменяется, то работа газа равна нулю и первый закон термодинамики может быть записан в виде

$Q=\Delta U$,

т.е. если газу сообщить (передать) некоторое количество теплоты ($Q > 0$), то его внутренняя энергия увеличится ($\Delta U> 0$), газ нагревается. И, наоборот, если тело отдает некоторое количество  теплоты ($Q < 0$), то его внутренняя энергия уменьшается ($\Delta U <0$), газ охлаждается.

Изобарный процесс. При изобарном процессе происходит и изменение внутренней энергии и газ совершает работу, т.е. 

$Q=\Delta U+A$,

т.е. передаваемое газу количество теплоты идёт на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы при постоянном давлении. Причем, если газу сообщить некоторое количество теплоты ($Q > 0$), то его внутренняя энергия увеличится, при этом, расширяясь, газ будет совершать работу ($A < 0$). Если же газ отдает некоторое количество теплоты, то он будет охлаждаться ($\Delta U <0$), при этом работа газа $A< 0$. Напомним, что при изобарном процессе

$A=p\Delta V=\nu R\Delta T$,

$\Delta U=\frac{i}{2}\nu R\Delta T=\frac{i}{2}p\Delta V $.

Кроме того, процессы в природе могут происходить без теплопередачи. Такой процесс называется адиабатным. Адиабатный процесс — процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.

$\Delta U+A=0 \Rightarrow A=-\Delta U$.

Последнее равенство говорит нам о том, что если газ сжимают ($A< 0$), то его внутренняя энергия должна увеличиться ($\Delta U> 0$) и газ будет нагреваться. Такой процесс наблюдается в дизельных двигателях. В двигателе Дизеля нет свечи зажигания, топливо впрыскивается в камеру сгорания форсункой. Предварительно в цилиндр засасывается воздух, который сжимается. К моменту впрыска топлива температура воздуха так велика, что топливо воспламеняется. Если же газ совершает работу ($A > 0$), то это происходит за счет внутренней энергии ($\Delta U <0$) и его температура уменьшается. Такой процесс происходит при открывании бутылки с газировкой. Газ, находящийся в бутылке быстро расширяется, его температура уменьшается, что при водит к конденсации паров воды в воздухе над газировкой и образуется туманчик.

Адиабатный процесс возможен, когда система теплоизолирована либо, если процесс расширения или сжатия происходит так быстро, что теплообмен с внешней средой не успевает произойти. В заключение приведем график адиабатного процесса в сравнении с графиками других процессов в координатах $pV$.

Пример. Один моль одноатомного идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объёму. В результате плотность газа уменьшается в $\alpha =2$ раза. Газ в ходе процесса получает количество теплоты $Q=20$ кДж. Какова температура газа в состоянии 1?

Решение. Представим происходящий процесс графически в координатах $pV$. В условии задачи сказано, что давление прямопорционально объему, т.е. имеет место зависимость вида $p= \beta V$, где $\beta $ — некоторая константа. Эта зависимость — линейная, значит графиком будет являться — прямая, которая должна пройти через начало координат (но на деле этого не произойдет по соображениям, высказанным при изучении изопроцессов).

Найдем работу газа как площадь под графиком 

$A=\frac{p_1+p_2}{2}\cdot (V_2-V_1)=\frac{1}{2}(p_1V_2-p_1V_1+p_2V_2-p_2V_1)$.

Учитывая, что $p= \beta V$, получим

$p_1= \beta V_1\Rightarrow p_1V_2=\beta V_1V_2$,

$p_2= \beta V_2\Rightarrow p_2V_1=\beta V_1V_2$,

а, значит, работа газа будет равна

$A=\frac{1}{2}(p_2V_2-p_1V_1)$.

Найдем изменение внутренней энергии (по условию газ — идеальный одноатомный, значит $i=3$)

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}\nu RT_2-\frac{3}{2}\nu RT_1$.

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$p_1V_1=\nu RT_1$,

$p_2V_2=\nu RT_2$.

Тогда, изменение внутренней энергии 

$\Delta U=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)$.

Согласно первому закону термодинамики

$Q=\Delta U+A$,

$Q=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)+\frac{1}{2}(p_2V_2-p_1V_1)=2(p_2V_2-p_1V_1)$.

Помним, что $p_1V_1=\nu RT_1$, поэтому, если нам удастся связать между собой произведение $p_1V_1$ и $p_2V_2$, то задача будет фактически решена. Воспользуемся тем, что отношение плотностей равно $\alpha =2$

$\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{m}{V_1}:\frac{m}{V_2}=\frac{V_2}{V_1}=\alpha \Rightarrow V_2=\alpha V_1$,

$p_2=\alpha V_2=\alpha^2V_1=\alpha \cdot \alpha V_1=\alpha p_1$,

$Q=2(p_2V_2-p_1V_1)=2\left ( \alpha p_1\cdot \alpha V_1-p_1V_1 \right )=2(\alpha^2-1)p_1V_1$,

$Q=2(\alpha^2-1)\nu RT_1$,

$T_1=\frac{Q}{2(\alpha^2-1)\nu R}$,

$T_1=\frac{20000}{2(2^2-1)\cdot 1\cdot 8,31}\approx 401$ К.

