3.5. Равномерное движение по окружности

Теоретическая справка

Равномерным движением по окружности называется движение точки с постоянной по модулю скоростью по траектории, представляющей собой окружность. Напомним, что движение называется равномерным, если тело за одинаковые промежутки времени проходит одинаковые расстояния.

Данное движение является криволинейным, а при криволинейном движении скорость направлена по касательной к траектории. Это означает, что скорость тела будет постоянно изменять свое направление. Это в свою очередь означает, что  данное движение является ускоренным. Ускорение с которым тело движется равномерно по окружности называется центростремительным.

Вектор центростремительного ускорения в любой момент времени направлен вдоль радиуса к центру окружности. Как известно, радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, значит векторы скорости и ускорения перпендикулярны. 

Величины, характеризующие равномерное движение по окружности:

1. Период обращения ($T$) — время, за которое тело совершает один полный оборот. Единица измерения с системе СИ — секунда (с). Период обращения можно вычислить по формуле

$T=\frac{t}{N}$,

где $N$ — число оборотов за промежуток времени $t$.

2. Частота обращения ($\nu $) — число оборотов за единицу времени. Единица измерения с системе СИ — оборот в секунду (об/с или 1/с). Расчетные формулы

$\nu =\frac{1}{T}$ или $\nu =\frac{N}{t}$.

3. Линейная скорость ($v$) — отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Единица измерения с системе СИ — метр в секунду (м/с). Формулы для вычисления

$v=\frac{s}{t}$,

где $R$ — радиус окружности по которой движется тело, $s$ — путь пройденный телом за время $t$. За один полный оборот тело проходит путь равный длине окружности $s2\pi R$, при этом время движения равно равно периоду обращения $t=T$, значит, линейную скорость можно найти следующим образом

$v=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu$.

4. Центростремительное ускорение ($a$) — величина, характеризующая изменение скорости по направлению при равномерном движении по окружности. Единица измерения с системе СИ — метр на секунду в квадрате (м/с2 ). Расчетная формула

$a=\frac{v^2}{R}$.

5. Центростремительная сила ($F$) — название той составляющей действующих на тело сил, которая заставляет тело поворачиваться. Центростремительная сила не является самостоятельной силой и представляет собой лишь результат действия на тело всех сил, приложенных к телу. Модуль центростремительной силы вычисляется по формуле

$F=\frac{mv^2}{R}$.

Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ

1. Маленькая шайба движется без трения по гладкой горке, изображённой на рисунке, не отрываясь от нее.

В верхней точке A горки ускорение шайбы направлено:

1. вниз ( ↓ )
2. вверх ( ↑ )
3. вправо ( → )
4. влево ( ← )

Нажмите, чтобы увидеть решение

Траектория движения шайбы — дуга окружности, значит при движении шайбы возникает центростремительное ускорение. Известно, что центростремительное ускорение направлено вдоль радиуса к центру окружности, а также что вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости в данный момент времени. Скорость тела направлена вдоль касательной, значит расположение векторов будет таким, как указано на рисунке

То есть вектор ускорения направлен вниз.

Ответ: 1

[свернуть]

2. Тело движется по криволинейной траектории (см. рисунок), причём на участке АБ его скорость неизменна по модулю и равна 2 м/с, а на участке ВГ равна 4 м/с. Для радиусов кривизны траектории в точках 1, 2 и 3 выполняется соотношение R1 > R2 > R3.

Используя текст и рисунок, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1. Во всех точках участка АБ ускорение тела направлено перпендикулярно вектору скорости.
2. Во всех точках траектории ускорение тела направлено по касательной к траектории.
3. Центростремительное ускорение тела в точке 1 в 4 раза меньше центростремительного ускорения в точке 2.
4. В точке 3 центростремительное ускорение тела имеет наибольшее значение.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Всю траекторию движения можно разбить на участки, каждый из которых будет представлять собой дугу окружности, по которой движется тело.

