3.18. Простые механизмы. «Золотое правило» механики. Рычаг. Момент силы. Условие равновесия рычага

Теоретическая справка

Статика – это раздел механики, изучающий условия равновесия тел. Под равновесием в статике понимается состояние покоя тела по отношению к другим телам.

Момент силы – это физическая величина, равная произведению модуля силы на ее плечо.

$M=F \cdot l$

Обозначение – M, единицы измерения – Н·м.

Плечом силы ($l$) называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Если сила вращает тело по часовой стрелке, то ее момент положительный (на рисунке сила $\vec{F}_2$)

$M_2=F_2l_2$.

Если сила вращает тело против часовой стрелки, то ее момент отрицательный (на рисунке сила $\vec{F}_1$)

$M_1=-F_1l_1$.

Если линия действия силы проходит через ось вращения, то ее момент равен нулю.

Условия равновесия твердого тела. Если тело находится в равновесии, то

  1. геометрическая сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю $\vec{F}_1+\vec{F}_2+…+\vec{F}_n=0$;
  2. алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю $M_1+M_2+…+M_n=0$.

Центр тяжести – это точка внутри тела или вне его, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на отдельные его части, равна нулю.

Центр масс – геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле. Для твердого тела центр тяжести совпадает с центром масс

Виды равновесия тел:

Устойчивое равновесие– это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, возвращается в прежнее положение. При устойчивом равновесии центр тяжести тела расположен ниже оси вращения и находится на вертикальной прямой, проходящей через эту ось.

Неустойчивое равновесие – это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия. При неустойчивом равновесии центр тяжести тела расположен выше оси вращения и находится на вертикальной прямой, проходящей через эту ось.

Безразличное равновесие – это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения. При безразличном равновесии ось вращения тела проходит через его центр тяжести, при этом центр тяжести тела остаётся на одном и том же уровне при любых положениях тела.

Простые механизмы – это устройства, служащие для преобразования силы. Различают два вида простых механизмов – рычаг и наклонная плоскость. К рычагам также относятся подвижный и неподвижный блок. К наклонным плоскостям также относятся клин и винт.

Рычаг – твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси.

Выигрыш в силе, получаемый с помощью рычага можно определить из условия его равновесия

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}$.

Важно!! При рассматривании задач, связанных с  равновесием рычага, как правило пренебрегают его собственным весом, например, в задании пишут, что рычаг «легкий». Если в задании хотят подчеркнуть, что вес рычага необходимо учитывать, то в условии задачи указывают его массу.

Важно!! К большему плечу рычага прикладывается меньшая сила, к меньшему плечу рычага прикладывается большая сила.

«Золотое правило» механики: при использовании простых механизмов во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, т. е. простые механизмы выигрыша в работе не дают.

Решение заданий Открытого банка заданий ФИПИ

1. Легкий рычаг находится в равновесии под действием двух сил (см. рисунок)

Выигрыш в силе равен

1) 1,5
2) 2,5
3) 1,7
4) 5

Нажмите, чтобы увидеть решение

Плечо силы $F_2$ равно расстоянию от точки О до точки А: $l_2=25$ см.

Плечо силы $F_1$ равно расстоянию от точки О до точки В: $l_1=10$ см.

Находим выигрыш в силе, получаемый с помощью рычага

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}=\frac{25}{10}=2,5$.

Ответ: 2

[свернуть]

2. Неравноплечные чашечные весы (одно плечо больше другого) уравновешивают, положив на одну из чашек небольшой грузик. Нарушится ли равновесие, если теперь на чашки весов положить одинаковые по массе гирьки? Ответ поясните.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: Равновесие весов нарушится.

Пояснение. Рассмотрим первоначальную ситуацию — неравноплечие весы уравновешены с помощью одной гирьки массой $m$. Пусть масса самой чаши весов равна $m_1$.

Тогда, согласно правилу моментов при равновесии весов выполняется равенство 

$(m+m_1)l_1=m_1l_2$.

Предположим, что равновесие сохранится и в том случае, если положить на чашки весов, тогда должно выполняться равенство моментов сил

$(m+m_1+m_2)l_1=(m_1+m_2)l_2$.

Преобразуем это равенство и проверим его справедливость 

$(m+m_1)l_1+m_2l_1=m_1l_2+m_2l_2 \Rightarrow m_2l_1=m_2l_2$.

Из последнего равенства следует, что $l_1=l_2$, что не верно по условию задачи. Значит, наше предположение о том, что равновесие сохранится, если дополнительно положить на чаши весов одинаковые гирьки, не верно, т.е. равновесие нарушится.