Пример. Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре $T_1=600$ К и давлении $p_1=4 \cdot 10^5$ Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечное давление газа $p_2= 10^5$ Па. Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику количество теплоты $Q=1247$ Дж?

Решение. Согласно первому закону термодинамики

$Q=\Delta U+A \Rightarrow A=Q-\Delta U$.

Найдем изменение внутренней энергии. Как известно, для одноатомного идеального газа (аргон является одноатомным газом)

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)$,

Остается найти температуру $T_2$. Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона

$p_1V_1=\nu RT_1$,

$p_2V_2=\nu RT_2$.

Можно найти $T_2$, разделив, например, первое уравнение на второе, но для этого сначала нужно выразить связь между объемами, которые занимает газ в первоначальном и конечном состояниях. Известно, что давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Что это означает? Это означает, что зависимость давления от объема можно записать в виде

$p=\frac{\alpha^2 }{V^2}$,

где $\alpha$ — некоторая константа (мы поставили намеренно $\alpha^2$ для удобства дальнейшей работы с ней, это станет понятным ниже, ее значение нам не известно, но это и не важно, поскольку при решении задач с подобным условием она сокращается при нахождении отношений). Выразим из последней формулы объем

$V=\frac{\alpha }{\sqrt{p}}$.

Отсюда следует

$V_1=\frac{\alpha }{\sqrt{p_1}}$,

$V_2=\frac{\alpha }{\sqrt{p_2}}$.

Подставим полученные выражения в уравнения Менделеева-Клапейрона

$p_1 \cdot \frac{\alpha }{\sqrt{p_1}}=\nu RT_1$,

$p_2 \cdot \frac{\alpha }{\sqrt{p_2}}=\nu RT_2$,

$\alpha \sqrt{p_1}=\nu RT_1$,

$\alpha \sqrt{p_2}=\nu RT_2$.

Разделим первое уравнение на второе, получим

$\frac{\alpha \sqrt{p_1}}{\alpha \sqrt{p_2}}=\frac{\nu RT_1}{\nu RT_2} \Rightarrow \frac{\sqrt{p_1}}{\sqrt{p_2}}=\frac{T_1}{T_2}$,

$T_2=\frac{T_1\sqrt{p_2}}{\sqrt{p_1}}=\frac{600\sqrt{10^5}}{\sqrt{4\cdot 10^5}}=300$ К.

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2} \cdot 1 \cdot 8,31 (300 — 600)= — 3739,5$ Дж.

С учетом того, что газ отдает количество теплоты $Q=-1247$ Дж, получим

$A=-1247 — (- 3739,5) = 2492,5$ Дж.

Пример. В сосуде объёмом V = 0,02 м³ с жёсткими стенками находится одноатомный газ при нормальном атмосферном давлении. В крышке сосуда имеется отверстие площадью S, заткнутое пробкой. Максимальная сила трения покоя F пробки о края отверстия равна 100 Н. Пробка выскакивает, если газу передать количество теплоты не менее 15 кДж. Определите значение S, полагая газ идеальным.

Решение. Сделаем рисунок. Обозначим на нем силы, действующие на пробку: $\overrightarrow{F}_1$ — сила с которой газ в баллоне давит на пробку, $\overrightarrow{F}$ — сила трения,  $\overrightarrow{F}_0$ — сила, с которой атмосфера давит на пробку. Нормальное атмосферное давление $p_0=10^5$ Па.

Пробка вылетит, если выполнится условие $F_1\geq F_0+F$. Силу давления можно рассчитать по формуле $F=pS$, тогда наше условие перепишется в виде

$p_2S \geq p_0S+F$,

$p_2 \geq \frac{p_0S+F}{S}$.

Получается, что для того, чтобы пробка вылетела достаточно выполнения условия 

$p_2 = \frac{p_0S+F}{S}$,

где $p_2$ — давление, которое оказывает газ в сосуде, после того как ему сообщили некоторое количество теплоты. Последнее уравнение мы и будем использовать при решении задачи. Согласно первому закону термодинамики

$Q=\Delta U+A $.

Так как газ находится в сосуде с жесткими стенками, то при нагревании объем газа изменяться не будет, то $A = 0$, значит 

$Q=\Delta U$

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}(\nu RT_2-\nu RT_1)$.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона

$p_1V=\nu RT_1$,

$p_2V=\nu RT_2$.