Утверждение 1 — верно, т.к. при движении по окружности вектор центростремительно ускорения перпендикулярен вектору скорости.
Утверждение 2 — не верно, т.к. ускорение направлено не по касательной, а вдоль радиуса. По касательной будет направлена скорость.
Утверждение 3 — не верно, т.к. для того, чтобы центростремительное ускорение в точке 2 было в 4 раза больше, чем в точке 1, необходимо, чтобы при большей в два раза скорости движения в точке 2, радиусы окружностей были одинаковы, а они отличаются.
Утверждение 4 — верно, т.к. чем больше скорость и чем меньше радиус, тем больше центростремительное ускорение. По сравнению с окружностью, проходящей через 1 точку, у окружности, проходящей через третью точку меньше радиус, кроме того $v_3>v_1$, следовательно $a_3>a_1$. При одинаковой скорости в точках 2 и 3, окружность, проходящая через третью точку, имеет меньший радиус по сравнению с окружностью, проходящей через вторую точку, а значит $a_3>a_2$.

Ответ: 14

[свернуть]

3. Муха сидела на равномерно вращающемся диске в точке А, а затем перелетела в точку В и села там (см. рисунок). Как в результате этого перемещения изменились линейная скорость мухи и частота её обращения на диске вокруг оси О?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Линейная скорость Частота обращения
   

Нажмите, чтобы увидеть решение

Вне зависимости от того на каком расстоянии от центра диска находятся точки, они будут совершать полный оборот за то время, за которое его совершает диск, это значит, что периоды обращения и, как следствие, частоты обращения всех точек диска будут одинаковы. Значит, когда муха перелетит из точки А в точку В, ее частота обращения не изменится. Как известно, линейная скорость связана с частотой и радиусом соотношением $v=2\pi R\nu$, т.е. скорость связана прямой пропорциональностью с радиусом траектории и частотой оборота. Заметим, что когда муха перелетит из точки А в точку В, то радиус окружности, по которой будет двигаться муха — уменьшится. При неизменной частоте обращения, это будет означать, что линейная скорость мухи, также уменьшится.

Ответ: 23

[свернуть]

4. Автомобиль движется по повороту дороги. Одинаковые ли пути проходят правые и левые колеса автомобиля? Ответ поясните.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение. Нет, колеса будут проходить разные пути.  Так как движение колес происходит по окружностям, то меньший путь пройдет колесо, которое расположено с той стороны, куда поворачивает автомобиль. Это происходит потому, что оно движется по окружности меньшего радиуса, а значит описывает дугу меньшей длины, т.е. проходит меньший путь.

[свернуть]

5. Какая точка катящегося без проскальзывания колеса движется относительно Земли медленнее всего? Ответ поясните.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Любая точка движущегося без проскальзывания колеса одновременно участвует в двух движениях — поступательном в направлении движения колеса и вращательном относительно оси колеса. Значит, скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутствии проскальзывания эти скорости равны по модулю. Рассмотрим три точки колеса: верхнюю, нижнюю и, например, боковую. Пусть скорость поступательного ($\overrightarrow{v_1}$) и линейная скорость ($\overrightarrow{v_2}$) по модулю будут равны $v$. Покажем на рисунке направление этих векторов скоростей в указанных точках.

Теперь найдем скорость каждой точки. Скорость верхней точки:

$\overrightarrow{v}’=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$,

$v’=v_1+v_2=v+v=2v$.

Скорость нижней точки

$\overrightarrow{v}’=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$,

$v’=v_1-v_2=v-v=0$.

Скорость боковой точки

$\overrightarrow{v}’=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$,

$v’=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}=\sqrt{v^2+v^2}=v\sqrt{2}$.

Как мы видим наименьшая скорость будет у нижней точки, т.е. той точки, которая соприкасается с поверхностью при движении колеса — она будет неподвижна.

[свернуть]

6. Радиус окружности, по которой движется тело, увеличили в 2 раза, линейную скорость тела тоже увеличили в 2 раза. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1. увеличилось в 2 раза;
2. увеличилось в 4 раза;
3. уменьшилось в 2 раза;
4. не изменилась.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Пусть первоначально линейная скорость тела $v_1=v$, а радиус окружности $R_1=R$. После изменений линейная скорость будет равна $v_2=2v_1=2v$, а радиус $R_2=2R_1=2R$. Первоначально центростремительное ускорение равно

$a_1=\frac{v_{1}^{2}}{R_1}=\frac{v^2}{R}$.