[свернуть]

3. Отрезок однородной проволоки подвешен за середину. Изменится ли (и если изменится, то как) равновесие рычага, если левую половину сложить вдвое (см. рисунок)? Ответ поясните.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: равновесие нарушится в сторону правой половины проволоки.

Пояснение. Подвешенная проволока представляет собой рычаг, причем ввиду того, что проволока однородная, масса обоих плеч рычага будет одинаковой и в первом и во втором случаях. Значит на эти плечи рычага будут действовать одинаковые силы тяжести.

Точка приложения силы тяжести — центр тяжести тела. Опять же ввиду однородности проволоки центр тяжести каждой половины проволоки будет лежать посредине, поэтому плечи сил будут равны ($l_{11}=l_2$). Отсюда следует равенство моментов сил и равновесие проволоки в первом случае ($mgl_{11}=mgl_2$). Во втором случае центр тяжести левой половины проволоки смещается вправо — ближе к точке подвеса, поэтому плечо силы тяжести, действующей на эту половину проволоки будет меньше, чем плечо силы тяжести, действующей на правую половину проволоки. Значит моменты сил, действующих на плечи рычага будут не одинаковыми ($mgl_2>mgl_{12}$). Поэтому равновесие нарушится, перевесит та часть проволоки,  у которой больше момент силы, действующей на нее, т.е. правая. 

[свернуть]

4. Каким образом легче резать картон с помощью ножниц: помещая картон у кончиков лезвий или ближе к их середине? Ответ поясните.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ответ: картон необходимо помещать ближе к середине.

Пояснение. Ножницы можно рассматривать как рычаг с разными плечами. При этом чем меньше плечо силы, действующей на картон, тем меньше сила, приложенная человеком к ножницам.

[свернуть]

5. Установите соответствие между физическими величинами и единицами этих величин в Международной системе единиц (СИ). К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ЕДИНИЦЫ
А) сила

Б) плечо силы

В) момент силы

1) джоуль (1 Дж)

2) ньютон-метр (1 Н·м)

3) ватт (1 Вт)

4) метр (1 м)

5) ньютон (1 Н)

Нажмите, чтобы увидеть решение

А) Сила — ньютон (1 Н).

Б) Плечо силы — метр (1 м).

В) Момент силы — ньютон-метр (1 Н·м)

Ответ: 542

[свернуть]

6. Ученик выполнял лабораторную работу по исследованию условий равновесия рычага. Результаты для сил и их плеч, которые он получил, представлены в таблице.

F1, Н l1, м F2, Н l2, м
? 0,4 50 0,8

Чему равна сила F1, если рычаг находится в равновесии?

1) 25 Н
2) 50 Н
3) 75 Н
4) 100 Н

Нажмите, чтобы увидеть решение

Условие равновесия рычага

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}$.

Находим силу $F_1$

$F_1=\frac{F_2l_2}{l_1}$,

$F_1=\frac{50 \cdot 0,8}{0,4}=100$ Н.

Ответ: 4

[свернуть]

7. К рычагу AO приложены силы, направление и модуль которых указаны на рисунке. Точка O – ось вращения рычага. Чтобы рычаг находился в равновесии, длина отрезка АВ должна быть равна

1) 5 см
2) 10 см
3) 15 см
4) 20 см

Нажмите, чтобы увидеть решение

Плечо силы $F_1=24$ Н равно расстоянию от точки О до точки В: $l_1=5$ см.

Рычаг будет находиться в равновесии, если будет выполняться условие

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}$.

Находим плечо силы $F_2=8$ Н

$l_2=\frac{F_1l_1}{F_2}$,

$l_2=\frac{24 \cdot 5}{8}=15$ см.

Ответ: 3

[свернуть]

8. Рычаг находится в равновесии под действием двух сил (см. рисунок). Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым они определяются: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ФОРМУЛЫ
А) момент силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно оси О

Б) плечо силы $\overrightarrow{F}_2$ относительно оси О

В) плечо силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно оси О

1) l1

2) l2

3) l1 + l2

4) F1 l1

5) F1 l2

Нажмите, чтобы увидеть решение

А) Момент силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно оси О — F1 l1.

Б) Плечо силы $\overrightarrow{F}_2$ относительно оси О — l1 + l2.

В) Плечо силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно оси О — l1.

Ответ: 431

[свернуть]

9. Рычаг находится в равновесии под действием двух сил. Сила F1 = 5 Н, сила F2= 8 Н. Чему равно плечо силы F2, если плечо силы F1 равно 16 см?