Вычтем из второго уравнения первое

$p_2V-p_1V =\nu RT_2-\nu RT_1$,

$(p_2-p_1)V = \nu RT_2-\nu RT_1$,

$Q=\frac{3}{2} \cdot (p_2-p_1)V$.

Первоначальное давление газа в сосуде равно атмосферному, значит

$Q=\frac{3}{2} \cdot \left ( \frac{p_0S+F}{S}- p_0 \right )V$.

Приводим к общему знаменателю

$Q=\frac{3}{2} \cdot \left ( \frac{p_0S+F- p_0S}{S} \right ) \cdot V= \frac{3FV}{2S} $,

$S=\frac{3FV}{2Q}$

$S=\frac{3 \cdot 100 \cdot 0,02}{2\cdot 15000}=0,0002$ м² = $200$ см².

Пример. Одноатомный идеальный газ неизменной массы совершает циклический процесс, показанный на рисунке. За цикл газ отдаёт холодильнику количество теплоты $\left |Q_x \right |=8$ кДж. Какую работу газ совершает при переходе из состояния 1 в состояние 2?

Решение. Проанализируем процессы, происходящие с газом, при каком-либо неизменном параметре.

Процесс 1-2: изобарный процесс, поскольку объем газа в этом процессе увеличивается, то температура также увеличивается, а значит $A_{12}>0, \Delta U_{12}>0\Rightarrow Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}>0$, т.е. газ на этом участке тепло получает

Процесс 3-1: изохорный процесс — $A_{31}=0$, поскольку давление в процессе увеличивается, а значит $Q_{31}=\Delta U_{12}>0$, т.е.е газ на этом участке также получает тепло.

Это означает, что газ отдает тепло холодильнику на участке 2-3, т.е.

$\left |Q_{23} \right | = \left |Q_x \right |$.

Согласно первому закону термодинамики на участке 2-3

$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}$.

Найдем изменение внутренней энергии, поскольку мы ограничены числовыми данными, будем выражать изменение внутренней энергии (и работу газа на этом участке тоже) через начальные давление и объем

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}(\nu RT_3-\nu RT_2)=$

$=\frac{3}{2}(p_3V_3-p_2V_2)=\frac{3}{2}(p_0V_0-2p_0 \cdot 3V_0)=-7,5p_0V_0$.

Найдем работу, которую совершает газ в процессе 2-3 как площадь под графиком

$A_23=\frac{p_2+p_3}{2}\cdot (V_2-V_3)=\frac{p_0+2p_0}{2}\cdot (V_0-3V_0)=-3p_0V_0$.

Т.е. газ отдает количество теплоты равное по модулю

$\left |Q_{23} \right | = \left |Q_x \right |= \left | -7,5p_0V_0 -3p_0V_0 \right |=10,5 p_0V_0$.

Работу на участке 1-2 также можно найти как площадь под графиком

$A_12=p_2(V_3-V_2)=2p_0 \cdot 2V_0=4p_0V_0$.

Из предыдущего уравнения

$p_0V_0=\frac{\left |Q_{23} \right |}{10,5}$,

$A_12=\frac{4\left |Q_{23} \right |}{10,5}$,

$A_12=\frac{4\cdot 8000}{10,5}\approx 3047,6$ Дж.

Пример. В гладком закреплённом теплоизолированном горизонтальном цилиндре находится 1 моль идеального одноатомного газа (гелия) при температуре T₁ = 200 К, отделённый от окружающей среды — вакуума — теплоизолированным поршнем массой m = 3 кг. Вначале поршень удерживали на месте, а затем придали ему скорость V = 15 м/с, направленную в сторону газа. Чему будет равна среднеквадратичная скорость атомов гелия в момент остановки поршня? Поршень в цилиндре движется без трения.

Решение. Так как сам цилиндр теплоизолирован и поршень также теплоизолирован, то процесс который будет происходить с газом — адиабатный, поскольку газ не может обмениваться энергией с окружающей средой (в данном случае вакуумом). Как уже было описано выше, при адиабатном сжатии температура газа будет увеличиваться, т.е. будет увеличиваться его внутренняя энергия.  В тот  момент времени, когда поршню сообщили некоторую скорость, он стал обладать кинетической энергией. При движении поршня его скорость уменьшается, пока он не остановится, а значит и уменьшается его кинетическая энергия. Эта энергия не переходит в потенциальную энергию в поле тяжести, поскольку поршень движется в горизонтальном направлении, т.е. его высота не меняется. Эта энергия не идет на совершение работы против сил трения, т.к. по условию их нет. Значит эта энергия переходит во внутреннюю энергию газа. Согласно закону сохранения энергии внутренняя энергия увеличивается на величину равную кинетической энергии поршня

$U_2=U_1+\frac{mv^2}{2}$,

$\frac{3}{2}\nu RT_2=\frac{3}{2}\nu RT_1+\frac{mv^2}{2}$,

$T_2=T_1+\frac{mv^2}{3\nu R}$,

$T_2=200+\frac{3\cdot 15^2}{3\cdot 8,31 \cdot 1}\approx 227$ К.