После изменения величин, центростремительное ускорение будет равно

$a_1=\frac{v_{2}^{2}}{R_2}=\frac{(2v_{1})^{2}}{2R_1}=\frac{(2v)^2}{2R}=\frac{4v^2}{2R}=2\cdot \frac{v^2}{R}=2a_1$,

Значит центростремительное ускорение увеличится в 2 раза.

Ответ: 1

[свернуть]

7. Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Вектор импульса тела в точке А сонаправлен вектору

Нажмите, чтобы увидеть решение

Известно, что направление импульса тела совпадает с направлением скорости тела. Скорость тела при равномерном движении по окружности направлена по касательной, т.е. совпадает по направлению с вектором 2. Значит вектор импульса сонаправлен с вектором 2.

Ответ: 2

[свернуть]

8. Установите соответствие между формулами для расчёта физических величин при равномерном движении тела по окружности и названиями этих величин. В формулах использованы обозначения: T – период обращения тела по окружности; R – радиус окружности.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФОРМУЛЫ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
А)  $\frac{2\pi R}{T}$

Б) $\frac{1}{T}$

1) линейная скорость

2) центростремительное ускорение

3) длина волны

4) частота обращения

Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение. Первая формула соответствует формуле нахождения линейной скорости (смотри теоретическую справку выше), а вторая — частоте обращения.

Ответ: 14

[свернуть]

9. За 2 мин пропеллер вентилятора совершает 2400 оборотов. Частота вращения лопастей вентилятора равна

Нажмите, чтобы увидеть решение

Обозначим время движения $t=2$ мин $=120$ с. Количество оборотов $N=2400$. Воспользуемся формулой для вычисления частоты обращения

$\nu =\frac{N}{t}$,

получим 

$\nu =\frac{2400}{120}=20$ с-1 .

Ответ: 20 с-1.

[свернуть]

10. Материальная точка движется по окружности со скоростью 2 м/с. Модуль скорости точки изменился и стал равен 4 м/с. При этом

1) частота обращения точки по окружности увеличилась в 2 раза
2) частота обращения точки по окружности уменьшилась в 2 раза
3) период обращения точки по окружности увеличился в 2 раза
4) период обращения точки по окружности уменьшился в 4 раза

Нажмите, чтобы увидеть решение

При неизменном радиусе окружности, по которой движется тело, если в два раза увеличить скорость, то в два раза уменьшится время, за которое тело совершит один полный оборот, т.е. период обращения уменьшится в два раза. Период и частота связаны соотношением 

$\nu =\frac{1}{T}$.

Эта зависимость носит характер обратной пропорциональности, т.е. уменьшение периода обращения в два раза, приведет к увеличению частоты обращения также в два раза. Правильный ответ — частота увеличилась в 2 раза.

Ответ: 1

[свернуть]

11. Автомобиль равномерно движется по ровной горизонтальной дороге со скоростью v. Радиус колёса автомобиля равен R. За какое время каждое колесо автомобиля совершит N оборотов?

1) $2\pi RN\nu $
2) $\frac{v}{2\pi RN}$
3) $\frac{2\pi Rv}{N}$
4) $\frac{2\pi RN}{v}$

Нажмите, чтобы увидеть решение

Линейная скорость точек колеса может быть найдена по формуле 

$v=2\pi R\nu $.

Частота оборота связана с количеством оборотов и временем движения соотношением

$\nu =\frac{N}{t}$.

Подставив это выражение в формулу для вычисления линейной скорости

$v=2\pi R\cdot \frac{N}{t}$.

Из последней формулы найдем время за которое совершается $N$ оборотов

$t=\frac{2\pi RN}{v}$.

Ответ: 4

[свернуть]

12. Колесо радиусом 50 см вращается с частотой 60 об/мин. Какова линейная скорость вращения точек колеса, наиболее удалённых от оси вращения?