1) 25,6 см
2) 10 см
3) 16 см
4) 26 см

Нажмите, чтобы увидеть решение

Рычаг будет находиться в равновесии, если будет выполняться условие

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}$.

Находим плечо силы $F_2$

$l_2=\frac{F_1l_1}{F_2}$,

$l_2=\frac{5 \cdot 16}{8}=10$ см.

Ответ: 2

[свернуть]

10. Установите соответствие между техническими устройствами (приборами) и физическими закономерностями, лежащими в основе принципа их действия. Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ПРИБОРЫ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
А) спиртовой термометр

Б) лабораторные весы с набором гирь

В) пружинный динамометр

1) зависимость гидростатического давления от высоты столба жидкости

2) условие равновесия рычага

3) зависимость силы упругости от степени деформации тела

4) объёмное расширение жидкостей при нагревании

5) изменение атмосферного давления с высотой

Нажмите, чтобы увидеть решение

А) Спиртовой термометр — объёмное расширение жидкостей при нагревании.

Б) Лабораторные весы с набором гирь — условие равновесия рычага.

В) Пружинный динамометр — зависимость силы упругости от степени деформации тела.

Ответ: 423

[свернуть]

11. Наклонная плоскость дает выигрыш в силе в 2 раза. В работе при отсутствии силы трения эта плоскость

1) дает выигрыш в 2 раза
2) дает выигрыш в 4 раза
3) не дает ни выигрыша, ни проигрыша
4) дает проигрыш в 2 раза

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ни один простой механизм не дает выигрыша в работе.

Ответ: 3

[свернуть]

12. Груз поднимают с помощью подвижного блока радиусом (см. рисунок). Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым они определяются: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ФОРМУЛЫ
А) плечо силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно точки А

Б) плечо силы $\overrightarrow{F}_2$ относительно точки А

В) момент силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно точки А

1) F1R

2) 2F1R

3) F1R

4) R

5) 2R

Нажмите, чтобы увидеть решение

А) Плечо силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно точки А — R.

Б) Плечо силы $\overrightarrow{F}_2$ относительно точки А — 2R.

В) Момент силы $\overrightarrow{F}_1$ относительно точки А — F1R.

Ответ: 451

[свернуть]

13. Груз какой массы надо подвесить к лёгкому рычагу в точке А, чтобы уравновесить груз массой 3 кг, подвешенный в точке B?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Пусть $m_1=3$ кг. Силы, с которым грузы будут действовать на рычаг равны весу этих грузов, т.е. $F_1=P_1=m_1g$ и $F_2=P_2=m_2g$.

Плечо силы $F_2$ равно расстоянию от точки О до точки А: $l_2=2$ ед.

Плечо силы $F_1$ равно расстоянию от точки О до точки В: $l_1=4$ ед.

Рычаг будет находиться в равновесии, если будет выполняться условие

$$\frac{l_2}{l_1}=\frac{F_1}{F_2}=\frac{m_1g}{m_2g}=\frac{m_1}{m_2} \Rightarrow \frac{l_2}{l_1}=\frac{m_1}{m_2}$$.

Находим массу второго груза $m_2$

$m_2=\frac{m_1l_1}{l_2}$,

$m_2=\frac{3 \cdot 4}{2}=6$ кг.

Ответ: 6 кг.

[свернуть]

14. Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, приложенных к его концам. Плечи рычага равны 60 см и 90 см. Модуль большей силы, действующей на рычаг, равен 6 Н. Найдите модуль меньшей силы.

1) 2 Н
2) 3 Н
3) 4 Н
4) 5 Н

Нажмите, чтобы увидеть решение

К большему плечу рычага прикладывается меньшая сила, к меньшему плечу рычага прикладывается большая сила. Введем обозначения: $F_1=6$ Н, $l_1=60$ см, $l_2=90$ см. Условие равновесия рычага

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l_2}{l_1}$.

Находим силу $F_2$

$F_2=\frac{F_1l_1}{l_2}$,

$F_1=\frac{6 \cdot 60}{90}=4$ Н.

Ответ: 3

[свернуть]

15. С помощью простого механизма

1) можно получить выигрыш в силе, но нельзя получить выигрыш в работе
2) нельзя получить выигрыш в силе, но можно получить выигрыш в работе
3) можно получить выигрыш и в силе, и в работе
4) нельзя получить выигрыш ни в силе, ни в работе

Нажмите, чтобы увидеть решение

Согласно «золотому правилу» механики, при использовании простых механизмов нельзя получить выигрыш в работе, но при этом простые механизмы служат, в том числе, для получения выигрыша в силе.

Ответ: 1

[свернуть]