Среднюю квадратичную скорость движения молекул можно найти через температуру по формуле

$\bar{v}=\sqrt{\frac{3RT_2}{M}}$,

$\bar{v}=\sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \cdot 227}{0,004}}\approx 1189$ м/с.

Примечание. Можно было рассуждать несколько иным способом. При адиабатном процессе $A=-\Delta U$. Работа газа в данном случае — это работа, которую он совершает, чтобы остановить поршень. Причем эта работа будет отрицательной, т.к. газ сжимается, а это значит что внутренняя энергия увеличивается. При горизонтальном движении поршня работы силы тяжести и сил реакции, действующих на поршень будут равны нулю, т.к. угол между векторами этих сил и вектором перемещения равен 90⁰, т.е. они не совершают работы. Значит, согласно теореме об изменении кинетической энергии изменение кинетической энергии поршня и равно работе силы давления газа. Дальнейший ход решения уже известен.  

Задачи для самостоятельного решения

1. В длинной гладкой теплоизолированной трубе находятся теплоизолированные поршни массами $m_1$ и $m_2$, между которыми в объеме $V_0$ находится одноатомный газ при давлении $p_0$. Поршни отпускают. Определите их максимальные скорости, если масса газа много меньше массы каждого поршня.

2. Идеальный газ совершает циклический процесс 1—2—3—1 (см. рис.). На участке 3—1 давление изменяется по закону $p=\alpha \sqrt{T}$, где $\alpha$ — положительная постоянная. Температуры газа в состояниях 1 и 2 равны соответственно T1 = 400 К и T2 = 500 К. Найдите работу, совершенную газом за цикл.

3. Найдите работу, совершаемую одним молем идеального газа в цикле, состоящем из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры (см. рис). Точки 1 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат. Температуры в точках 2 и 3 равны. Считать заданными температуры T1 и T2 в точках 1 и 2.

4. В вертикальном цилиндрическом сосуде под легким поршнем находится гелий. На поршне стоит руз массой m = 74 кг. Какое количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы груз поднялся на высоту h = 0,6 м? Атмосферное давление p0 = 105 Па, площадь поршня S = 10 см2. Трение не учитывать. 

5. Гелий находится в цилиндре и заперт поршнем. Цилиндр может занимать положения, показанные на рисунке. Одинаковые ли количества теплоты необходимо сообщить газу в
обоих случаях, чтобы нагреть его на ∆t = 1 °C? Трение не учитывать.

6. Одноатомный газ участвует в циклическом процессе, график которого показан на рисунке. Количество газа ν = 2 моль. Температуры газа в состояниях 1 и 2 равны T1 = 300 К и T2 = 400 К соответственно. Найдите работу, совершенную газом за цикл, если на участке 3–4 газу сообщили количество теплоты Q = 2 кДж.

7. В цилиндрическом сосуде под легким поршнем находится идеальный одноатомный газ, занимающий объем V0 = 10^–2 м³. Перемещение поршня ограничено сверху упорами (см. рис.). Газ, расширяясь, занимает максимально возможный объем, который в n = 3 раза больше первоначального. Какое количество теплоты нужно сообщить газу, чтобы его давление превышало первоначальное в n раз? Атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па.

8. В горизонтальном закрытом цилиндрическом сосуде может без трения перемещаться тонкий поршень, соединенный с торцом сосуда пружиной жесткостью k = 103 Н/м (см. рис.). Длина недеформированной пружины равна длине сосуда. В левой части сосуда находится один моль идеального одноатомного газа, в правой части — вакуум. В начальный момент поршень расположен на расстоянии x₀ = 3 см от левого торца сосуда. Найдите зависимость положения поршня в сосуде от сообщаемого газу количества теплоты. Определите положение поршня, если газу сообщить Q = 3,2 Дж теплоты.

9. Идеальный одноатомный газ в количестве ν = 1,5 моль участвует в циклическом процессе 1—2—3—4, показанном на рисунке. Температуры газа в состояниях 3 и 4 равны T3 = 600 К
и T4 = 300 К соответственно. На участке 1—2 газ отдает количество теплоты Q = 2740 Дж. Найдите работу, совершенную газом за цикл. 

10. Один моль идеального одноатомного газа из начального состояния 1 с температурой T1 = 100 К адиабатно переводят в состояние 2. Затем газ сжимают так, что давление изменяется прямо пропорционально объему, и, наконец, изохорно переводят в начальное состояние 1 (см. рис.). Найдите работу, совершенную газом при расширении 1—2, если в процессах 2—3—1 газу было сообщено Q = 72 Дж теплоты, а точки 2 и 3 принадлежат одной изотерме.