1) ≈ 0,08 м/с                   
2) ≈ 3,14 м/с                   
3) ≈ 314 м/с                    
4) ≈ 188,4 м/с

Нажмите, чтобы увидеть решение

Радиус колеса $R=0,5$ м, частота обращения $\nu =60$ об/мин или $\nu =1$ об/с. Найдем линейную скорость

$v=2\pi R\nu $,

$v=2\cdot 3,14\cdot 0,5\cdot 1=3,14$ м/с

Ответ: 2

[свернуть]

13. Под действием силы, модуль которой равен 48 H, тело массой 3 кг движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, равной 20 м/с. Чему равен радиус окружности?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Модуль центростремительной силы вычисляется по формуле

$F=\frac{mv^2}{R}$.

Выразим из этой формулы радиус окружности и найдем его

$R=\frac{mv^2}{F}$,

$R=\frac{3\cdot 20^2}{48}=25$ м.

Ответ: 25 м

[свернуть]

14. Машина массой m движется равномерно со скоростью v по вогнутому участку дороги с радиусом кривизны R. Модуль равнодействующей сил, действующих на машину в точке А, равен

1) $mg$
2) $mg-\frac{mv^2}{R}$
3) $mg+\frac{mv^2}{R}$
4) $\frac{mv^2}{R}$

Нажмите, чтобы увидеть решение

Согласно второму закону Ньютона модуль равнодействующей сил, приложенных к телу будет равен произведению массы тела и его ускорения

$F= ma$.

Тело движется равномерно по дуге окружности, поэтому ускорение с которым движется тело — центростремительное, получается, что модуль равнодействующей сил будет равен

$F= m\cdot \frac{v^2}{R}=\frac{mv^2}{R}$.

Ответ: 4

[свернуть]

15. Диск радиуса R вращается вокруг оси, проходящей через точку О (см. рисунок). Чему равен путь L и модуль перемещения S точки А при повороте диска на 180°

1) $L=2R;\: S=\pi R$
2) $L=\pi R;\: S=2 R$
3) $L=0;\: S=2\pi R$
4) $L=2\pi R;\: S=0$

Нажмите, чтобы увидеть решение

Представим, что точка A переместилась при повороте диска в точку В так, как показано на рисунке

Видно, что путь, пройденный точкой будет равен половине длины окружности

$L=\frac{2\pi R}{2}=\pi R$.

Вектор перемещения — вектор соединяющий начальное и конечное положение точки, его длина равна длине отрезка АВ, который является диаметром $S=2R$.

Ответ: 2

[свернуть]

16. Прочитайте текст и вставьте на места пропусков слова (словосочетания) из приведённого списка.

Искусственный спутник Земли под действием (А)                        движется по круговой орбите на высоте h от поверхности Земли (см. рисунок).


Ускорение спутника направлено (Б)                            . После перехода спутника на более низкую круговую орбиту модуль скорости спутника (В)                                     , модуль его центростремительного ускорения (Г)                           .

Список слов и словосочетаний:

1) увеличится
2) уменьшится
3) не изменится
4) к центру орбиты
5) по касательной к орбите
6) сила сопротивления
7) сила всемирного тяготения

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

А Б В Г
       

Нажмите, чтобы увидеть решение

Спутник движется по орбите вокруг Земли благодаря действию сил всемирного тяготения, Значит на месте пропуска А долно стоять словосочетание 7) сила всемирного тяготения. Спутник движется по круговой орбите, значит его ускорение направлено вдоль радиуса к центру орбиты, т.е. Б — 4. При уменьшении высоты спутника, его потенциальная энергия уменьшается. По закону сохранения энергии, полная энергия системы будет неизменной, а значит кинетическая энергия должна увеличивается. Если кинетическая энергия увеличивается, то скорость тела также возрастает, т.е. В — 1. Из формулы центростремительного ускорения

$a=\frac{v^2}{R}$

видно, что при увеличении скорости центростремительное ускорение увеличивается и при уменьшении радиуса также увеличивается, значит при переходе на более низкую орбиту центростремительное ускорение увеличится, Г — 1.

Ответ: 7411

[свернуть]

Скачать файл с заданиями открытого банка ФИПИ Равномерное движение по окружности (2323 Загрузки )